Waring 问题：历史Waring's problem: history
Edward Waring 在他的《代数沉思录》（Meditationes algebraicae，1770）中陈述道：每个数都可表示为 4 个平方数之和，或 9 个立方数之和，或 19 个四次方数之和，“依此类推”。由最后这句话可推知，他想要断言的是：对于每个 \(k\ge 2\)，都存在某个 \(s\)，使得每个正整数 \(N\) 可表示为
\begin{equation}\tag{2.1} N = x_1^k + x_2^k + \cdots + x_s^k, \end{equation}其中 \(x_i \ge 0\)。这个断言首先由 Hilbert 于 1909 年证明。Hilbert 的证明是一项非常伟大的成就，尽管其中部分功劳也应归于 Hurwitz，他的工作提供了出发点。Hurwitz 此前已经证明：若该断言对某个指数 \(k\) 成立，则它对 \(2k\) 也成立。通常用 \(g(k)\) 表示使得每个 \(N\) 都可表示的最小 \(s\) 值。如今 \(g(k)\) 的确切值对所有 \(k\) 值都已知晓。我在此不讨论 Hilbert 的证明方法；关于这一点，可参阅 Stridsberg [79]、Schmidt [72] 或 Rieger [71] 的论文。
Hardy 与 Littlewood 的工作出现在一系列题为“关于数的分拆”（“On Partitio Numerorum”，简记 P.N.）的若干篇论文中，该系列的其余论文主要关注 Goldbach 的三素数问题。在 P.N. I [37] 中，他们得到了关于 \(r(N)\)（即 \(N\) 表示为形如 (2.1) 且 \(x_i \ge 1\) 的表法数目）的一个渐近公式，只要 \(s \ge s_0(k)\)（\(k\) 的某个确切函数）即成立。该渐近公式具有如下形式：
\begin{equation}\tag{2.2} r(N) = C_{k,s} N^{s/k-1}\mathfrak{S}(N) + O(N^{s/k-1-\delta}), \end{equation}其中 \(\delta > 0\) 且
\[ C_{k,s} = \frac{\Gamma(1+1/k)^s}{\Gamma(s/k)} > 0. \]在上述公式中，\(\mathfrak{S}(N)\) 是一个纯算术性质的无穷级数，Hardy 与 Littlewood 称之为奇异级数（singular series）。他们进一步证明了
\begin{equation}\tag{2.3} \mathfrak{S}(N) \ge \gamma > 0, \end{equation}其中 \(\gamma\) 与 \(N\) 无关，只要 \(s \ge s_1(k)\)。然而他们在该阶段并未给出 \(s_1(k)\) 的任何确切值。于是该公式蕴含着
\begin{equation}\tag{2.4} r(N) \sim C_{k,s} N^{s/k-1}\mathfrak{S}(N) \end{equation}当 \(N \to \infty\)，只要 \(s \ge \max(s_0(k), s_1(k))\)，从而独立地给出了 Hilbert 定理的一个证明。
Hardy 与 Littlewood 引入记号 \(G(k)\) 表示使得每个充分大的 \(N\) 都可表示为形如 (2.1) 的最小 \(s\) 值；这个函数实际上比 \(g(k)\) 更具意义，因为后者受到表示某一两个特殊数 \(N\) 的难度的影响。在 P.N. II [38] 和 P.N. IV [39] 中，Hardy 与 Littlewood 证明了渐近公式以及 \(\mathfrak{S}(N)\) 的下界两者都对 \(s \ge (k-2)2^{k-1} + 5\) 成立，这蕴含着
\[ G(k) \le (k-2)2^{k-1} + 5. \]在 P.N. VI [40] 中，他们对 \(G(k)\) 找到了一个更好的上界（尽管对渐近公式的成立性并非如此），特别地，他们证明了 \(G(4) \le 19\)。该系列的最后一篇论文 P.N. VIII [41] 则完全关注奇异级数以及由它引出的同余问题。
Hardy 与 Littlewood 以 \(r(N)\) 的母函数（生成函数）作为他们的出发点，也就是幂级数
\[ \sum_{N=0}^{\infty} r(N)z^N = \left(\sum_{n=0}^{\infty} z^{n^k}\right)^s. \]他们借助 Cauchy 给出幂级数系数的公式，利用沿圆周 \(|z| = \rho\)（其中 \(\rho\) 略小于 1）取的围道积分，把 \(r(N)\) 用此函数表示出来。Vinogradov 在 1928 年作出了一项有益的技术简化；它在于用一个有限的指数和来代替幂级数，其效果是消除了 Hardy 与 Littlewood 原始论述中出现的若干不重要的复杂之处。
记 \(e(t) = e^{2\pi i t}\)。对于实变量 \(\alpha\)，我们定义 \(T(\alpha)\) 为
\begin{equation}\tag{2.5} T(\alpha) = \sum_{x=1}^{P} e(\alpha x^k), \end{equation}其中 \(P\) 是一个正整数。则
\begin{equation}\tag{2.6} (T(\alpha))^s = \sum_{m} r'(m)e(m\alpha), \end{equation}其中 \(r'(m)\) 表示 \(m\) 表示为
\[ x_1^k + \cdots + x_s^k, \quad (1 \le x_i \le P) \]的表法数目。若 \(P \ge [N^{1/k}]\)（其中 \([\lambda]\) 表示实数 \(\lambda\) 的整数部分），则 \(r'(N)\) 就是 \(N\) 表示为形如 (2.1) 且 \(x_i \ge 1\) 的表法总数。因此 \(r'(N) = r(N)\)。若我们将 (2.6) 的两边乘以 \(e(-N\alpha)\) 并在单位区间 \([0,1]\) 上（或任何长度为 1 的区间上）积分，便得到
\begin{equation}\tag{2.7} r(N) = \int_0^1 (T(\alpha))^s e(-N\alpha)\,d\alpha. \end{equation}这就是我们研究 Waring 问题工作的出发点。它对应于 Hardy 与 Littlewood 所用的 \(r(N)\) 的围道积分，只是把 \(z\) 替换成了 \(e^{2\pi i \alpha}\)。
我们的首要目标是建立渐近公式 (2.2) 对 \(r(N)\) 当 \(N \to \infty\) 时的成立性，所受的条件为 \(s \ge 2^k + 1\)。借助华罗庚于 1938 年发现的一个不等式（下文引理 3.2），有可能以一种相对简单的方式做到这一点。值得注意的是：就渐近公式本身而言，迄今尚未对小 \(k\) 值的条件 \(s \ge 2^k + 1\) 作出任何改进。对于大的 \(k\)，Vinogradov 已经证明形如 \(s > Ck^2\log k\) 的条件即足够。
若我们对某个特定的 \(s\) 值（比如 \(s = s_1\)）证明了渐近公式成立，那么就可推出每个大数都可表示为 \(s_1\) 个 \(k\) 次方之和，从而 \(G(k) \le s_1\)。但为了证明这一点，并不必证明关于表法总数的渐近公式；只需对某种特殊类型的表法证明它即可，即作为 \(s_1\) 个 \(k\) 次方之和。这使得有可能得到比由渐近公式的成立性所能得到的更好的 \(G(k)\) 估计。1934 年 Vinogradov 证明了对大的 \(k\) 有 \(G(k) \lt Ck\log k\)，我们将在第 9 章给出一个证明。对小 \(k\) 已知的最佳结果由 Davenport 于 1939–41 年间找到 [19]。
关于 Hilbert 定理的一个新的“初等”证明由 Linnik 于 1943 年给出 [58]，并被 Khintchine 选入他的“三颗明珠”[53] 之中。这个证明的根本思想无疑是受到了 Hardy–Littlewood 方法某些特征的启发，特别是受到了华罗庚不等式的启发。