Weyl 不等式与华罗庚不等式Weyl's inequality and Hua's inequality

特别地， \[ |S_{k}(f)|^{2}\le P+2\sum_{y=1}^{P}|S_{k-1}(\Delta_{y}f)|, \] 其中 \(S_{k-1}\) 所对应的区间正是刚才描述的那种。重复上述论证，我们得到 \[ |S_{k-1}(\Delta_{y}f)|^{2}\le P+2\sum_{z=1}^{P}|S_{k-2}(\Delta_{y,z}f)|, \] 其中 \(S_{k-2}\) 的求和区间同时依赖于 \(y\) 与 \(z\)，但仍包含于 \(P_{1}\lt x\le P_{2}\)。利用 Cauchy 不等式，便可把第二个不等式中的 \(S_{k-1}\) 代入第一个不等式： \[ \begin{aligned} |S_{k}(f)|^{4}&\ll P^{2}+P\sum_{y=1}^{P}|S_{k-1}(\Delta_{y}f)|^{2}\\ &\ll P^{3}+P\sum_{y=1}^{P}\sum_{z=1}^{P}|S_{k-2}(\Delta_{y,z}f)|. \end{aligned} \]

此过程可以继续进行，由此建立的一般不等式为 \begin{equation}\tag{3.1} |S_{k}(f)|^{2^{\nu}}\ll P^{2^{\nu}-1}+P^{2^{\nu}-\nu-1}\sum_{y_{1}=1}^{P}\cdots\sum_{y_{\nu}=1}^{P}|S_{k-\nu}(\Delta_{y_{1},\ldots,y_{\nu}}f)|. \end{equation} 这只需对 \(\nu\) 作归纳即可证明：再次利用 Cauchy 不等式，连同上面所述把 \(|S_{k-\nu}|^{2}\) 用 \(S_{k-\nu-1}\) 表出的基本操作即可。须知 (3.1) 中对 \(x\) 的求和范围是一个依赖于 \(y_{1},\ldots,y_{\nu}\) 的区间，但包含于 \(P_{1}\lt x\le P_{2}\)。

在此我们插入一点说明，它在引理 3.2 的证明中会有用。这就是：若在导出 (3.1) 的最后一步中，我们把基本操作以其原始形式应用，则得到 \begin{equation}\tag{3.2} |S_{k}(f)|^{2^{\nu}}\ll P^{2^{\nu}-1}+P^{2^{\nu}-\nu-1}\sum_{y_{1}=1}^{P}\cdots\sum_{y_{\nu}=1}^{P}\Re S_{k-\nu}(\Delta_{y_{1},\ldots,y_{\nu}}f). \end{equation} 此处同样，\(S_{k-\nu}\) 中 \(x\) 的取值范围依赖于 \(y_{1},\ldots,y_{\nu}\)，并且有时可能为空。

回到 (3.1)，我们取 \(\nu=k-1\)，并在原始的 \(S_{k}\) 中取 \(P_{1}=0,\ P_{2}=P\)。我们注意到 \[ \Delta_{y_{1},\ldots,y_{k-1}}f(x)=k!\,\alpha y_{1}\cdots y_{k-1}x+\beta, \] 不妨这样记，其中 \(\beta\) 是一些与 \(x\) 无关的项的集合。于是 \[ \left|S_{1}(\Delta_{y_{1},\ldots,y_{k-1}}f)\right|=\left|\sum_{x}e(k!\,\alpha y_{1}\cdots y_{k-1}x)\right|. \]

右边的和取遍任一长度至多为 \(P\) 的 \(x\) 区间，形如 \[ \left|\sum_{x=x_{1}}^{x_{2}-1}e(\lambda x)\right|\le\frac{2}{|1-e(\lambda)|}=\frac{1}{|\sin\pi\lambda|}\ll\frac{1}{\|\lambda\|}, \] 其中 \(\|\lambda\|\) 表示 \(\lambda\) 到最近整数的距离。当 \(\lambda\) 是整数时这一估计失效——事实上当 \(\lambda\) 非常接近整数时它给出的结果很差——但我们可以用显然的上界 \(P\) 来补充。于是 (3.1) 给出 \[ |S_{k}(f)|^{K}\ll P^{K-1}+P^{K-k}\sum_{y_{1}=1}^{P}\cdots\sum_{y_{k-1}=1}^{P}\min\!\left(P,\ \|k!\,\alpha y_{1}\cdots y_{k-1}\|^{-1}\right). \]

现在我们诉诸初等数论中的一个结果，它使我们能把和中所有使 \(k!\,y_{1}\cdots y_{k-1}\) 取某个给定值（记为 \(m\)）的项合并到一起。这样的项的个数是 \(\ll m^{\varepsilon}\)。为证明此点，只需证明 \begin{equation}\tag{3.3} d(m)\ll m^{\varepsilon}, \end{equation} 对任意整数 \(m\) 成立，其中 \(d(m)=\sum_{d\mid m}1\) 是通常的除数函数。事实上，对于每个 \(y_{1},\ldots,y_{k-1}\)，至多有 \(d(m)\) 种可能。为建立 (3.3)，设 \(m=p_{1}^{\lambda_{1}}p_{2}^{\lambda_{2}}\cdots\)，并注意到 \[ \frac{d(m)}{m^{\varepsilon}}=\prod_{i}\frac{\lambda_{i}+1}{p_{i}^{\varepsilon\lambda_{i}}}\le\prod_{p_{i}\le 2^{1/\varepsilon}}\frac{\lambda_{i}+1}{2^{\varepsilon\lambda_{i}}}\le C(\varepsilon), \] 因为 \(2^{-\varepsilon\lambda}(\lambda+1)\) 对 \(\lambda>0\) 是有上界的。

如上所述把各项合并，我们得到 \[ |S_{k}(f)|^{K}\ll P^{K-1}+P^{K-k+\varepsilon}\sum_{m=1}^{k!P^{k-1}}\min(P,\ \|\alpha m\|^{-1}). \]

剩下的是用题设中提到的对 \(\alpha\) 的有理逼近 \(a/q\) 来估计最后这个和。我们把对 \(m\) 的求和分成若干个由 \(q\) 个连续项构成的块（也许还有一个不完整的块），这样的块的个数是 \[ \ll\frac{P^{k-1}}{q}+1. \] 考虑任一个块上的和，它形如 \[ \sum_{m=0}^{q-1}\min(P,\ \|\alpha(m_{1}+m)\|^{-1}), \] 其中 \(m_{1}\) 是该块中的第一个数。我们有 \[ \alpha(m_{1}+m)=\alpha m_{1}+\frac{am}{q}+O\!\left(\frac{1}{q}\right), \] 这是因为 \(|\alpha-a/q|\le q^{-2}\) 且 \(0\le m\lt q\)。当 \(m\) 从 \(0\) 取到 \(q-1\) 时，\(am\) 遍历模 \(q\) 的完全剩余系。令 \(am\equiv r\pmod{q}\)，则该和为 \[ \sum_{r=0}^{q-1}\min\!\left(P,\ \frac{1}{\left\|(r+b)/q+O(1/q)\right\|}\right), \] 其中我们取 \(b\) 为最接近 \(q\alpha m_{1}\) 的整数。在和中有 \(O(1)\) 个 \(r\) 值使得最小值中的第二个表达式无用，即那些使得 \(r+b\pmod{q}\) 的绝对最小剩余很小的 \(r\)。对这些 \(r\)，我们必须取 \(P\)。对于其余的 \(r\) 值，若 \(s\) 表示 \(r+b\pmod{q}\) 的绝对最小剩余，则有 \[ \left\|\frac{r+b}{q}+O\!\left(\frac{1}{q}\right)\right\|\gg\frac{s}{q}. \] 因此上述和为 \[ \ll P+\sum_{s=1}^{q/2}\frac{q}{s}\ll P+q\log q. \] 计入块的数目，我们得到 \[ |S_{k}(f)|^{K}\ll P^{K-1}+P^{K-k+\varepsilon}\left(\frac{P^{k-1}}{q}+1\right)(P+q\log q). \]

由于可以假设 \(q\le P^{k}\)（否则引理的结论平凡成立），因子 \(\log q\) 可被吸收进 \(P^{\varepsilon}\) 中。于是右边为 \[ \ll P^{K+\varepsilon}\left(P^{-1}+q^{-1}+P^{-k}q\right), \] 这就给出了所要的结果。∎

对 \(\nu=1\)，该估计是显然的。我们有 \[ I_{1}=\int_{0}^{1}\sum_{x_{1}}e(\alpha x_{1}^{k})\sum_{x_{2}}e(-\alpha x_{2}^{k})\,d\alpha=P, \] 因为当 \(x_{1}=x_{2}\) 时对 \(\alpha\) 的积分为 1，否则为 0。

现在假设 (3.4) 对某个特定的整数 \(\nu\le k-1\) 成立；我们要推出把 \(\nu\) 换成 \(\nu+1\) 时相应的结果。我们回顾前一证明中的不等式 (3.2)；将其中的 \(S_{k}(f)\) 换成 \(T(\alpha)\)，它表明 \[ |T(\alpha)|^{2^{\nu}}\ll P^{2^{\nu}-1}+P^{2^{\nu}-\nu-1}\Re\sum_{y_{1}=1}^{P}\cdots\sum_{y_{\nu}=1}^{P}S_{k-\nu}, \] 其中 \[ S_{k-\nu}=\sum_{x}e(\alpha\Delta_{y_{1},\ldots,y_{\nu}}(x^{k})). \] 注意，对 \(x\) 的求和范围依赖于 \(y_{1},\ldots,y_{\nu},P\) 的取值，但包含于 \([1,P]\)。

把不等式两边都乘以 \(|T(\alpha)|^{2^{\nu}}\)，并从 0 积到 1，我们得到 \[ I_{\nu+1}\ll P^{2^{\nu}-1}I_{\nu}+P^{2^{\nu}-\nu-1}\sum_{y_{1},\ldots,y_{\nu}}\Re\int_{0}^{1}S_{k-\nu}|T|^{2^{\nu}}\,d\alpha. \] 最后这个积分为 \[ \int_{0}^{1}\sum_{x}e\left(\alpha\Delta_{y_{1},\ldots,y_{\nu}}(x^{k})\right)\sum_{\substack{u_{1},\ldots,u_{2^{\nu-1}}\\ v_{1},\ldots,v_{2^{\nu-1}}}}e(\alpha u_{1}^{k}+\cdots)e(-\alpha v_{1}^{k}-\cdots)\,d\alpha, \] 其中 \(u_{i}\) 与 \(v_{i}\) 从 1 取到 \(P\)。该积分等于 \begin{equation}\tag{3.5} \Delta_{y_{1},\ldots,y_{\nu}}(x^{k})+u_{1}^{k}+\cdots-v_{1}^{k}-\cdots=0 \end{equation} 的解的个数。对 \(y_{1},\ldots,y_{\nu}\) 求和，便给出在所有变量上的解的总数。因此 \begin{equation}\tag{3.6} I_{\nu+1}\ll P^{2^{\nu}-1}I_{\nu}+P^{2^{\nu}-\nu-1}N, \end{equation} 其中 \(N\) 表示 (3.5) 在所有变量上的解的个数，这些变量现在都是 \([1,P]\) 中的整数。

现在重要的是要注意到：由于 \(y_{1},\ldots,y_{\nu}\) 与 \(x\) 都是正的，我们有 \[ \Delta_{y_{1},\ldots,y_{\nu}}(x^{k})>0. \] 此外，这个数能被 \(y_{1},\ldots,y_{\nu}\) 中的每一个整除。因此，若我们给定 \(u_{1},\ldots,u_{2^{\nu-1}}\) 与 \(v_{1},\ldots,v_{2^{\nu-1}}\) 任意值，则由 (3.3)，\(y_{1},\ldots,y_{\nu}\) 中每一个的可能取法数为 \(\ll P^{\varepsilon}\)。于是 \(x\) 至多有一种可能取法，因为 \(\Delta_{y_{1},\ldots,y_{\nu}}(x^{k})\) 是 \(x\) 的严格递增函数（注意 \(\nu\le k-1\)）。\(u_{i}\) 与 \(v_{i}\) 的可能取法数为 \(\ll P^{2^{\nu}}\)，由此可知 \[ N\ll P^{2^{\nu}+\nu\varepsilon}. \]

代入 (3.6) 并利用归纳假设，我们得到 \[ I_{\nu+1}\ll P^{2^{\nu}-1}P^{2^{\nu}-\nu+\varepsilon}+P^{2^{\nu}-\nu-1}P^{2^{\nu}+\nu\varepsilon}\ll P^{2^{\nu+1}-(\nu+1)+\nu\varepsilon}. \] 这正是把 \(\nu\) 换成 \(\nu+1\) 后的 (3.4)，只是 \(\varepsilon\) 有所改变，而这无关紧要。∎