方程 \(c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k=N\)The equation \(c_1 x_1^k + \cdots + c_s x_s^k = N\)
我们接下来考虑这样一个问题：把一个大正整数 \(N\) 表示成 \(c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k\) 的形式，其中 \(c_1,\ldots,c_s\) 是给定的正整数，而 \(x_1,\ldots,x_s\) 是任意的正整数。如果不加任何进一步的假设，那么"当 \(s\ge s_0(k)\)（对某个 \(s_0(k)\)）时每个大的 \(N\) 都可表示"这一结论是不成立的。因为假设 \(c_1,\ldots,c_{s-1}\) 都能被某个素数 \(p\) 整除，而 \(c_s\) 不能；那么一个不能被 \(p\) 整除的整数 \(N\)，如果它对模 \(p\) 不具有与 \(c_s\) 相同的 \(k\) 次幂特征，就必然不可表示。
我们当然可以假设——在处理标题中的方程时——\(c_1,\ldots,c_s\) 没有公因子。为了保证可解性，我们将发现有必要假设：同余式
\[ c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k \equiv N \pmod{p^\nu} \]对每个素数 \(p\) 及一切足够大的 \(\nu\) 都可解，并且其中各项 \(c_1x_1^k,\ldots,c_sx_s^k\) 不全被 \(p\) 整除（或者作出某个可由此推出的其他假设）。
只需对前面的工作作出微小的改动，就能使之适用于这个更一般的方程。我们定义 \(P_j=[(N/c_j)^{1/k}]\) 为 \((N/c_j)^{1/k}\) 的整数部分，并定义
\begin{equation}\tag{7.1} T_j(\alpha)=\sum_{x=1}^{P_j} e(\alpha c_j x^k). \end{equation}Weyl 不等式（引理 3.1）适用于和式 \(T_j(\alpha)\)；若 \(\alpha=a/q+\beta\) 且 \(|\beta|\lt q^{-2}\)，则 \(c_j\alpha=c_ja/q+c_j\beta\)，且 \(|c_j\beta|\ll q^{-2}\)。这对于引理 3.1 的证明而言已经足够，因为关于 \(\beta\) 我们所用到的全部仅是 \(|\beta|\ll q^{-2}\)。
Hua 不等式（引理 3.2）对任何一个这样的和式依然成立，因为
\[ \begin{aligned} \int_0^1 |T_j(\alpha)|^{2^k}\,d\alpha &= \int_0^1 \left|\sum_{x=1}^{P_j} e(\alpha c_j x^k)\right|^{2^k} d\alpha \\ &= \frac{1}{c_j}\int_0^{c_j} \left|\sum_{x=1}^{P_j} e(\alpha x^k)\right|^{2^k} d\alpha \\ &= \int_0^1 \left|\sum_{x=1}^{P_j} e(\alpha x^k)\right|^{2^k} d\alpha \quad\text{（由周期性）} \\ &\ll P_j^{2^k-k+\varepsilon}. \end{aligned} \]这个不等式同样可经 Hölder 不等式推广到任意 \(2^k\) 个和式之积；我们得到
\begin{equation}\tag{7.2} \int_0^1 |T_1(\alpha)\cdots T_{2^k}(\alpha)|\,d\alpha \ll (P_1\cdots P_{2^k})^{1-k/2^k+\varepsilon}. \end{equation}我们像之前一样定义主弧与次弧。引理 4.1 现在表明：若 \(s\ge 2^k+1\)，则
\[ \int_{\mathfrak{m}} |T_1(\alpha)\cdots T_s(\alpha)|\,d\alpha \ll P^{s-k-\delta'}, \]其证明与之前相同，需用到 (7.2)。引理 4.2 保持不变，只是其中的 \(I(\beta)\) 要替换为
\[ I_j(\beta)=\int_0^{P_j} e(\beta c_j \xi^k)\,d\xi. \]不过，若把上限替换为 \(Pc_j^{-1/k}\)（其中 \(P=N^{1/k}\)），后面的计算会稍微简化一些；二者之差可忽略不计。
引理 4.3 与定理 4.1 的证明只需作出极轻微的改动即可适用于当前问题。一处差别在于：为把 \(I_j(\beta)\) 表示成 \(\int_0^1 e(\gamma\xi^k)\,d\xi\) 的形式而在其中作的变量替换，会产生一个因子 \(|c_j|^{-1/k}\)。另一处差别是：奇异级数现在具有稍微更一般的形式；它现在由下式给出
\begin{equation}\tag{7.3} \mathfrak{S}(N)=\sum_{q=1}^{\infty}\sum_{\substack{a=1\\(a,q)=1}}^{q} q^{-s} S_{c_1a,q}\cdots S_{c_sa,q}\,e(-Na/q). \end{equation}为了利用引理 3.1 的推论（或当 \(s\ge 2k+1\) 时利用引理 6.4）来确立此级数在 \(s\ge 2^k+1\) 时的绝对收敛性，我们需要把对 \(S_{a,q}\)（当 \((a,q)=1\) 时）的估计加以推广，使之适用于 \(S_{ca,q}\)，其中 \(c\) 是任一固定的正整数。这很容易办到，因为若 \(ca/q=a'/q'\)，则
\[ S_{ca,q}=\frac{q}{q'}S_{a',q'}, \]而 \(q/q'\) 作为 \(c\) 的因子是有界的。
这样我们就能证明定理 4.1 的如下更一般的形式：
定理 7.1. 设 \(c_1,\ldots,c_s\) 为固定的正整数。则当 \(s\ge 2^k+1\) 时，把 \(N\) 表示为
\[ N=c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k,\quad (x_1,\ldots,x_s>0), \]的表示个数 \(r(N)\) 满足
\begin{equation}\tag{7.4} r(N)=\frac{C_{k,s}}{(c_1c_2\cdots c_s)^{1/k}}N^{s/k-1}\mathfrak{S}(N)+O(N^{s/k-1-\delta}) \end{equation}其中 \(\delta>0\) 为某个固定常数，\(C_{k,s}\) 同定理 4.1 中所定义，而 \(\mathfrak{S}(N)\) 由 (7.3) 定义。该级数 (7.3) 在 \(s\ge 2k+1\) 时绝对收敛。
关于奇异级数的因子分解、以及奇异级数与 \(M(p^\nu)\) 之间关系的引理 5.1、5.2、5.3 仍然适用。于是，为使 \(\mathfrak{S}(N)\) 具有一个与 \(N\) 无关的正下界，只需对每个 \(p\)，使同余式
\[ c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k\equiv N\pmod{p^\nu} \]的解数 \(M(p^\nu)\) 满足
\[ M(p^\nu)\ge C_p\,p^{\nu(s-1)} \]对一切足够大的 \(\nu\) 成立。
像之前一样定义 \(\gamma\)，并利用引理 5.4，我们如同在引理 5.5 中那样发现：上述条件的一个充分条件是同余式
\begin{equation}\tag{7.5} c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k\equiv N\pmod{p^\nu} \end{equation}有一解，其中 \(c_1x_1^k,\ldots,c_sx_s^k\) 不全被 \(p\) 整除。于是：
定理 7.2. 设 \(\gamma\) 由 (5.11) 定义。假设 \(s\ge 2k+1\)，并假设对每个1素数 \(p\)，同余式 (7.5) 有一个解，其中 \(c_1x_1^k,\ldots,c_sx_s^k\) 不全被 \(p\) 整除。则对一切满足此假设的 \(N\)，我们有
\[ \mathfrak{S}(N)\ge C(k,s)>0. \]由定理 7.1 与 7.2，若 \(s\ge 2^k+1\)，则当 \(N\to\infty\) 时 \(r(N)\to\infty\)，前提是把 \(N\) 限制为满足定理 7.2 中同余条件的那些数。由于该同余条件只在 \(p\le p_0\) 时才需要，而 \(\gamma\) 与 \(N\) 无关，因此满足该同余条件的数 \(N\) 将包括某些算术级数中的一切数。
如果我们作出"系数 \(c_1,\ldots,c_s\) 两两互素"这一假设，那么可以证明：只要 \(s\) 超过 \(k\) 的某个特定函数，则该同余条件对一切 \(N\) 都满足。我们证明：
定理 7.3. 假设对 \(1\le i\lt j\le s\) 有 \((c_i,c_j)=1\)，并假设 \(s\ge k(2k-1)+2\)（\(k\) 为奇数）或 \(s\ge 2k(4k-1)+2\)（\(k\) 为偶数）。则
\[ \mathfrak{S}(N)\ge C(k,s)>0. \]证. 我们要证明：在所述条件下，同余式 (7.5) 有一个解，其中 \(c_1x_1^k,\ldots,c_sx_s^k\) 不全被 \(p\) 整除。由于 \(c_1,\ldots,c_s\) 中至多有一个能被 \(p\) 整除，因此只要解出
\begin{equation}\tag{7.6} c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k\equiv N\pmod{p^\gamma} \end{equation}就足够了，其中 \(x_1,\ldots,x_{s-1}\) 不全被 \(p\) 整除，且假定 \(c_1,\ldots,c_{s-1}\) 中没有一个能被 \(p\) 整除。
设 \(p>2\)。 我们在引理 5.6 的证明中已看到：当 \(z\not\equiv 0\pmod p\) 时，模 \(p^\gamma\) 下由 \(z^k\) 所取的值的个数是 \((p-1)/\delta\)，其中 \(\delta=(k_0,p-1)\)。因此模 \(p^\gamma\) 下 \(k\) 次幂剩余与非剩余的不同类的个数为
\[ \frac{\phi(p^\gamma)}{(p-1)/\delta}=\frac{p^{\gamma-1}(p-1)\delta}{p-1}=p^{\gamma-1}\delta. \]（这些类是在全体互素剩余类构成的群中、由 \(k\) 次幂所构成的子群的陪集。）
若我们按照系数 \(c_1,\ldots,c_{s-1}\) 所属的 \(k\) 次幂剩余或非剩余之类，把它们分入若干集合，则将有某一类至少包含 \((s-1)/p^{\gamma-1}\delta\) 个系数。设 \(t\) 为不小于 \((s-1)/p^{\gamma-1}\delta\) 的最小整数。我们可以把这些考虑中的系数取为前 \(t\) 个系数，于是 \(c_2\equiv d_2^k c_1,\ldots,c_t\equiv d_t^k c_1\pmod{p^\gamma}\)，其中 \(d_i\) 不被 \(p\) 整除。令变量 \(x_{t+1},\ldots\)（在 (7.6) 中）等于 0，并约去 \(c_1\)，我们看到只需解出
\[ x_1^k+(d_2x_2)^k+\cdots+(d_tx_t)^k\equiv N'\pmod{p^\gamma} \]其中诸变量不全被 \(p\) 整除。这实际上与引理 5.6 中关于 Waring 问题所考虑的同余式相同。我们在那里证明了：只要 \(t\ge 2k\)，该结论便成立。因此只需
\[ \frac{s-1}{p^{\gamma-1}\delta}>2k-1. \]由于 \(\gamma-1=\tau\) 且 \(p^\tau\delta\le p^\tau k_0=k\)，故只需 \(s-1>k(2k-1)\)。
设 \(p=2\)。 首先，若 \(\tau=0\)（即 \(k\) 为奇数），则只要 \(N\) 为奇数，同余式 (7.6) 即可解，因为即使它只有一项，\(x^k\) 也取遍模 \(p^\gamma\) 的一切值。因此当 \(N\) 为奇或偶时，只要两项便可解，故只需 \(s-1\ge2\)。于是当 \(k\) 为奇数时定理结论成立。
现设 \(\tau\ge1\)，故 \(k\) 为偶数。由于每个系数 \(c_i\)（\(i\le s-1\)）都是奇数，它对模 \(2^\gamma\) 可取 \(2^{\gamma-1}\) 个可能值。因此存在某个由 \(t\) 个相互同余的系数构成的集合，其中 \(t\ge(s-1)/2^{\gamma-1}\)。令对应于其余系数的变量等于 0，我们看到只需解出
\[ x_1^k+\cdots+x_t^k\equiv N'\pmod{2^\gamma} \]其中诸变量不全为偶数。如同在引理 5.6 的证明中那样，只要 \(t\ge4k\) 即可。因此只需
\[ \frac{s-1}{2^{\gamma-1}}>4k-1. \]由于 \(k\ge2^\tau\) 且 \(\gamma=\tau+2\)，我们有 \(2^{\gamma-1}\le2k\)。因此只需 \(s-1>2k(4k-1)\)。这就在 \(k\) 为偶数的情形证明了定理 7.3。 ∎
由定理 7.1 与 7.3 可知：我们能够指定一个数 \(s_1(k)\)，使得当 \(s\ge s_1(k)\) 时，当 \(N\to\infty\) 时 \(r(N)\to\infty\)；这始终以系数 \(c_j\) 两两互素为前提。定理 7.3 中给出的数绝非最优；我们只不过给出了从证明中所用简单论证路线中自然出现的那些数。原则上，可以放宽系数两两互素这一条件；对于上述结论之成立而言，真正本质的是：对任一素数 \(p\)，都有一定数量的系数不被 \(p\) 整除。
- 当然，只需对 \(p\le p_0(k,s)\) 假设此条件即可；参见引理 5.2 的推论。↩