第8章 方程 \(c_1 x_1^k + \cdots + c_s x_s^k = 0\)The equation \(c_1 x_1^k + \cdots + c_s x_s^k = 0\)
我们现在研究上述方程在整数（正的或负的）范围内的解，其中 \(c_1,\ldots,c_s\) 是固定的整数，没有一个为 \(0\)。如果 \(k\) 是偶数，我们显然必须假设这些系数并非全部同号。如果 \(k\) 是奇数，则我们可以在必要时把 \(x_i\) 换成 \(-x_i\) 来保证这一点。于是，稍微改变记号后，我们可以把方程写成
\[ c_1 x_1^k + \cdots + c_r x_r^k - c_{r+1} x_{r+1}^k - \cdots - c_s x_s^k = 0, \tag{8.1} \]其中 \(c_1,\ldots,c_s\) 现在都是正整数，且 \(1 \le r \le s-1\)。我们研究 (8.1) 在正整数范围内的解。
与第7章所处理的方程相比，第一个不同之处在于：这里不存在一个对未知数大小施加限制的大数 \(N\)。因此我们必须自行为变量规定取值范围，而最自然的做法是选取一个大数 \(P\)，对每个 \(1\le j\le s\) 定义 \(P_j = [P / c_j^{1/k}]\)，并考虑 (8.1) 满足下述条件的解的个数：
\[ 1 \le x_j \le P_j, \quad (1 \le j \le s). \tag{8.2} \]我们像之前在 (7.1) 中那样定义指数和 \(T_j(\alpha)\)。于是 (8.1) 在条件 (8.2) 下的解数 \(\mathcal{N}(P)\) 由下式给出
\[ \mathcal{N}(P) = \int_0^1 T_1(\alpha)\cdots T_r(\alpha) T_{r+1}(-\alpha)\cdots T_s(-\alpha)\,d\alpha. \]我们再次沿用对华林问题的处理方式，作出与前一节相同的细微改动。唯一进一步的改动来自奇异级数与奇异积分中 \(N\) 的缺失。在 (4.10) 中，我们须把 \(J(P^\delta)\) 替换为
\[ (c_1\cdots c_s)^{-1/k} \int_{|\gamma|\lt P^\delta} \left( \prod_{j=1}^{s} \int_0^1 e(\pm\gamma\xi_j^k)\,d\xi_j \right) d\gamma, \]其中符号在 \(j\le r\) 时取 \(+\)，在 \(j>r\) 时取 \(-\)。如同 (4.16) 那样，我们被引向对下述积分的求值
\[ J = \int_{-\infty}^{\infty} k^{-s}\left( \prod_{j=1}^{s} \int_0^1 \zeta_j^{-1+1/k} e(\pm\gamma\zeta_j)\,d\zeta_j \right) d\gamma. \]正如定理 4.1 的证明中那样，我们把变量从 \(\zeta_s\) 换成 \(u\)，其中
\[ \zeta_1 + \cdots + \zeta_r - \zeta_{r+1} - \cdots - \zeta_s = u, \]于是我们求得
\[ J = k^{-s} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \{\zeta_1\cdots\zeta_s(\zeta_1 + \cdots \pm \zeta_{s-1})\}^{-1+1/k}\, d\zeta_1\cdots d\zeta_{s-1}, \]其中 \(0 \lt \zeta_1 + \cdots \pm \zeta_{s-1} \lt 1\)。我们所需要知道的只是 \(J>0\)，而这一点成立，是因为存在某个含于 \(0\lt \zeta_j\lt 1\)（对所有 \(j\)）内的开集，在其上有
\[ 0 \lt \zeta_1 + \cdots \pm \zeta_{s-1} \lt 1. \]这样，对 \(s\ge 2^k+1\) 已证明的 \(\mathcal{N}(P)\) 的渐近公式取下述形式
\[ \mathcal{N}(P) = \frac{C'_{k,s}}{(c_1\cdots c_s)^{1/k}} P^{s-k}\,\mathfrak{S} + O(P^{s-k-\delta}), \tag{8.3} \]其中
\[ C'_{k,s} = k^{-s} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \{\eta_1\cdots\eta_s(\eta_1 + \cdots - \eta_{s-1})\}^{-1+1/k}\, d\eta_1\cdots d\eta_{s-1}, \tag{8.4} \]且
\[ \mathfrak{S} = \sum_{q=1}^{\infty} \sum_{\substack{a=1\\(a,q)=1}}^{q} q^{-s} S_{c_1 a, q}\cdots S_{-c_s a, q}. \tag{8.5} \]我们注意到，现在 \(\mathfrak{S}\) 的值是一个仅依赖于系数 \(c_1,\ldots,-c_s\) 以及 \(k\) 的数。如前所述，定义 \(\mathfrak{S}\) 的级数在 \(s\ge 2k+1\) 时绝对收敛，并可因子分解为 \(\prod \chi(p)\)。同样存在一个 \(p_0\) 使得
\[ \prod_{p>p_0} \chi(p) \ge \frac{1}{2}. \]为了确保 \(\mathfrak{S}>0\)（现在无需再写成 \(\mathfrak{S}\ge C_1(k,s)>0\)，因为不再有参数 \(N\)），只需对每个单独的 \(p\) 证明 \(\chi_p>0\) 即可。如前所述，只要满足下式即足够
\[ M(p^\nu) \ge C_p p^{\nu(s-1)} \tag{8.6} \]对所有充分大的 \(\nu\) 成立，这里 \(M(p^\nu)\) 表示同余式
\[ c_1 x_1^k + \cdots - c_s x_s^k \equiv 0 \pmod{p^\nu}, \qquad 0 \le x \lt p^\nu \tag{8.7} \]的解的总数。
我们现在的目标是求出 \(k\) 的某个明确的函数 \(s_1(k)\)，使得对每个 \(p\)，只要 \(s\ge s_1(k)\)，(8.6) 即成立。于是渐近公式 (8.3) 将是有意义的，因为其中主项的阶为 \(P^{s-k}\)，从而当 \(P\to\infty\) 时 \(\mathcal{N}(P)\to\infty\)。在证明这一结果时，(8.7) 中系数的符号不起任何作用，因此我们回到原始记号，即系数前不带负号的记号。
第一步是导出一个未知数个数较少、且其中没有任何系数能被 \(p\) 整除的同余式，使得若 (8.6) 对这个新同余式成立，则它对原同余式也成立。我们记
\[ c_j = d_j p^{h_j k + l_j}, \quad (1 \le j \le s), \]其中
\[ p \nmid d_j, \quad 0 \le l_j \lt k. \]于是 (8.7) 变为
\[ \sum_{j=1}^{s} d_j p^{l_j} \left( p^{h_j} x_j \right)^k \equiv 0 \pmod{p^\nu}. \]令 \(h = \max h_j\)。我们将自己限于下述形式的解
\[ x_j = p^{h - h_j} y_j. \]这样，对于大的 \(\nu\)，我们可以从同余式中消去 \(p^{hk}\)，于是它变成
\[ \sum_{j=1}^{s} d_j p^{l_j} y_j^k \equiv 0 \pmod{p^{\nu - hk}}, \tag{8.8} \]受下述约束
\[ 0 \le y \lt p^{\nu - h + h_j}. \]如果我们用 \(M'(p^{\nu - hk})\) 表示 (8.8) 满足
\[ 0 \le y \lt p^{\nu - hk} \]的解的个数，那么（因为 \(h - h_j \lt hk\)）我们有
\[ M(p^\nu) \ge M'(p^{\nu - hk}). \]因此只需对 \(M'(p^\nu)\) 证明 (8.6) 的类比即可。
令 \(l = \max l_j\)。在新的同余式 (8.8) 中（但取模 \(p^\nu\)），我们按 \(l_j\) 的值把各项归并到一起。共有 \(k\) 组，其中至少有一组必含有 \(v\) 项，这里 \(v \ge s/k\)。我们在其余项中令 \(y_j = p y'_j\)，并在除去一个因子 \(p^l\) 之后，得到下述形式的同余式
\[ d_1 y_1^k + \cdots + d_v y_v^k + p(d_{v+1} y_{v+1}^k + \cdots) + \cdots \equiv 0 \pmod{p^{\nu - l}}. \tag{8.9} \]我们仍可在右边把 \(\nu - l\) 换成 \(\nu\)，因为这只是把 (8.6) 这类结果中的 \(C_p\) 改变一下。在这最后一个同余式中，我们有
\[ d_1 d_2 \cdots d_v \not\equiv 0 \pmod{p}. \]像通常那样定义 \(\gamma\)（见 (5.11)）。利用引理 5.5 证明中所用的论证，所求结果 (8.6) 对同余式 (8.9) 将成立，只要下述同余式
\[ d_1 y_1^k + \cdots + d_v y_v^k \equiv 0 \pmod{p^\gamma} \tag{8.10} \]有一个解，其中 \(y_1,\ldots,y_v\) 并非全部能被 \(p\) 整除。
设 \(p>2\)。 我们像定理 7.2 证明中那样论证，把 (8.10) 中各项按系数 \(d_j\) 所属的 \(k\) 次幂剩余类或非剩余类归并成组。只要满足下式即足够
\[ \frac{v}{p^{\gamma-1}\delta} > 2k - 1, \]又因为 \(p^{\gamma-1}\delta = p^\tau \delta \le k\)，所以只要满足下式即足够
\[ v > k(2k-1). \]因此只要满足下式即足够
\[ s > k^2(2k-1). \]设 \(p=2\)。 再一次，若 \(\tau = 0\)，即 \(k\) 为奇数，则不成问题。若 \(\tau>0\)，我们可以像定理 7.2 证明中那样论证，但有一个更有效的论证相当简单。我们将证明
\[ d_1 y_1^k + \cdots + d_v y_v^k \equiv 0 \pmod{2^\gamma} \]有一个解，其中 \(y_1,\ldots,y_v\) 并非全为偶数，只要 \(v \ge 2^\gamma\)。我们通过取 \(y_j = 0\) 或 \(1\) 来找到这些解（如同与引理 5.6 相关联时所指出的，当 \(k\) 是 \(2\) 的幂时这不损失一般性）。
首先，若 \(\gamma = 1\)，我们可以求解
\[ d_1 t_1 + d_2 t_2 \equiv 0 \pmod 2 \]方法是取 \(t_1 = t_2 = 1\)（因为 \(d_1, d_2\) 为奇数）。其次，我们可以求解
\[ d_1 t_1 + d_2 t_2 + d_3 t_3 + d_4 t_4 \equiv 0 \pmod 4 \]方法是取 \(t_1 = t_2 = 1,\ t_3 = t_4 = 0\)（若 \(d_1 + d_2 \equiv 0 \pmod 4\)），或者取 \(t_1 = t_2 = 0,\ t_3 = t_4 = 1\)（若 \(d_3 + d_4 \equiv 0 \pmod 4\)），或者取 \(t_1 = t_2 = t_3 = t_4 = 1\)。这个过程继续下去，证明可以容易地通过对 \(\gamma\) 作归纳来完成。
条件 \(v \ge 2^\gamma\) 在 \(v \ge 4k\) 时即满足，因此当 \(s > k(4k-1)\) 时即满足。由于这个数小于 \(k^2(2k-1)\)，它对结果没有影响。
综合我们的结果，我们已经证明：
条件 (8.11) 来自我们对奇异级数的研究，它并非最佳可能。在 [27] 中，Davenport 与 Lewis 证明了：为确保 \(\mathfrak{S}>0\)，只要
\[ s \ge k^2 + 1 \]即足够。当 \(k+1\) 是素数 \(p\) 时这个条件是最佳可能的。因为这时 \(x^k \equiv 1 \pmod p\)（若 \(x \not\equiv 0 \pmod p\)），于是容易推出：含 \(k^2\) 个变量的同余式
\[ p^{k} \mid \big( (x_1^k + \cdots + x_k^k) + p(x_{k+1}^k + \cdots + x_{2k}^k) + \cdots + p^{k-1}(x_{k^2-k+1}^k + \cdots + x_{k^2}^k) \big) \]除非所有变量都能被 \(p\) 整除，否则无解。然而，对 \(k\) 的大多数值，较小的值 \(k^2 + 1\) 即足够。
在前面对方程
\[ c_1 x_1^k + \cdots + c_s x_s^k = 0 \]的处理中，我们已得到了：当 \(P\to\infty\) 时，在 \(s\) 维盒子 \(0 \lt x_j \le P_j\) 中整数解个数的渐近公式。但这个盒子与方程之间并无任何独特方式的联系，结果之所以有意义，主要在于它确立了无穷多解的存在性。然而，为证明这一点，并不必须得到这样一个盒子中所有解的渐近公式；只需考虑某个特殊子集就足够了。这样，我们就可以使用类似于为估计华林问题中 \(G(k)\) 所发展出来的方法。在第9章中，我们将研究维诺格拉多夫（Vinogradov）的方法，它对于大的 \(k\) 非常有效；在随后的一章中，我们将把这个方法应用于我们一直在研究的方程。
不过，不应忽视的是：我们一直在使用的方法特别适合于研究方程之解的分布。设 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_s\) 是任意实数，没有一个为 \(0\)，并满足方程
\[ c_1 \lambda_1^k + \cdots + c_s \lambda_s^k = 0. \]那么本节的方法使人能够求得：当 \(P\to\infty\) 时，我们的方程在盒子
\[ 1 - \delta \lt \frac{x_j}{\lambda_j P} \lt 1 + \delta \]中整数解的渐近公式，这里 \(\delta\) 是任意小的固定正数。用几何语言表述，这一结果意味着：从原点到锥面
\[ c_1 x_1^k + \cdots + c_s x_s^k = 0 \]上整点的那些"射线"，若把该锥面视为 \(s\) 维空间中的实轨迹，则它们在此锥面上处处稠密。因此，尽管现在要阐述的方法在确立无穷多解方面更为有效，但它并不能完全取代前一种方法。