方程 \(c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k=0\)（再论）The equation \(c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k=0\) again

我们回到这个方程，并把上一节的方法加以改造，以便在比定理 8.1 更弱的限制条件下确立它的可解性。与第 8 章一样，我们假定 \(c_1,\ldots,c_s\) 是固定的整数，没有一个等于 \(0\)，并且当 \(k\) 为偶数时它们不全同号。

设 \(s_0=s_0(k)\) 是一个整数，它具有如下性质：任何方程 \[ c_1x_1^k+\cdots+c_{s_0}x_{s_0}^k=0 \] 的奇异级数都是正的。由第 8 章的工作，我们可以取 \begin{equation}\tag{10.1} s_0=k^2(2k-1)+1, \end{equation} 并且如那里所述，事实上可以取 \(s_0=k^2+1\)，尽管我们并未证明这一点。

正如上一章那样，我们将需要关于相关方程 \begin{equation}\tag{10.2} c_1x_1^k+\cdots+c_{s_0}x_{s_0}^k=M \end{equation} 的奇异级数 \(\mathfrak{S}(M)\) 的一些知识。它分解为 \(\prod_p\chi(p)\)，而我们知道 \[ \prod_{p>p_0}\chi(p)\ge\frac12 \] 对某个依赖于 \(k\) 与 \(s\)、但不依赖于 \(M\) 的 \(p_0\) 成立；只要 \(s_0\) 仅仅 \(\ge 2k+1\)，这就成立。于是，为了确保 \(\mathfrak{S}(M)\) 对某一类整数 \(M\) 有一个不依赖于 \(M\) 的正的下界，只需对每个 \(p\le p_0\)，\(\chi(p)\) 有这样一个下界即可。

在第 8 章的工作中，我们（对每个 \(p\)）施加了一个初步变换，化为加性形式，其依赖于整除系数 \(c_j\) 的 \(p\) 的幂次。此后我们得到一个形式 \[ d_1y_1^k+\cdots+d_vy_v^k, \] 其系数不被 \(p\) 整除，并且只要同余式 \[ d_1y_1^k+\cdots+d_vy_v^k\equiv 0\pmod{p^\gamma} \] 有一个 \(y_1,\ldots,y_v\) 不全被 \(p\) 整除的解，这就足够了。我们证明了：当 \(s\ge s_0\) 时这个条件被满足，其中 \(s_0\) 由 (10.1) 给出。

由此可知，对每个 \(p\)，存在某个 \(\gamma_1(p)\)（也依赖于系数 \(c_j\)），使得当¹ \[ M\equiv 0\pmod{p^{\gamma_1(p)}} \] 时，\(\chi(p)\) 有一个正的下界；因为这将保证最终必须求解的那个同余式与 \(M=0\) 时的同余式相同。令 \[ L=\prod_{p\le p_0}p^{\gamma_1(p)}. \] 那么，如果 \(M\equiv 0\pmod L\)，就存在一个不依赖于特定 \(M\) 的、关于 \(\chi(p)\) 的正下界，从而也存在关于 \(\mathfrak{S}(M)\) 的正下界。

回到标题中的方程，我们取 \(s=s_0+3\ell\)，其中 \(\ell\) 如第 9 章那样，并把系数分成若干组： \[ c_1,\ldots,c_{s_0};\quad d_1,\ldots,d_\ell;\quad d_1',\ldots,d_\ell';\quad e_1,\ldots,e_\ell; \] 受到 \(c_1,\ldots,c_{s_0}\) 不全同号这一条件的约束。我们将确立方程 \begin{equation}\tag{10.3} c_1x_1^k+\cdots+c_{s_0}x_{s_0}^k+L^k(u_1+u_2+y^kv)=0 \end{equation} 的可解性，受到如下约束：

1. \(0\lt x_j\le P/|c_j|^{1/k}\)；
2. \(u_1\) 是一个整数 \(\lt \tfrac14(P/L)^k\)，它可表为 \(d_1z_1^k+\cdots+d_\ell z_\ell^k\)，对带撇系数的 \(u_2\) 也类似；
3. \(1\lt y\lt (P/L)^{1/2k}\)；
4. \(v\) 是一个整数 \(\lt \tfrac14(P/L)^{k-1/2}\)，它可表为 \(e_1t_1^k+\cdots+e_\ell t_\ell^k\)。

当 \(s=s_0+3\ell\) 时这将给出原方程的可解性，从而当 \(s\ge s_0+3\ell\) 时更是如此。

主弧与次弧的定义与第 9 章相同，只是我们把 \(2kqP^{k-1}\) 换成 \(2kqcP^{k-1}\)，其中 \(c=\max|c_j|\)；这是为了确保在对引理 9.2 的类比的证明中，范德科普特（van der Corput）引理的条件得到满足。代替引理 9.3，我们得到 \begin{equation}\tag{10.4} \int_{\mathfrak{M}}T_1(\alpha)\cdots T_{s_0}(\alpha)e(-M\alpha)\,d\alpha\gg P^{s_0-k} \end{equation} 其前提是 \(0\lt M\le P^k\) 且 \(M\equiv 0\pmod L\)。这一证明与前面的不同之处仅在于奇异积分，它变换成下式的一个倍数： \[ \int_0^1\cdots\int_0^1\bigl\{\zeta_1\cdots\zeta_{s_0-1}\,(\pm\zeta_1\pm\cdots\pm\zeta_{s_0-1}-\theta)\bigr\}^{1-1/k}\,d\zeta_1\cdots d\zeta_{s_0-1}, \] 积分区域为范围 \(0\lt \pm\zeta_1\pm\cdots\pm\zeta_{s_0-1}-\theta\lt 1\)，其中那些符号是 \(c_1,\ldots,c_{s_0-1}\) 的符号，而我们已假定 \(c_{s_0}\) 是负的。我们可以设那些 \(\pm\) 号中至少有两个是 \(+\)。那么，对于 \(0\le\theta\le 1\)，积分区域包含某个大小不依赖于 \(\theta\) 的小立方体，从而上述积分有一个正的下界。

我们已经看到，出现在引理 9.3 的类比中的奇异级数，对于 \(M\equiv 0\pmod L\) 有一个正的下界，因此我们得到 (10.4)。

引理 9.4 仍然适用，只需作微小改动，即可给出可表为 \[ d_1z_1^k+z \] 形状的数 \(u\) 或 \(v\) 的个数的下界，其中 \(z\) 可表为 \(d_2z_2^k+\cdots+d_\ell z_\ell^k\)；并且，如果变量 \(z_1\) 与 \(z\) 被限制在适当的范围内，这些数全都互不相同。其范围当然依赖于 \(d_1,\ldots,d_\ell\)。我们对 \(U_\ell(X)\) 得到与前面相同的下界，只差一个依赖于 \(d_1,\ldots,d_\ell\) 的常数。

我们现在需要两个指数和 \(R_1(\alpha),R_2(\alpha)\)，分别对应于两个不同的数集 \(u_1,u_2\)；但由于 \[ \int_0^1|R_1(\alpha)R_2(\alpha)|\,d\alpha\le\left\{\int_0^1|R_1(\alpha)|^2\,d\alpha\int_0^1|R_2(\alpha)|^2\,d\alpha\right\}^{1/2}, \] 我们得到与引理 9.4 的推论中相同的节省。

引理 9.5 的推论本质上不变，证明也如前完成。于是我们得到如下结果。