三次型Cubic forms
我们现在着手证明：一个具有整系数的齐次三次方程
\[ \begin{equation}\tag{13.1} C(x_1,\dots,x_n)=0, \end{equation} \]当 \(n\ge 17\) 时，总能在整数 \(x_1,\dots,x_n\)（不全为 \(0\)）中求解。第一个这样的结果，附带条件 \(n\ge 32\)，于 1957 年被证明 [21]；改进后的结果在 1962 年初被发现 [20]。1963 年我证明了条件 \(n\ge 16\) 已经足够 [22]，但这需要一个性质上颇为特殊、超出 \(n\ge 17\) 所需的更细致的论证。
Mordell 于 1937 年 [61] 指出，存在九个变量的三次型不表示零，因而条件 \(n\ge 10\) 对于 (13.1) 总可解而言是必不可少的。Mordell 的例子基于一个三次域的范数型的性质。如果 \(p\) 是一个在该域中不分解的素数，那么范数型 \(N(x,y,z)\) 永远不能被 \(p\) 整除，除非 \(x,y,z\) 都能被 \(p\) 整除。由此容易推出，方程
\[ N(x_1,x_2,x_3)+pN(x_4,x_5,x_6)+p^2 N(x_7,x_8,x_9)=0 \]除平凡解外，没有整数解 \(x_1,\dots,x_9\)。事实上，我们还可以进一步断言：相应的模 \(p^3\) 的同余式除了所有变量都 \(\equiv 0 \pmod p\) 之外没有解。一个简单的例子可由取 \(p=7\) 并令
\[ N(x,y,z)=x^3+2y^3+4z^3-6xyz \]给出，这正是由 \(\sqrt[3]{2}\) 生成的域的范数型。一个与上述类似的构造，给出了 \(k^2\) 个变量中 \(k\) 次齐次不可解方程的例子。
关于三次方程的定理的证明分为若干章，每一章在很大程度上是自成一体的。我们从考虑与一个三次型相关联的指数和开始。写
\[ C(\mathbf{x})=C(x_1,\dots,x_n)=\sum_i\sum_j\sum_k c_{ijk}\,x_i x_j x_k, \]其中各求和指标从 \(1\) 跑到 \(n\)，系数 \(c_{ijk}\) 是整数，并且我们可以假设 \(c_{ijk}\) 是关于 \(i,j,k\) 的对称函数。设 \(P\) 是一个大的正整数。设 \(\mathfrak{B}\) 是 \(n\) 维空间中一个固定的盒子，即由 \(n\) 个区间构成的笛卡尔积
\[ x_j'\lt x_j\le x_j'',\quad (1\le j\le n). \]仅为方便起见，我们假设 \(x_j''-x_j'\lt 1\)。令
\[ S(\alpha)=\sum_{P\mathfrak{B}}e\!\left(\alpha C(x_1,\dots,x_n)\right), \]其中求和遍历盒子 \(P\mathfrak{B}\) 中的所有整点，盒子 \(P\mathfrak{B}\) 由下式给出
\[ Px_j'\lt x_j\le Px_j'',\quad (1\le j\le n). \]设 \(\mathcal{N}(P)\) 表示 \(P\mathfrak{B}\) 中满足 (13.1) 的整点 \(\mathbf{x}\) 的个数。则
\[ \begin{equation}\tag{13.2} \mathcal{N}(P)=\int_0^1 S(\alpha)\,d\alpha. \end{equation} \]我们的目标（原则上）是证明：通过适当选取盒子 \(\mathfrak{B}\)，当 \(P\to\infty\) 时 \(\mathcal{N}(P)\) 有一个渐近公式，其中主项的阶为 \(P^{n-3}\)。实际上这并不总是成立。我们 将要 得到的，是一个看似自相矛盾的结果：该渐近公式在 (13.1) 不可解（从而 \(\mathcal{N}(P)=0\)）的假设下成立！这对我们的目的而言已经足够，因为它将证明 (13.1) 是可解的。
\(|S(\alpha)|\) 的平凡估计是 \(P^n\)。我们首先研究：若对于某个特定的 \(\alpha\)，有
\[ \begin{equation}\tag{13.3} |S(\alpha)|\ge P^{n-K}, \end{equation} \]会发生什么，其中 \(K\) 是某个正数。最终，正如前几章那样，我们的目标是能够从 \(\alpha\) 的集合中去掉任何对积分贡献的量低于 \(P^{n-3}\) 阶的子集。
第一步是证明 Weyl 不等式的一个推广。对于任意两点 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\)，我们定义一组 \(n\) 个双线性型：
\[ B_j(\mathbf{x}\,|\,\mathbf{y})=\sum_i\sum_k c_{ijk}\,x_i y_k,\quad (1\le j\le n). \]我们现在对内层求和重复上述论证。其平方不超过
\[ \sum_{|\mathbf{x}|\lt P}\left|\sum_{\mathbf{z}\in\mathcal{S}(\mathbf{x},\mathbf{y})}e\!\left(\alpha\big(C(\mathbf{z}+\mathbf{x}+\mathbf{y})-C(\mathbf{z}+\mathbf{x})-C(\mathbf{z}+\mathbf{y})+C(\mathbf{z})\big)\right)\right|, \] 其中 \(\mathcal{S}(\mathbf{x},\mathbf{y})\) 是依赖于 \(\mathbf{x}\) 和 \(\mathbf{y}\) 的关于 \(\mathbf{z}\) 的盒子，其各棱边长度小于 \(P\)。我们有 \[ \alpha\big(C(\mathbf{z}+\mathbf{x}+\mathbf{y})-C(\mathbf{z}+\mathbf{x})-C(\mathbf{z}+\mathbf{y})+C(\mathbf{z})\big) =6\alpha\sum_{i,j,k}c_{ijk}x_i y_k z_j+\phi =6\alpha\sum_j z_j B_j(\mathbf{x}\,|\,\mathbf{y})+\phi, \] 其中 \(\phi\) 不涉及 \(\mathbf{z}\)。由一个现已熟悉的估计， \[ \left|\sum_{\mathbf{z}\in\mathcal{S}(\mathbf{x},\mathbf{y})}e\!\left(6\alpha\sum_j B_j(\mathbf{x}\,|\,\mathbf{y})z_j\right)\right| \ll\prod_{j=1}^{n}\min\!\left(P,\ \|6\alpha B_j(\mathbf{x}\,|\,\mathbf{y})\|^{-1}\right). \] 代入前面的不等式中，并结合 (13.3)，即得结论。∎将立方体 \(|\mathbf{y}|\lt P\) 划分为 \(2^n\) 个边长为 \(P\) 的立方体，我们得到
\[ \sum_{|\mathbf{y}|\lt P}\prod_{j=1}^{n}\min\!\left(P,\ \|6\alpha B_j(\mathbf{x}\,|\,\mathbf{y})\|^{-1}\right) \ll Y(\mathbf{x})\sum_{r_1=0}^{P-1}\cdots\sum_{r_n=0}^{P-1}\min\!\left(P,\ \frac{P}{r_j},\ \frac{P}{r_j-1}\right) \ll Y(\mathbf{x})(P\log P)^n. \] 将其代入引理 13.1 的结论中，给出 \[ (P\log P)^n\sum_{|\mathbf{x}|\lt P}Y(\mathbf{x})\gg P^{3n-4K}. \] 由于 \(\sum Y(\mathbf{x})\) 即为满足 (13.4) 的点对 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\) 的个数，结论随之成立。∎现在我们进行一个类似的论证，但固定 \(\mathbf{y}\) 而让 \(\mathbf{x}\) 变化。对每个 \(\mathbf{y}\)，条件 (13.7) 即为
\[ \begin{aligned} &|x_1|\lt P,\dots,|x_n|\lt P,\\ &|M_1(\mathbf{x})-u_{n+1}|\lt P^{-2+\theta},\dots,|M_n(\mathbf{x})-u_{2n}|\lt P^{-2+\theta}, \end{aligned} \] 其中 \(M_j(\mathbf{x})=B_j(\mathbf{y}\,|\,\mathbf{x})\)，而 \(u_{n+j}\) 现在是最接近 \(M_j(\mathbf{x})\) 的整数。这些是引理 12.6 中取 \[ a=P^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\theta},\quad Z=Z_2=P^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\theta} \] 的不等式。我们取 \(Z_1=P^{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\theta}\)。于是引理告诉我们， \[ |x_1|\lt P^\theta,\dots,|x_n|\lt P^\theta,\quad |M_1(\mathbf{x})-u_{n+1}|\lt P^{-3+2\theta},\dots,|M_n(\mathbf{x})-u_{2n}|\lt P^{-3+2\theta} \] 的解的个数 \(\gg P^{-n(1-\theta)}N_1(\mathbf{y})\)，其中 \(N_1(\mathbf{y})\) 表示对给定的 \(\mathbf{y}\)，(13.7) 的解的个数。因此满足 (13.5) 的整点对 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\) 的个数 \[ \gg P^{-n+n\theta}\sum_{|\mathbf{y}|\lt P^\theta}N_1(\mathbf{y})\gg P^{-n+n\theta}P^{n+n\theta-4K}(\log P)^{-n}, \] 由此即得结论。∎(A) 存在多于 \(P^{n\theta+\varepsilon}\) 个满足 \[ \begin{equation}\tag{13.8} |\mathbf{x}|\lt P^\theta,\quad |\mathbf{y}|\lt P^\theta,\quad B_j(\mathbf{x}\,|\,\mathbf{y})=0,\quad (1\le j\le n) \end{equation} \] 的整点对 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\)；
或者
(B) 对每个 \(\alpha\)，假设 \[ \begin{equation}\tag{13.9} |S(\alpha)|\ge P^{n-\frac{1}{4}n\theta+\varepsilon} \end{equation} \] 蕴含 \(\alpha\) 有一个有理逼近 \(a/q\) 使得 \[ \begin{equation}\tag{13.10} (a,q)=1,\quad 1\le q\ll P^{2\theta},\quad |q\alpha-a|\lt P^{-3+2\theta}. \end{equation} \]
选项 B 给出了一个原则上与我们在前几章中已经熟悉的情形类似的局面。它将使我们能够在第 15 章中令人满意地估计由一大类 \(\alpha\) 对 \(\int_0^1 S(\alpha)\,d\alpha\) 所作的贡献，并留给我们相对较少的若干短区间，在其上我们可以逼近 \(S(\alpha)\)。
- 此处我们对任意点 \(\mathbf{x}\) 记 \(|\mathbf{x}|=\max(|x_1|,\dots,|x_n|)\)。这与第 12 章的记号不同，在那里 \(|\mathbf{x}|\) 表示点 \(\mathbf{x}\) 到原点的距离。然而，对我们的目的而言，这种差别无关紧要。↩