第16章 三次型：奇异积分Cubic forms: the singular integral
奇异积分就是出现在引理 15.4 中的那个积分，即
\[ J(\mu) = \int_{-\mu}^{\mu} \left( \int_{\mathcal{B}} e(\gamma C(\boldsymbol{\xi}))\,d\boldsymbol{\xi} \right) d\gamma, \tag{16.1} \]这里我们把 \(P^{\Delta}\) 记作 \(\mu\)。它依赖于在第 13 章定义指数和 \(S(\alpha)\) 时所用的盒子 \(\mathcal{B}\)，本章的目标是证明：我们能够把 \(\mathcal{B}\) 选取得使得
\[ J(\mu) \to J_0 > 0, \quad \text{当 } \mu \to \infty. \tag{16.2} \]我们将选取盒子 \(\mathcal{B}\)，使它以方程
\[ C(\xi_1^*, \ldots, \xi_n^*) = 0 \tag{16.3} \]的一个实解 \(\xi_1^*, \ldots, \xi_n^*\) 为中心。这样做是自然的，因为我们的目标是得到 \(\mathcal{N}(P)\) 的一个渐近公式，它将表明 \(\mathcal{N}(P) \to \infty\)；这里假定备择情形 A 已被排除。如果 \(C(\boldsymbol{\xi}) = 0\) 在 \(\mathcal{B}\) 中没有实解，那么在 \(P\mathcal{B}\) 中也不会有，从而 \(\mathcal{N}(P)\) 就会是 0。
事实上我们将取 \(\xi_1^*, \ldots, \xi_n^*\) 比 \(C(\boldsymbol{\xi}) = 0\) 的任意实解要求得更多一些；我们将把它取为一个非奇异解1，其中 \(\xi_1^*, \ldots, \xi_n^*\) 没有一个为 0。这是一个方便的选择，以确保 (16.2) 成立，而且这或许还是必要的。
这样一个解的存在性容易证明。对任意实数 \(\xi_2, \ldots, \xi_n\)，我们都能找到一个实数 \(\xi_1\) 满足 \(C(\xi_1, \ldots, \xi_n) = 0\)，而且只需保证
\[ \xi_1 \neq 0 \quad \text{且} \quad \partial C/\partial \xi_1 \neq 0. \]对任意 \(\xi_2, \ldots, \xi_n\)，关于 \(\xi_1\) 的方程形如
\[ c_{111}\xi_1^3 + F\xi_1^2 + G\xi_1 + H = 0, \]这里 \(F, G, H\) 分别是 \(\xi_2, \ldots, \xi_n\) 的 1, 2, 3 次型。只要 \(H \neq 0\)（注意 \(H\) 不可能恒等于零），我们就有 \(\xi_1 \neq 0\)。设 \(D(\xi_2, \ldots, \xi_n)\) 为关于 \(\xi_1\) 的三次方程的判别式。那么只要 \(D \neq 0\)，我们就有 \(\partial C/\partial \xi_1 \neq 0\)。我们可以假定 \(D\) 不恒等于零，因为否则关于 \(\xi_1\) 的二重根将由 \(\xi_2, \ldots, \xi_n\) 有理地确定，于是我们便得到 \(C(\boldsymbol{\xi}) = 0\) 的有理解。
这样我们便能找到 (16.3) 所期望的非奇异实解 \(\xi_1^*, \ldots, \xi_n^*\)。我们取 \(\mathcal{B}\) 为该点周围的一个小立方体，例如
\[ |\xi_j - \xi_j^*| \lt \rho, \quad (1 \le j \le n). \tag{16.4} \]对任意 \(\boldsymbol{\eta}\)，我们有
\[ C(\boldsymbol{\xi}^* + \boldsymbol{\eta}) = c_1\eta_1 + \cdots + c_n\eta_n + P_2(\boldsymbol{\eta}) + P_3(\boldsymbol{\eta}), \tag{16.6} \]这里 \(P_2(\boldsymbol{\eta}), P_3(\boldsymbol{\eta})\) 是关于 \(\boldsymbol{\eta}\) 的 2 次和 3 次型。我们有
\[ c_1 = \frac{\partial C}{\partial \xi_1}(\xi_1^*, \ldots, \xi_n^*) \neq 0. \]不失一般性，我们可以假定 \(c_1 = 1\)。
对于 \(|\boldsymbol{\eta}| \lt \rho\)，我们有
\[ |C(\boldsymbol{\xi}^* + \boldsymbol{\eta})| \lt \sigma, \]其中 \(\sigma = \sigma(\rho)\) 随 \(\rho\) 而变小。令 \(C(\boldsymbol{\xi}^* + \boldsymbol{\eta}) = \zeta\)。那么，若 \(\rho\) 充分小，我们可以反演关系 (16.6)，把 \(\eta_1\) 用 \(\eta_2, \ldots, \eta_n\) 借助幂级数表示出来。这将是如下形式之一：
\[ \eta_1 = \zeta - c_2\eta_2 - \cdots - c_n\eta_n + P(\zeta, \eta_2, \ldots, \eta_n), \]其中 \(P\) 是一个至少从 2 次项开始的多重幂级数。于是
\[ \frac{\partial \eta_1}{\partial \zeta} = 1 + P_1(\zeta, \eta_2, \ldots, \eta_n), \]取 \(\rho\) 充分小，我们便能保证在
\[ |\eta_2| \lt \rho, \ldots, |\eta_n| \lt \rho, |\zeta| \lt \sigma \]上有 \(|P_1| \lt 1/2\)。
在 (16.5) 中作从 \(\eta_1\) 到 \(\zeta\) 的变量替换，我们得到
\[ J(\mu) = \int_{-\sigma}^{\sigma} \frac{\sin 2\pi\mu\zeta}{\pi\zeta} V(\zeta)\,d\zeta, \tag{16.7} \]其中
\[ V(\zeta) = \int_{\mathcal{B}'} \{1 + P_1(\zeta, \eta_2, \ldots, \eta_n)\}\,d\eta_2 \cdots d\eta_n, \]这里 \(\mathcal{B}'\) 表示 \((n-1)\) 维立方体
\[ |\eta_2| \lt \rho, \ldots, |\eta_n| \lt \rho \]中满足 \(|\eta_1| \lt \rho\) 的那一部分，也就是满足
\[ |\zeta - c_2\eta_2 - \cdots - c_n\eta_n + P(\zeta, \eta_2, \ldots, \eta_n)| \lt \rho \]的部分。
显然，对于充分小的 \(|\zeta|\)，\(V(\zeta)\) 是 \(\zeta\) 的连续函数。同样容易看出，\(V(\zeta)\) 是有界变差函数，因为它在 \(\zeta\) 的每个值处都有左、右导数，且它们是有界的。因此，把 Fourier 积分定理应用于 (16.7)，我们有
\[ \lim_{\mu \to \infty} V(\mu) = V(0). \]现在 \(V(0)\) 是一个正数，因为立方体 \(\mathcal{B}'\) 包含任意充分小的以原点为中心的 \((n-1)\) 维立方体，而在这样一个立方体中我们有 \(1 + P_1 > 1/2\)。这就证明了结论。∎
- 即一个使得 \(C\) 的偏导数不全为 0 的解。↩