更高次的齐次方程Homogeneous equations of higher degree
在文献 [6] 中，Birch 给出了对我们处理齐次三次方程所用方法的一个意义深远的推广，但这一推广涉及一些重要的修改。他考虑求解一个齐次方程，或一组联立的齐次方程（它们的次数全都相同）的问题。这里人们面临两个严重的困难。首先，即便对于单个次数为 \(k>3\) 的方程，我们一般也不知道任何关于 \(k\) 的合理函数 \(n_0(k)\)，使得当 \(n\ge n_0(k)\) 时，同余条件对每个素数都能被满足。（由 Brauer 的工作（已在第 11 章中引用），我们知道存在某个 \(k\) 的函数，使得方程在 \(p\)-进域中可解。此外，仅仅在 \(p\)-进域中有解还不够；我们需要一个非奇异解，以便确保能够满足同余条件。）因此，我们必须假定对每个素数 \(p\)，同余条件都被满足。我们还必须假定该方程，或方程组，在实数域中可解，并且具有一个非奇异解。
其次——而这一点更为重要——即便这些假定也不总是足以保证方程在整数（或有理数）中可解。下面这个例子是 Swinnerton-Dyer 给我看的：
\begin{equation}\tag{19.1} 3(x_1^2+\cdots+x_r^2)^3+4(x_{r+1}^2+\cdots+x_s^2)^3=5(x_{s+1}^2+\cdots+x_n^2)^3, \end{equation}其中 \(r\lt s\lt n\)。由 Selmer [78] 的工作可知，方程
\[ 3X^3+4Y^3=5Z^3 \]除了 \(X=Y=Z=0\) 之外无解，由此可推出 (19.1) 除了 \(x_1=\cdots=x_n=0\) 之外无解。另一方面，可以证明 (19.1) 对每个 \(p\) 满足同余条件，并且它在实数域中当然也是非奇异可解的。
因此，如果我们要建立整数可解性，就必须施加某个进一步的条件。Birch 被引导施加的那类条件，是用与方程组相关联的一个‘奇异轨迹’的维数来表述的。
我们将概述他的论文的总体计划，在可能有帮助的地方与单个三次方程的问题作比较。由于记号不可避免地复杂，细节相当繁难。
设有 \(R\) 个 \(n\) 元 \(k\) 次齐次型，其中 \(R\lt n\)。我们可以把它们写成
\[ \begin{aligned} f^{(1)}(\mathbf{x}) &= \sum_{j_0,\ldots,j_{k-1}} C^{(1)}_{j_0,\ldots,j_{k-1}}\, x_{j_0}\cdots x_{j_{k-1}},\\ &\ \ \vdots\\ f^{(R)}(\mathbf{x}) &= \sum_{j_0,\ldots,j_{k-1}} C^{(R)}_{j_0,\ldots,j_{k-1}}\, x_{j_0}\cdots x_{j_{k-1}}, \end{aligned} \]其中求和的变量从 \(1\) 到 \(n\)。设 \(\mathfrak{B}\) 为 \(n\) 维空间中的一个盒子，定义指数和
\[ S(\alpha_1,\ldots,\alpha_R)=\sum_{\mathbf{x}\in P\mathfrak{B}} e\!\left(\alpha_1 f^{(1)}(\mathbf{x})+\cdots+\alpha_R f^{(R)}(\mathbf{x})\right). \]那么，\(P\mathfrak{B}\) 中满足联立方程 \(f^{(1)}(\mathbf{x})=0,\ldots,f^{(R)}(\mathbf{x})=0\) 的整点 \(\mathbf{x}\) 的个数由下式给出
\[ \mathcal{N}(P)=\int_0^1\cdots\int_0^1 S(\alpha_1,\ldots,\alpha_R)\,d\alpha_1\ldots d\alpha_R. \]由引理 13.1 的一个直接推广，我们发现，如果
\[ |S(\alpha_1,\ldots,\alpha_R)|\ge P^{n-K},\quad (K>0), \]那么
\[ \sum_{\mathbf{x}^{(1)}}\cdots\sum_{\mathbf{x}^{(k-1)}}\prod_{J=1}^{n}\min\left\{P,\,\big\|\alpha_1 M_J^{(1)}+\cdots+\alpha_R M_J^{(R)}\big\|^{-1}\right\}\gg P^{nk-2^{k-1}K}, \]其中 \(M_J^{(1)},\ldots,M_J^{(R)}\) 是 \(k-1\) 个点 \(\mathbf{x}^{(1)},\ldots,\mathbf{x}^{(k-1)}\) 的多重线性型，由下式定义
\[ M_J^{(i)}\!\left(\mathbf{x}^{(1)}\mid\cdots\mid\mathbf{x}^{(k-1)}\right)=\sum_{j_1,\ldots,j_{k-1}} c^{(i)}_{J,j_1,\ldots,j_{k-1}}\, x^{(1)}_{j_1}\cdots x^{(k-1)}_{j_{k-1}}, \]其中 \(i=1,\ldots,R\)。引理 13.1 本身就是 \(R=1,\,k=3\) 的情形。正如在引理 13.2 中那样，由此推出，满足
\[ \big|\mathbf{x}^{(1)}\big|\lt P,\ \ldots,\ \big|\mathbf{x}^{(k-1)}\big|\lt P, \] \[ \big\|\alpha_1 M_J^{(1)}+\cdots+\alpha_R M_J^{(R)}\big\|\lt P^{-1},\quad (1\le J\le n), \]的 \(k-1\) 个整点的组的个数
\[ \gg P^{(k-1)n-2^{k-1}K-\varepsilon}. \]把引理 12.6 使用 \(k-1\) 次（而不是像引理 13.3 的证明中那样使用两次），我们推出，满足
\[ \big|\mathbf{x}^{(1)}\big|\lt P^{\theta},\ \ldots,\ \big|\mathbf{x}^{(k-1)}\big|\lt P^{\theta}, \] \[ \big\|\alpha_1 M_J^{(1)}+\cdots+\alpha_R M_J^{(R)}\big\|\lt P^{-k+(k-1)\theta} \]的 \(k-1\) 个整点的组的个数
\[ \gg P^{(k-1)n\theta-2^{k-1}K-\varepsilon}. \]如果在这些 \(k-1\) 个点的组中存在某一个，使得矩阵
\[ \begin{pmatrix} M_1^{(1)} & \cdots & M_1^{(R)}\\ \vdots & & \vdots\\ M_n^{(1)} & \cdots & M_n^{(R)} \end{pmatrix} \]的秩为 \(R\)，那么我们就得到对 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_R\) 的良好有理逼近，它们都具有相同的分母 \(q\)。这个分母来自上述矩阵中某个 \(R\) 阶行列式（非零）的值。事实上我们得到
\[ |q\alpha_i-a_i|\ll P^{-k+R(k-1)\theta} \]以及
\[ q\ll P^{R(k-1)\theta}. \]这里的指数分别对应于引理 13.4 的选择 B 中的 \(-3+2\theta\) 与 \(2\theta\)。
真正的困难出现在上述情形失效时，即对所有的 \(\mathbf{x}^{(1)},\ldots,\mathbf{x}^{(k-1)}\)，上述矩阵的秩都 \(\le R-1\) 时。在 \(R=1\) 的情形，这将意味着多重线性型 \(M_J\) 在所有这些整点组上全都消失。
Birch 论文的主要新思想，是用簇（variety）的维数来表述这种可能性。我们把一组 \(k-1\) 个点看作 \((k-1)n\) 维空间中的单个点。上述矩阵的秩应 \(\le R-1\) 这一条件，在该空间中定义了一个代数簇；而由其上整点个数的下界，我们推出这个簇的维数
\[ \ge (k-1)n-2^{k-1}K/\theta+\varepsilon. \]代数几何中一个简单的原理是：若我们用一个由 \(t\) 个方程定义的线性空间去与一个簇相交，则簇的维数（即其任一绝对不可约分量的最大维数）至多减少 \(t\)。因此，上述簇与‘对角’线性空间
\[ \mathbf{x}^{(1)}=\mathbf{x}^{(2)}=\cdots=\mathbf{x}^{(k-1)} \]（它由 \((k-2)n\) 个方程定义）的交，其维数
\[ \ge n-2^{k-1}K/\theta-\varepsilon. \]如果 \(\mathbf{x}=\mathbf{x}^{(1)}=\cdots=\mathbf{x}^{(k-1)}\)，则这个新簇由所有满足下列条件的点 \(\mathbf{x}\) 组成：矩阵
\[ \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f^{(1)}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f^{(R)}}{\partial x_1}\\[2ex] \vdots & & \vdots\\[1ex] \dfrac{\partial f^{(1)}}{\partial x_n} & \cdots & \dfrac{\partial f^{(R)}}{\partial x_n} \end{pmatrix} \]的秩 \(\le R-1\)。我们称之为与给定方程相关联的奇异轨迹，并记为 \(V^*\)。于是当前情形导致
\[ \dim V^*\ge n-2^{k-1}K/\theta-\varepsilon. \]如果 \(\dim V^*=s\)，我们就可以通过选取
\[ K=\frac{\theta}{2^{k-1}}(n-s-2\varepsilon) \]来阻止这种情况发生（从而排除现在对应于引理 13.4 选择 A 的局面）。
做出这一选择后，我们就有了一个类似于选择 B 的局面；也就是说，对每一组 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_R\)，要么有一个关于 \(|S(\alpha_1,\ldots,\alpha_R)|\) 的估计，要么有一组对 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_R\) 的良好联立逼近。这在原则上为一种类似于第 15、16、17 章中处理单个三次方程的处理方法奠定了基础。
主要的困难在于奇异积分，而这里奇异簇的维数又一次起作用。对该积分的处理过于繁复，无法在此概述。本质上需要假设原始方程组定义一个维数为 \(n-R\) 的簇。
Birch 论文的结果如下：