第七章　不同类型的数学头脑Different Kinds of Mathematical Minds

在第一至第五节里所考察的那些现象，似乎在许多从事数学研究的学者身上都以相似的方式发生。相反，前一节所研究的那些具体表象，在每个人那里却远非相同。本节同样将致力于探讨数学思维各种方式之间的差异。它对于我们前面的种种考察，正如各个动物属、种之间的区别对于一般生理学所具有的那种关系。

常识的情形The Case of Common Sense

让我们从头开始，也就是从人们仅仅凭常识进行推理的情形说起。在这种情形里，我们可以说，无意识提供了许多，而向其后的有意识加工所要求的却很少。

此外还常常发生这样的事：那种无意识乃是一种十分表层的无意识，它的材料与正规的推理本质上并无不同。例如，斯宾塞（Spencer）援引那个经典的三段论“凡人皆有死；——而彼得是人；——所以彼得有死”，他设想你听说有一位九十岁的老人着手为自己建造一所新房子。斯宾塞毫不费力地证明：那个三段论其实就存在于你的边缘意识（fringe-consciousness）之中；而在这个三段论与那一连串思绪——如无意识中一般的情形那样，是瞬间发生的——之间，仅有一种形式上的差别，正是这串思绪使你把那位老人说成是不明智的。在许多简单的数学推演的情形里，事情也会以类似的方式发生。

然而在另外一些情形里，常识所遵循的途径，可能与我们能够用明确推理表述出来的途径大不相同。这在具有具体性质的问题——比如几何问题或力学问题——中尤其会发生。我们在幼年时期所获得的关于此类主题的种种观念，似乎被贬抑到了某种遥远的无意识之中；我们无法确切地知道它们，而且很可能它们往往隐含着一些经验性的理由，这些理由并非取自真正的推理，而是取自我们感官的经验。让我们举一两个例子。

设想我抛出一个所谓的“质点”——也就是一个极小的物体，比如一颗极小的弹珠——它由于初速度和自身重量将继续运动。常识告诉我们：这一运动必定发生在一个竖直平面内，即过抛射初始方向所作的那个竖直平面 P。在这种情形里，几乎毫无疑问，潜意识的推理用到了“充足理由律”（principle of sufficient reason）：因为没有任何理由使那个可动点应当偏向上述平面 P 的右侧而非左侧。

而在理性力学课程中按经典方式给出的数学证明，则以一种完全不同的方式进行，要用到微分学和积分学的若干定理。然而值得注意的是，常识所想到的那个证明，是可以被改造为一个完全严格的证明的：办法是应用一条普遍定理（它同样属于积分学），该定理说，在上述条件下（初速度的方向和大小已给定），运动是唯一确定的。这条定理本身又是可以严格证明的；但后一证明只在更高级的微积分课程里才会出现，因而在正规教学中，常识所提示的、用以得出我们结论的途径，实际上反而显得不如另一条途径那样初等。

现在让我们来考察几何中的两个例子。如果我设想用一个点的连续运动在平面内画出一条曲线，那么按常识来看，这是一桩事实：在它的所有的点上（也许某些例外的点除外），那条曲线都将有一条切线（换句话说，在每一瞬间，运动都必定沿着某个确定的方向进行）。我们不知道我们的常识、即我们的无意识是如何得出这样一个结论的：也许是凭经验主义，即凭着对我们习惯于看到的那些线条的记忆；或者，如克莱因（F. Klein）所设想的那样，是由于把毫无任何粗细的几何曲线，与我们实际所能画出、并且总是带有某种粗细的线条混为一谈了。事实上，这个结论是错误的；数学家能够构造出处处都没有切线的连续曲线。

其次，让我们考察平面上一条没有“二重点”（double point）的闭曲线，也就是一条处处不与自身相交的闭曲线。在常识看来，显然这样一条曲线，无论其形状如何，都把平面（a）分成两个不同的区域；（b）分成不多于两个区域。

常识是如何加工出这个结论的，人们并不确切知道，很可能这里又有经验主义的介入。这一次，结论（若尔当定理，Jordan's theorem）是正确的；但是，尽管它对我们的常识而言显而易见，其证明却极为困难。

通过诸如此类的两个例子，人们已经认识到：至少在某一类关乎原理的问题上，¹我们决不能稳妥地依靠我们通常的空间直觉。由于几何性质总能借助解析几何的发明而被归结为数值性质，所以论证总应当被充分地算术化（arithmetized），或者至少必须确认这种算术化（即使为简洁起见没有详尽地给出）是可能的。帕斯卡（Pascal）的那句话“Tout ce qui passe la Géométrie nous passe（凡是超出几何学的，都超出我们的把握）”，在现代数学家那里被替换为“Tout ce qui passe l'Arithmétique nous passe（凡是超出算术的，都超出我们的把握）”。

例如，对于我们刚刚陈述过的若尔当定理，倘若它的一个证明不是完全可算术化的，那么这个证明就不能令人满意。²

第二步：学习数学的学生Second Step: the Student in Mathematics

在人类思想的那种常识状态之后，继之而来的是科学状态。我们已经看到，它的特征在于那个三重操作的介入，即：验证结果；使结果“精确化”；以及，尤为重要的是，使结果可被利用——而后者，正如我们所见，要求陈述出一些中继性结果（relay-results）。我们已经看到，这一点也是必不可少的：首先是为了如此获得的知识的确定性，其次是为了它的丰产性以及加以推广的可能性。

这些特征能够帮助我们理解，从前一状态过渡到后一状态时，从心理学上说究竟发生了什么；换句话说，帮助我们理解学习数学的学生的情形。

在这种情形里，彻底的误解与失败何等普遍地发生，这是众所周知的。此外，我在这个问题上将十分简略，因为它已被庞加莱（Poincaré）作过深刻的论述（见《科学与方法》中的《教学中的定义》一文，Les Définitions dans l'Enseignement in Science et Méthode）。甚至在引述他之前，不无益处的是先指出：这种数学学生的情形，本已属于我们所讨论的发明这一主题。在那试图解一道几何题或代数题的学生的工作，与一项发明的工作之间，可以说只有程度上的、层次上的差别，两种工作在本质上是相似的。

那么，何以有那么多人无法胜任这种工作，无法理解数学呢？这正是庞加莱所考察的问题，他以一种引人注目的方式揭示了其真正的原因，这原因就在于应当赋予“理解”一词的那种含义。

“理解一条定理的证明，是不是就是去逐一审查构成它的每一个三段论，确认其正确性、确认其符合游戏规则呢？……对于某些人，是的；当他们做完这件事，他们就会说，我理解了。

“而对于大多数人，并非如此。几乎所有人都要求得多；他们想知道的不仅仅是一个证明的所有三段论是否都正确，而且还想知道它们为什么是按这种次序、而不是按另一种次序联结在一起的。只要这些三段论在他们看来仿佛是出于一时兴致、而非出于一种始终意识到所要达到之目的的智慧而产生的，他们就不相信自己理解了。

“无疑，他们自己也未必清楚地意识到他们所渴求的究竟是什么，他们也无法把自己的愿望表述出来；但如果得不到满足，他们就会隐约地感到，缺少了某种东西。”

这与我们前面的种种考察之间的联系是不难理解的。为了教学的目的——无论是口头的还是书面的——论证的每一部分都被纳入其完全有意识的形式，这对应于我们上面所描述过的同时进行的验证阶段和“精确化”阶段。甚至，着眼于进一步的后果，还有一种增加中继性结果数目的倾向。在这种工作方式里——它似乎是为初学者获得严格而清晰的表述的最佳方式——然而，前一节里我们曾强调其重要性的那种综合，却荡然无存。可正是那种综合给出了引导的线索，没有它，人就好比一个能行走却永远不知该往何方走去的盲人。

对那些觉得这种综合显现出来的人来说，他们“理解了数学”。在相反的情形里，则有庞加莱所提到的那两种态度。比较普遍的是第二种：学生感到缺少了某种东西，却无法弄清到底什么不对劲；如果他不能克服这一困难，他就会迷失。

在庞加莱所提到的第一种情形里，学生由于找不到任何综合的过程，便干脆不要它了。尽管这使他得以继续他的学业，往往延续许多年，但从某种角度看，他的情形比另一种还要糟，因为在另一种情形里，至少还理解到某种困难的存在。由于进入若干职业所要求的数学知识越来越多，人们便经常遇到这样的学生。我见过这样一例：一位考生，凭着他的常识，已经知道了我所提问题的正确答案，却认为自己不被允许给出它，而且没有意识到，他潜意识的那个提示是可以非常容易地被翻译成一个正确而严格的证明的。

这类奇特的事例，在学习微分学和积分学的学生中并不少见。问题最常常在于：某条定理或公式是否被恰当地援引了，它的应用条件究竟是否得到满足。学生有时会在常识表明答案实际上显而易见的情形里煞费苦心地去探究这个问题——另一方面，却在答案微妙、确实值得仔细考察的情形里疏于研究它。这一类或类似的看法，也许终究会在教育学上有所用处。

逻辑型与直觉型头脑——问题的一个政治侧面Logic and Intuitive Minds. A Political Aspect of the Question

谈过学生之后，现在让我们来谈数学家本人，他们不仅能够理解数学理论，而且还能够探究新的理论。这些人不仅与普通学生不同，而且彼此之间也存在深刻的差异。人们曾强调过一个根本性的区分：有些数学家是“直觉型的”，另一些则是“逻辑型的”。庞加莱论述过这一区分，德国数学家克莱因（Klein）也论述过。庞加莱关于这个主题的讲演开篇如下：

“一类人首先关注的是逻辑；读他们的著作，人们会忍不住相信，他们是一步一步地推进的，就像一位沃邦（Vauban）那样把他的壕堑朝着被围困的要塞步步推进，不给任何东西留下侥幸的余地。另一类人则由直觉来引导，一举之间便作出迅速然而有时并不牢靠的征服，就像前卫部队中那些大胆的骑兵。”

到了克莱因那里，连政治都被引入到这个问题里来了：他断言³说，“似乎一种强烈而质朴的空间直觉乃是条顿（Teutonic）种族的一种禀赋，而那种批判性的、纯粹逻辑的意识则在拉丁（Latin）种族和希伯来（Hebrew）种族中更为发达。”这样一种断言与事实并不相符，等我们谈到例子时这一点便会清楚地显现出来。几乎毫无疑问，克莱因在作此断言时，暗中是把直觉连同它那神秘的特性，视为优越于逻辑那种平淡无奇的方式的（我们在第三节里已经遇到过这样一种倾向），并且他显然很乐于为他的同胞争得这种优越性。我们近来从纳粹主义那里听说过那种特别的种族学说：我们看到，早在1893年就已经有了某种这一类的东西了。

每当民族主义的激情介入其中时，人们就会发现这种对事实的偏颇解释。第一次世界大战开始时，我们最伟大的科学家、科学史家之一、物理学家迪昂（Duhem），也像克莱因当年那样被它们所误导，只不过方向恰好相反。在一篇相当详尽的文章里，⁴他把德国科学家、尤其是数学家描绘成缺乏直觉、甚至有意把直觉撇在一边的人。尤其令人难以理解的是，他怎么能这样去刻画黎曼（Bernhard Riemann）——后者无疑是直觉型头脑最典型的范例之一。在我看来，迪昂1915年的那个断言，与克莱因1893年的那个断言一样地不合情理。倘若两人之中有一人是对的，那么读者由前面所述的一切便会明白：要么法国人、要么德国人就从来不可能作出任何重要的发现了。在这条线上，我所能想到的、唯一要责备德国数学学派的，乃是一种成系统的、虽然几乎站不住脚而且多少有些迂腐的主张——这主张主要是在克莱因的影响之下形成的——即，对于分析及其算术应用中的某些证明，必须优先使用“级数”而非“积分”。恰恰是在那些问题里，使用级数显得更合乎逻辑，而使用积分则显得更富于直觉。也许在这种倾向里又有某种民族主义在作祟，因为级数为著名的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）所采用——他是一位最明显不过的逻辑学家——而他的声望和影响在德国学者当中是巨大的；与此同时，在类似的主题里，柯西（Cauchy）或埃尔米特（Hermite）则引入了积分⁵（不过黎曼也是这样做的）。

庞加莱对这一区分的看法Poincaré's View of the Distinction

我认为，庞加莱更为明智，他并不把这件事与政治联系起来。恰恰相反，他暗中表明了这样一种联系是何等可疑：因为，为了说明这两类头脑之间的对立，他首先彼此相对地举出两位法国人，然后又举出两位德国人。

然而，在第一至第五节里完全接受并忠实地遵循了庞加莱的思想之后，这一次我却要与他持不同意见。我们已经引述了他讲演的第一段；让我们再把第二段照录如下。它写道：

“方法并不是由所处理的题材所强加的。虽然人们常常说前一类人是分析学家、把后一类人称作几何学家，但这并不妨碍前一类人即使在做几何时仍然是分析学家，而后一类人即使在从事纯分析时仍然是几何学家。正是他们头脑的本性使他们成为逻辑学家或直觉主义者，当他们着手一个新主题时，他们无法把这种本性撇开。”

对于这两段之间的比较，我们应当怎么看呢？两次都在直觉与逻辑之间作了区分，但所依据的基础却颇为不同，尽管这两个基础彼此之间多少有些关联。⁶

这一点在庞加莱所列举的例子里显现得更为清楚。他把约瑟夫·贝特朗（Joseph Bertrand）——此人对每一个问题显然都持有一种具体的、空间性的看法——与埃尔米特相对照，后者的目光“似乎回避与外部世界的接触”，他在“内部、而非外部寻求真理的景象”。

埃尔米特不习惯于作具体的思考，这是确定无疑的。他对几何抱有一种实实在在的憎恶，有一次还很奇怪地责备我写了一篇几何方面的论文。很自然，他自己关于具体主题的论文很少，而且不在他最杰出的著作之列。因此，从庞加莱的第二种观点来看，埃尔米特应当被算作一位逻辑型的数学家。

然而要把埃尔米特称作逻辑学家！在我看来，没有什么比这更直接地违背真相的了。在他那里，方法似乎总是以某种神秘的方式在他头脑中诞生。在他于索邦（Sorbonne）所作的讲课中（我们怀着始终不渝的热情去听讲），他喜欢这样开始他的论证：“让我们从这个恒等式出发……”，说着他就写下一个公式，其正确性是确定无疑的，但它在他头脑中的来源、它被发现的方式，他却并不解释，我们也无从猜测。他头脑的这一品质，在他关于二次型理论的那项著名发现里也表现得再明显不过。在那个问题里，有两种可能的情形，显然两者中事情的发生方式很不相同。在第一种情形里，“约化”自高斯（Gauss）以来就已为人所知。看来谁也不会想到这样一个念头：在第二种情形里径直照搬那些适合于第一种情形、而表面上与这第二种情形毫不相干的演算；这些演算那一次竟然会导向解答，似乎是相当荒谬的；然而，凭着某种类似巫术的力量，它们果真做到了。这一非凡现象的机理，若干年后通过一种几何解释得到了部分的说明（当然，这解释不是由埃尔米特给出的，而是由克莱因给出的）；但直到读了庞加莱在他早期一篇短文里对它的构想之后，⁷它对我才变得完全清楚起来。我几乎无法设想有什么比埃尔米特更完美的直觉型头脑的典型了——倘若不计入下一节里将要提到的那些极端情形的话。埃尔米特的例子无疑表明：庞加莱所给出的直觉与逻辑这两个定义并不一致、或者说并不必然一致——由于这一情形，庞加莱最终也在某种程度上承认了这一点。

庞加莱所比较的那两位德国数学家是魏尔斯特拉斯和黎曼。正如他所断定的那样，黎曼是典型的直觉型、魏尔斯特拉斯是典型的逻辑型，这是无可争辩的。但就后者而言，庞加莱说“你可以把他所有的书都翻遍，也找不到一张图。”在我看来，这里恰好出了一个事实性的错误。⁸诚然，魏尔斯特拉斯几乎没有哪篇论文用到任何图：只有一个例外；但确实有这样一个例外，而这个例外恰恰出现在他最精湛、最清晰利落、最能给人以完美无缺之印象的著作之一里：我指的是他在变分法中那个根本性的方法。魏尔斯特拉斯画了一幅简单的图，^8a而在迈出这最初的一步之后，一切便都以那种无疑是他特色的、极其合乎逻辑的方式进行下去，以至于任何对数学方法有足够了解的人，单凭看着那幅图，就能把整个论证重建起来。但当然，曾有过一种最初的直觉，即构造那幅图的直觉。这件事愈发困难、也愈发明显地是一桩天才之举，因为它意味着要从那些自无穷小演算发明以来一直变得越来越成功的一般方法中决裂出来——那些方法在拉格朗日（Lagrange）手中曾极漂亮地成功地获得了解答的第一阶段，尽管它们并不能使任何人正确地完成这个解答。魏尔斯特拉斯表明，舍弃这些方法、直接进行运算才是做这件事的正确途径。

正如我们所见，这实际上是逻辑紧随一种最初的直觉之后这一普遍事实的一个不可否认的例证。

运用我们先前的材料Application of Our Previous Data

于是我们不得不承认：关于直觉与逻辑之对立，并不存在一个单一的定义，而至少存在两个不同的定义。那么，为了阐明这一点，我们何不利用我们在先前对那些现象的分析中所发现的东西呢？

把那番分析的结果概括一下，让我们记住：每一项心智工作、尤其是发现的工作，都意味着无意识的协作，无论那是表层的无意识、还是（相当经常地）那种或多或少遥远的无意识；记住，在那种无意识内部（它产生于一项先行的有意识工作），有着庞加莱比作原子之投射的那种观念的启动，而这种启动可能或多或少地散开；记住，头脑一般会借助具体表象来维持并综合各种组合。

由此首先带来这样一个结论：严格说来，几乎不存在任何完全合乎逻辑的发现。至少为了启动逻辑工作，总需要某种由无意识发出的直觉的介入。

有了这一保留之后，我们立即看到：上述那些过程在不同的头脑里可以有不同的表现。

（A）无意识中或深或浅的层次More or Less Depth in the Unconscious

既然我们知道无意识中必定有若干层次，有些十分靠近意识，有些则可能越来越遥远，那么显然，观念相遇并组合所发生的层次可能或深、或反过来更浅；而且，认定每一个头脑从这一角度看都有一种惯常的表现方式，也并非不合理。

如果观念被组合的那个区域更深，那么很自然就该说这是一个更偏直觉型的头脑；如果那个区域相当浅，则说这是一个逻辑型的头脑。我应当相信，以这种方式来看待这一区分，是其中最为重要的。

如果那个区域更深，那么把结果送达意识的认知就会有更大的困难，而很可能发生的是：头脑会有一种倾向，只为那严格必需的东西才去这样做。我想埃尔米特的情形便是如此，他在自己反思的结果中肯定没有遗漏任何严格说来本质性的东西，因而他的方法是十分正确而严格的，但他被引向这些方法的途径却没有留下任何痕迹。

相反的情况也可能发生：有些头脑可能是这样的，即在无意识深处所加工出来的观念，却仍然被完整地送达意识之光下。我设想这种情形发生在庞加莱身上，他的种种观念，尽管可能是受了高瞻远瞩的直觉的启发，但一般看上去却像是循着一条颇为自然的途径而来。由此可见，可以有一些表面上的逻辑学家，他们在发现自己的观念时是直觉型的，而在陈述这些观念时却是逻辑型的。⁹

（B）或宽或窄地受导向的思维More or Less Narrowly Directed Thought

其次，我们已经看到，庞加莱那些原子的投射——用一种不那么比喻性的说法，即观念的启动——可能或多或少地散开。这是另一个原因，使我们可以产生直觉型头脑的感觉（如果散开得很多就会如此），或者（在相反的情形里）产生逻辑型头脑的感觉；而这第二个原因，至少先验地说，可以与第一个原因毫无关联：思维的方向可宽可窄，而这无论是在无意识的某一层次上、还是在另一层次上都可能发生。先验地说，我们并不知道这两类“直觉倾向”之间是否没有某种关联；但事实上，有一个例子（见下文伽罗瓦（Galois）的情形）将向我们表明它们的相互独立。

（C）不同的辅助表象Different Auxiliary Representations

我们已经看到，科学家们在其思维受心理图像或其他具体表象帮助的方式上，表现得何等不同：差异既可能在于表象的性质，也可能在于它们影响头脑工作的方式。显然，这些表象中有些可能使思维走上一条颇为逻辑的路径，另一些则使之走上一条颇为直觉的路径。但这个问题的这一侧面要远不那么便于研究，正是因为各种现象在不同的头脑里并不总是可以相互比较的。最一般地说，人们所使用的是图像，而且常常是几何性质的图像。但若能就这类问题获得埃尔米特的自我观察，那本会是很有意思的，因为他似乎与具体的考虑离得那样远。（就我自己而言，在思考分析问题时几何图像所起的作用，与它们在几何研究中介入的方式很不相同。）

数学头脑中的其他差异Other Differences in Mathematical Minds

上述问题，是迄今为止就不同类型的数学头脑所考察过的唯一一个问题；但当然，毫无疑问，数学家彼此之间还可以从各种别的角度有所不同。

例如，有一门理论，即群论（the theory of groups），它在我们这门科学中的重要性，一个多世纪以来日益增长，尤其是自十九世纪末索弗斯·李（Sophus Lie）的工作以来。一些数学家、尤其是当代的数学家，以最为优美的发现改进了它。另外一些人——我承认我属于后一类——尽管终究能够把它用于一些简单的应用，却感到一种无法克服的困难，难以掌握比相当初等而表层的知识更多的东西。这种在我看来无可争辩的差异，其心理学上的原因，倘能找到，那会是很有意思的。

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