第九章　研究的总体方向The General Direction of Research

在试图发现任何东西或解决某个确定问题之前，会先冒出这样一个问题：我们应该试图去发现什么？我们应该试图去解决什么问题？

关于发明的两种构想

克拉帕雷德（Claparède）在前面提到过的那次综合研究中心（Centre de Synthèse）会议的开幕演讲中指出，发明有两类：一类是，目标既已给定，便去寻找达成它的手段，于是心灵从目标走向手段，从问题走向解答；另一类则恰恰相反，是先发现一个事实，然后再去设想它能派上什么用场，于是这一次，心灵从手段走向目标，答案先于问题出现在我们面前。

然而，尽管看上去自相矛盾，这第二类发明却是更为普遍的一类，并且随着科学的进展而变得越来越普遍。实际应用恰恰是在并不去寻找它的时候被找到的，人们甚至可以说，整个文明的进步都建立在这一原理之上。当公元前约四个世纪的希腊人考察椭圆——即平面上由这样一些点 \(M\) 所生成的曲线：它们到两个给定点 \(F\)、\(F'\) 的距离之和 \(MF + MF'\) 为一常数——并发现它的许多卓越性质时，他们并不曾、也不可能想到这类发现会有任何可能的用处。然而，倘若没有这些研究，开普勒（Kepler）在两千年之后就无法发现行星运动的定律，而牛顿（Newton）也就无法发现万有引力。

即便是那些更严格地说属于实用范畴的结果，也服从同样的规律。早年间，气球是用氢气或照明煤气充填的，这构成了严重的火灾隐患。到了今天，我们已经能够用不可燃的气体来充填气球。这一进步之所以成为可能，有两个原因：其一，是因为人们已成功地弄清了太阳大气中存在哪些物质、不存在哪些物质；其二，是因为有人（其中包括瑞利勋爵〔Lord Rayleigh〕与拉姆赛〔Ramsay〕）着手进行研究，以便把氮气的密度精确地测定到万分之一，而此前所知的精度只有千分之一。

这两项课题在被研究和阐明时，都没有预见到任何可能的应用。

不过我们还必须补充一点：反过来，应用对于理论也是有益的，并且最终是必不可少的，恰恰是因为它为理论开启了新的问题。人们可以说，应用与理论之间这种恒常的关系，就如同叶子与树的关系：二者相互支撑，但前者滋养着后者。撇开若干重要的物理学实例不谈，希腊科学中最早的数学基础——几何学，便是由实际的需要所提示出来的，这从它的名称本身就可以看出来，它的意思正是"测量土地"。

但这个例子是个例外，因为实际问题大多数情况下是借助现成的理论来解决的：纯科学发现的实际应用，无论可能多么重要，一般在时间上都相隔遥远（尽管近年来这种延迟可能会大为缩短，正如无线电报的情形那样，它出现在赫兹波被发现之后仅仅几年）。重要的数学研究是直接着眼于某个给定的实际用途而展开的，这种情况很少发生：它们是由那种构成一切科学工作之共同动机的愿望所激发的，即求知与理解的愿望。因此，在我们刚刚彼此区分开的这两类发明之中，数学家所习惯的只是第二类。

课题的选择

但是，撇开实际应用不谈——这些应用一般而言，即便存在，也在时间上相隔遥远——数学发现在理论后果上可以或多或少地丰富。然而即便是这些后果，我们大多也并不知晓，其全然之未知，正如那些第一次发现太阳大气化学成分的人对不可燃气球之全然未知一样。

那么，我们该如何挑选研究的课题呢？这一微妙的选择是研究中最重要的事情之一；正是依据它，我们才形成——而且一般是可靠地形成——对一位科学家的价值的判断。

我们甚至据此来判断研究生的优劣。学生们常来向我咨询研究的课题；当被请求给予这类指导时，我总是乐意给出，但我必须承认——当然，这只是暂时的——我倾向于把这个人归入二流之列。在另一个领域，我们伟大的印度学家西尔万·莱维（Sylvain Lévi）也持同样的看法，他告诉我，每当被问及这样的问题时，他都很想这样回答：

喏，我年轻的朋友，你听我们的课已经，比方说，三四年了，难道你竟从未察觉到，有某个东西尚待进一步去探究吗？

然而，这一重要而困难的选择又该如何来引导呢？答案几乎是没有疑问的：它与庞加莱（Poincaré）就发现的手段所给我们的答案是同一个，无论对于"驱力"还是对于"机制"都是同一个。我们必须信赖的那位向导，就是那种对科学之美的感觉，那种特殊的审美敏感性，他已指出过它的重要性。

正如勒南（Renan）也曾饶有趣味地指出的那样，¹存在着一种科学的趣味，正如存在着一种文学的或艺术的趣味一样；而这种趣味，因人而异，可能或多或少地可靠。至于未来结果的丰饶程度——严格说来，我们大多事先对此一无所知——那种美感能够给我们指点，而除此之外，我看不出还有什么能让我们去预见。至少，对此提出异议，在我看来不过是一个用词的问题罢了。在并不知道更多东西的情况下，我们便感到某个研究方向是值得去追随的；我们感到那个问题本身就值得关注，它的解答对科学将有某种价值，无论它是否容许进一步的应用。每个人都可以随意把这称作或不称作一种美的感觉。当年希腊几何学家在研究椭圆时，无疑就是这样思考的，因为再没有别的可以想见的方式了。至于应用，尽管完全不曾被预见，但只要我们最初的那种感觉是对的，它们大多还是会在日后出现。我将报告一两个我亲身经历的实例，并为我的例子如此一再地登场而致歉，当然，对于这些例子我是格外了解的。

当我提交博士论文付审时，埃尔米特（Hermite）指出，要是能找到一些应用，那将是极有用的。在那时，我手头还没有任何应用。然而，就在我的手稿交上去与论文答辩那一天之间，我得知了一个重要的问题（即我们在第 118 页与黎曼〔Riemann〕相关联时谈到过的那个问题），它曾被法兰西科学院作为一个悬赏课题提出来；而恰恰，我论文中的结果给出了那个问题的解答。我先前完全是被我对这个问题之趣味的感觉所引领的，而它把我引上了正确的道路。

几年之后，我在对同类问题的进一步研究中，得到了一个非常简单的结果，²在我看来它很优美，我便把它告诉了我的朋友、物理学家迪昂（Duhem）。他问这有什么用。当我回答说我至今还没想到过这一点时，迪昂——他既是一位杰出的物理学家，又是一位出色的艺术家——把我比作这样一位画家：他先足不出户、在画室里就把一幅风景画了出来，然后才动身去散步，到大自然中去寻找某处与他的画相配的风景。这一论点看似有道理，但事实上，我不去为应用操心是对的：它们后来果真来了。

在此之前几年（1893年），我曾被代数中的一个问题（关于行列式的）所吸引。在求解它的时候，我丝毫没有料到它会有任何确定的用处，只是感到它值得关注；后来在1900年，弗雷德霍姆（Fredholm）的理论问世了，³而1893年所得到的那个结果，对于这一理论恰好是至关重要的。

这一类最令人惊讶——我应该说是最令人困惑——的事实，与当代物理学那非同寻常的进军联系在一起。1913年，埃利·嘉当（Élie Cartan），法国数学家中首屈一指的人物之一，在群论的相关研究中想到了一类卓越的分析与几何变换。在那时，人们看不出有任何理由要特别地去考虑这些变换，除了它们的审美特性本身之外。后来，约莫十五年之后，实验向物理学家们揭示出关于电子的某些非同寻常的现象，而他们只有借助嘉当1913年的那些思想才能加以理解。

但在这条线索上，几乎再没有比现代泛函演算更典型的例子了。十八世纪时，约翰·伯努利（Jean Bernoulli）提出了这样一个问题：一个小而重的物体沿着怎样的曲线，能在尽可能短的时间内从一点 \(A\) 下降到一点 \(B\)？他必然是被这个问题之美所吸引的，这个问题与此前所攻克的一切是如此不同，尽管它显然与那些已被无穷小演算处理过的问题有某种类似。单是那种美，就足以诱使他去做。至于"变分法"——即这一类问题的理论——在十八世纪末和十九世纪初将为力学的改进带来怎样的后果，在他那个时代是无从料想的。

更令人惊讶的，是这一最初构想在十九世纪后半叶所得到的那种扩展的命运，这主要是在沃尔泰拉（Volterra）那强有力的推动之下进行的。这位伟大的意大利几何学家为什么会被引导去像无穷小演算作用于数那样去作用于函数，也就是把一个函数当作一个连续变化的元素来考虑呢？只是因为他意识到，这是一种和谐地完善整座数学大厦之建筑的方式，正如建筑师看出，添上一座新的厢房，整幢建筑便会更显均衡。人们或许已经可以想象，正如第三节所阐明的那样，这样一种和谐的创造，会有助于求解那些以先前方式所考虑的、关于函数的问题；但是要说"泛函"（这是我们对这一新构想的称呼）竟能与现实发生直接的关联，这除了被当作纯粹的荒谬之外，是无从设想的。泛函似乎是数学家们一种本质上、彻头彻尾抽象的创造。

然而，恰恰是这荒谬的事情发生了。尽管看上去几乎难以理解、难以设想，但在当代物理学家的思想中（在晚近的"波动力学"理论里），这个新概念——它的处理只有那些已经熟悉极为高深的演算的学生才能企及——对于任何物理现象的数学表示都是绝对必需的。任何可观测的元素，诸如压强、速度等等，人们过去常用一个数来定义它，如今它都不能再被视为一个数，而要用一个泛函来加以数学的表示了！

这些例子对沃拉斯（Wallas）的疑虑——他怀疑美感作为发现之"驱力"的价值——已经是一个充分的回答。恰恰相反，在我们的数学领域里，它似乎几乎是唯一有用的驱力。

我们再一次看到，思想中的方向是如何包含着情感性的要素的，尤其在涉及那种注意力的持续、那种心灵对其对象的忠贞时更是如此，而这种持续与忠贞的重要性，我们已在第四节中指出过了。⁴

在当前这一阶段，正如在灵感之中一样，选择是由美感所引导的；但这一次，我们是有意识地诉诸它，而在灵感那里，它是在无意识中运作以给予我们灵感的。

创造性工作的方向与求新的欲望

是否还有别的原因会影响研究的方向呢？

正如德·索绪尔博士（Dr. de Saussure）所恰当地指出的那样，情感性原因的介入往往是可能的（他给了我一些发生在精神分析创立者弗洛伊德〔Freud〕生平中的典型例子）。然而，就数学而言，这种情况碰巧要少得多，原因在于这门科学的抽象性格——按照伯特兰·罗素（Bertrand Russell）那句名言所说："我们从不知道自己在谈论什么，也不知道自己所说的是否为真。"

德·索绪尔博士还提出了这样一个问题：创造性的工作者是否可能被一种不那么值得称许的激情所驱动，这种激情源于人类的虚荣心——那种想要做出与众不同之事的欲望。

在我看来，这类情形在艺术或文学中是可能的。更确切地说，撇开任何虚荣的问题不谈，与众不同本身就是艺术家（或与之类似的文学家）必须加以考虑的一项要求。当然，这一看法并不适用于那些真正伟大的人物：例如，我们从莫扎特（Mozart）的那封信（第17页）中已经看到，他并不需要去想着要别出心裁。但是，难道这样一种必要性，没有在某些画派的创立中起过作用吗？或者在那些文学家试图以一种自相矛盾的方式去诠释知名人物之行为或心理的作品中起过作用吗？人们可以提出这个问题。

我们或许可以看出，这与已知的若干事例之间存在某种联系：在那些事例中，诗人或别的艺术家是在反常的状态下创作出作品的（例如柯尔律治〔Coleridge〕在鸦片酊催眠的状态下）。沃拉斯⁵报告了这类例子，他认为，轻微程度的"心灵解离"，对于那位"想要打破自己以及自己所属流派的思维与观察之习惯"的艺术家，可能是有用的。此外，听说诗作是在梦中谱成的，也并非罕见之事，而我们已经看到，这在数学创作中即便不是可疑的，也是非常罕见的。

科学家的情形——正如开头所说，他是仆人而非主人——确实是另一回事。任何一个结果，他所知道的任何一个问题的解答，都会在他面前引出新的问题。事实上，我几乎想不出有两三篇以上的论文，是我会把它们形容为古怪离奇而非真正别出心裁的。

尽管如此，科学家可能、而且常常会被劝阻去研究这样那样的问题，这倒不是出于知道它已被解决，而是出于担心它已被解决而自己却不知道，这一事实将使他的工作变得徒劳无功；或者——这在他这一方而言更为无私——他被一个本身并非无足轻重、却因迄今一直被忽视而显得颇有意思的问题所吸引，这也是很自然的。我自己就常常如此；我甚至要补充一点：在着手研究某一组问题、并发现其他好几位作者也已开始沿着同一条线索进行之后，我有时便把它搁下，转而去研究别的东西了。物理学家们曾告诉我，当代物理学中某些杰出的人物也常常这样行事。

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