第八章　直觉的悖论性情形Paradoxical Cases of Intuition

如果说，在某些异乎寻常地富于直觉的头脑里，观念会在比前面所述各种情形更为深邃的无意识层次中演化与组合，那么，即便是这一推演中的某些重要环节，也可能不为那个发现它们的思考者本人所知晓。科学史提供了几个引人注目的例子。

费马（Fermat，1601—1661）

皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）是一位法官，担任图卢兹议会（Parliament of Toulouse）的参议。那是一个生活远不像今天这样复杂的时代，其职务上的要求显然并未妨碍他从事数学研究，而他的研究是相当可观的。除了参与了无穷小演算（infinitesimal calculus）的起源、甚至参与了概率演算（calculus of probabilities）的创立之外，他还积极地处理算术问题。在他所拥有的那些古代数学家的著作中，他藏有一部丢番图（Diophantes）著作的译本——这位希腊作者曾处理过此类算术课题。如今，在费马去世之时，人们发现他那部丢番图著作的副本在页边写有如下批注（用拉丁文写就）：

“我已证明，关系式 \(x^m + y^m = z^m\) 在整数范围内不可能成立（\(x, y, z\) 均不为 0；\(m\) 大于 2）；但页边的空白不足以让我写下证明。”

自那时以来已过去了三个世纪，而那个费马本可以写在页边——倘若页边稍宽一些的话——的证明，至今仍在被人们寻求。然而，费马似乎并没有弄错，因为人们已经找到了部分证明，即对于指数 \(m\) 的若干扩展类取值的证明：例如，对一切不大于 100 的 \(m\)，证明已经获得。但是，使获得这些部分结果成为可能的那项工作——一项浩繁无比的工作——却无法通过直接的算术考量来完成；¹ 它需要借助某些重要的代数理论，而这些理论在费马的时代既不为人所知，在他的著述中也丝毫不见其踪影。在十八世纪及十九世纪之初确立了代数的若干基本原理之后，德国数学家库默尔（Kummer）为了攻克这个“费马最后定理”（last theorem of Fermat）的问题，不得不引入一种全新而大胆的构想——“理想数”（ideals），这一宏大的思想彻底变革了代数。正如我们方才所言，即便是赋予数学思维的这一有力工具，迄今也只允许给出这个神秘定理的部分证明。

黎曼（Riemann，1826—1866）

波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann），我们已经提及过他那非凡的直觉能力，他尤其革新了我们关于素数分布的知识——而素数分布也是数学中最为神秘的问题之一。² 他教会了我们从借自积分演算（integral calculus）的考量出发去推导这一方向上的结果：更确切地说，是从对某个量的研究出发，那是一个变量 \(s\) 的函数，而 \(s\) 不仅可以取实数值，也可以取虚数值。他证明了该函数的若干重要性质，但有两三条同样重要的性质，他只作了陈述而未给出证明。黎曼去世之时，人们在他的文稿中发现一则批注，写道：

“\(\zeta(s)\)（即上述函数）的这些性质，是从它的某个表达式推导出来的；然而，我没能将这个表达式简化到足以发表的程度。”

我们至今对那个表达式可能是什么仍毫无头绪。至于他仅仅作了陈述的那些性质，过了大约三十年之后，我才得以证明其中除一条之外的全部。而关于最后那一条的问题，迄今仍未解决，尽管经由这最近半个世纪坚持不懈的浩大工作，在那个方向上已取得了某些极为有趣的发现。看来“黎曼假设”（Riemann hypothesis）为真的可能性越来越大，但仍然完全谈不上确定。当然，所有这些补充之所以能够添加到黎曼的著作之上，全靠了那些在他的时代完全无人知晓的事实；并且，对于他所陈述的诸性质之一，简直难以想象他在不借助这些一般原理（他的论文中对此只字未提）的情况下，是如何发现它的。

伽罗瓦（Galois，1811—1831）

最为惊人的是埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）这一人物，他那悲剧性的一生在青春年少时戛然而止，却为科学带来了我们所知最为重大的丰碑之一。伽罗瓦那充满激情的天性，自他结识勒让德（Legendre）的几何学那一刻起，便为数学科学所俘获。然而，他又被另一种压倒一切的情感强烈地支配着，那便是对共和与自由理念的狂热献身——他为此进行斗争，方式激烈，有时甚至极为鲁莽。尽管如此，他二十岁时所遭遇的死亡却并非发生在那场斗争之中，而是发生在一场荒唐的决斗里。

伽罗瓦在那场决斗前的一夜，是在修订他关于自己各项发现的笔记中度过的。首先是那份曾被科学院（Academy of Sciences）以“不可理解”为由而退回的手稿（人们对这类极富直觉的头脑十分晦涩难懂，倒也不必感到奇怪）；其次，在一封写给友人的信中，他匆匆而简略地提及了另外一些精美的见解，同样的字句在页边匆忙而反复地写着：“我没有时间了。”确实，在前往那死亡等候之处之前，他所剩的时间已经无几。

所有那些深邃的思想起初都被遗忘了，直到十五年之后，科学家们才怀着钦佩之情，注意到了那份曾被科学院退回的论文。它意味着高等代数的一次彻底变革，它把迄今为止最伟大的数学家们也只是隐约窥见的东西完全照亮，同时又把那个代数问题与其他截然不同的科学分支中的问题联系了起来。

但与我们的主题尤其相关的，是伽罗瓦写给友人的那封信中的一点，他在其中陈述了一条关于某一类积分之“周期”（periods）的定理。如今，这条对我们而言是清晰明白的定理，在伽罗瓦那个时代的科学家看来却是无法理解的：在那个时代的科学水平下，这些“周期”根本没有意义；它们获得意义，只是借助了函数理论中的某些原理，这些原理在今天已是经典，但在伽罗瓦去世之后约莫四分之一个世纪才被发现。因此，必须承认：（一）伽罗瓦必定以某种方式构想出了这些原理；（二）这些原理在他的头脑中必定是无意识的，因为他对它们毫无提及，尽管它们本身就代表着一项重大的发现。

伽罗瓦的情形，就我们先前所作的区分而言，值得给予一些关注。在某些方面，他令我们想起埃尔米特（Hermite）。他和埃尔米特一样，是一位彻头彻尾的分析型数学家，尽管他对科学最初而满怀热忱的那番领悟，是经由勒让德的几何学得来的。他少年时代的早期论文之一具有几何性质，但那也是仅有的一篇。一件耐人寻味的事是：伽罗瓦在中学里的数学老师理查德先生（Mr. Richard）——此人有发现其非凡才能的功劳，他几乎是立刻就发现了——十五年之后又成了埃尔米特的老师；然而，这只能被看作一个纯粹的巧合，因为这类人的天才显然是大自然的禀赋，与任何教导无关。

另一方面，伽罗瓦虽然按照我们的定义（A）显然是高度直觉型的，但就定义（B）而言却并不显得如此。在那条为代数的主要问题给出最终解答的一般定理的证明中，没有丝毫“分散观念”的踪迹，没有表面上互不相干的原理的组合：他的思维可以说是一种集约式的而非外延式的思维；对于他那封遗书（即在他致命决斗前一夜所写的那封信）中所含的发现，我也倾向于作同样的判断，尽管在这样一连串只是简单而简略地陈述出来的结果上，思维之流难以被如此确切地刻画。这并不排除直觉的（A）面与（B）面之间偶尔存在联系的可能；但在伽罗瓦这一情形里，它们看来是彼此独立的。

从第二个观点来看，显然伽罗瓦与埃尔米特有着深刻的不同，后者关于二次型（quadratic forms）的发现，正是“旁逸而思”（thinking aside）的一个典型例子。

庞加莱著作中的一例

似乎一直没有人注意到，在庞加莱（Poincaré）的《天体力学新方法》（Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste）中出现了某种类似的情况。在其第三卷（见第 261 页）里，他需要处理变分法（calculus of variations），并且使用了一个关于极小值的充分条件，该条件等价于由魏尔斯特拉斯（Weierstrass）方法所导出的那个条件（见前文第 111 页）。然而他并没有给出该条件的证明：他把它当作一个已知事实来谈论。可是，正如我们已经说过的，在《新方法》那一卷写作之时，魏尔斯特拉斯的方法尚未发表。而且，他对魏尔斯特拉斯的这一发现也丝毫未加提及，倘若他曾收到过关于此发现的任何私下通讯，他本是必定会提及的。尤为重要的是，还应补充一点：这个条件被表述成了一种与人们经典地所知、作为魏尔斯特拉斯方法之结果的那种形式略有不同（尽管在根本上是等价的）的形式。难道我们必须认为，魏尔斯特拉斯的论证或某种类似的论证曾被庞加莱发现，却在他头脑中保持着无意识的状态吗？³

历史的比较

在这类情形中，我们必须承认，心理过程的某些部分在无意识中演进得如此之深，以至其中某些部分、甚至是重要的部分，都对我们的意识自我隐而不显。我们由此非常接近于那些双重人格（dual personality）的现象，即十九世纪心理学家们所观察到的那种现象。

在这两类现象之间，似乎甚至还存在着某些中间情形。我想到了苏格拉底（Socrates）的种种观念是由一个熟稔的精灵（demon）向他提示的，又或是想到了努马·庞皮利乌斯（Numa Pompilius）常去请教的那位仙女厄革里亚（Egeria）。在数学领域里，或许也可以谈到一个类似的例子。那便是卡尔丹（Cardan），他不仅是一种众所周知的、构成汽车之关键部件的万向接头的发明者，而且还以虚数（imaginaries）的发明从根本上变革了数学科学。让我们回想一下虚量是什么。代数的法则表明，任何数——无论正负——的平方都是一个正数：因此，谈论一个负数的平方根纯属荒谬。然而，卡尔丹却故意犯下这一荒谬，并开始对这种“虚”量进行计算。

人们会把这描述为纯粹的疯狂；然而，倘若没有这一基础——这一基础在十九世纪当然被建立在了稳固而严密的根基之上——代数与分析的整个发展都将是不可能的。曾有人写道：实数域中两个真理之间最短、最佳的路径，往往要穿过虚数域。

我们把卡尔丹的情形与苏格拉底、努马·庞皮利乌斯的情形相提并论，是因为他也被某些传记作者记载说，在其一生中的某些时期曾从一个神秘的声音那里得到提示。然而，关于这一点的种种证词至少在细节上彼此并不一致。

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