11.1　Gowers 一致性范数Gowers uniformity norms

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与上一章一样，研究 Szemerédi 定理时，方便的做法是研究下面这个 \(k\) 重线性形式（\(k\)-linear form）：对任意有限加法群 \(Z\) 和任意函数 \(f_0,\dots,f_{k-1}:Z\to\mathbb{C}\)，定义 \[\Lambda_k(f_0,\dots,f_{k-1}):=\mathbb{E}_{x,r\in Z}\,f_0(x)\,f_1(x+r)\cdots f_{k-1}\big(x+(k-1)r\big).\] 例如，\(\Lambda_k(1_A,\dots,1_A)\) 至少等于 \(\mathbb{P}(A)/|Z|\)，并且当且仅当 \(A\) 含有一条步长非零的、长度为 \(k\) 的等差数列时它才会更大；注意当 \(|Z|\) 与 \(k!\) 互素时，这样的数列是真等差数列（即各项互不相同）。这个形式当然推广了上一章中扮演重要角色的 \(\Lambda_3(f,g,h)\)。

正如 Varnavides 定理（定理 10.9）等价于 Roth 定理（定理 10.8），Szemerédi 定理也等价于下面的命题。

事实上这个定理对一切有限阿贝尔群都成立，而不仅是循环群，我们将在 11.6 节看到这一点。

于是，证明 Szemerédi 定理的一个策略，就是对各种各样的 \(f_0,\dots,f_{k-1}\) 取得 \(\Lambda_k(f_0,\dots,f_{k-1})\) 这类量的好估计。这正是 Gowers 的傅里叶分析证明和有限式遍历证明所采取的途径（这一策略的变体也用于无穷遍历证明和超图证明）。在上一章中，线性偏差范数 \(\|f\|_{u^2(Z)}\) 在 \(k=3\) 时能有效地控制这个量，但事实表明该范数对更高的 \(k\) 并不合适（见习题）。线性偏差范数有高阶推广 \(\|f\|_{u^{k-1}(Z)}\)，我们稍后会讨论；但由于缺乏任何有用的二次或更高阶的 Plancherel 定理类比，用这个范数去控制 \(\Lambda_k\) 是困难的（不过并非不可能，见后文）。取而代之的是一个相关的范数——Gowers 一致性范数 \(\|f\|_{U^{k-1}(Z)}\)，它在本质上更偏组合而非傅里叶分析，却能非常轻松地控制形式 \(\Lambda_k\)。它的定义如下。

¹ 把 \(\|f\|_{U^0(Z)}=\mathbb{E}_Z(f)\) 也纳入定义是自洽的，但这个量是带符号的，因而过于病态，不配称作范数。

例如我们有 \[\begin{aligned} \|f\|_{U^2(Z)}&=\Big(\mathbb{E}_{h\in Z}\big|\mathbb{E}_Z(\overline{T_h f}\,f)\big|^2\Big)^{1/4}\\ &=\Big(\mathbb{E}_{x,h_1,h_2\in Z}\,f(x+h_1+h_2)\,\overline{f(x+h_1)}\,\overline{f(x+h_2)}\,f(x)\Big)^{1/4}, \end{aligned}\] 更一般地有 \[\begin{equation}\tag{11.1}\|f\|_{U^d(Z)}=\Bigg(\mathbb{E}_{x,h_1,\dots,h_d\in Z}\prod_{\omega\in\{0,1\}^d}C^{|\omega|}f(x+\omega\cdot h)\Bigg)^{1/2^d}\end{equation}\] 其中 \(Cf:=\overline f\) 是取共轭算子，\(\omega=(\omega_1,\dots,\omega_d)\)，\(h:=(h_1,\dots,h_d)\)，\(\omega\cdot h:=\omega_1 h_1+\dots+\omega_d h_d\)，且 \(|\omega|:=\omega_1+\dots+\omega_d\)。当 \(f=1_A\) 是示性函数时，我们有 \[\begin{equation}\tag{11.2}\|1_A\|_{U^d(Z)}^{2^d}=\mathbb{P}_{x,h_1,\dots,h_d\in Z}\big(x+[0,1]^d\cdot(h_1,\dots,h_d)\subset A\big);\end{equation}\] 因此 \(\|1_A\|_{U^d(Z)}\) 是“\(A\) 中含有多少个 \(d\) 维方块”的一个归一化度量。特别地，我们有恒等式 \[\|1_A\|_{U^2(Z)}^4=E(A,A)/|Z|^3,\] 它把 \(1_A\) 的 \(U^2\) 范数和 \(A\) 的加性能量（additive energy，定义见定义 2.8）联系起来。

乍一看，Gowers 一致性范数 \(\|f\|_{U^{k-1}(Z)}\) 似乎比它本要控制的表达式 \(\Lambda_k(f,\dots,f)\) 还要复杂；但正如我们将要看到的，它具有好得多的结构，使它更易于分析。

在 \(d=2\) 的情形，Gowers 一致性范数还通过下面这个简单公式与傅里叶变换相联系： \[\begin{equation}\tag{11.3}\|f\|_{U^2(Z)}=\|\hat f\|_{\ell^4(Z)};\end{equation}\] 我们把这个恒等式的验证留作习题。（也可与 (4.18) 对照。）特别地，这说明 \(U^2(Z)\) 范数确实是一个范数。事实表明，更高的 \(U^d(Z)\) 范数同样都是范数。为了说明这一点，引入 \(2^d\) 个函数 \(f_\omega\) 的Gowers 内积 \(\langle(f_\omega)_{\omega\in\{0,1\}^d}\rangle_{U^d(Z)}\) 会很方便，其定义为 \[\big\langle(f_\omega)_{\omega\in\{0,1\}^d}\big\rangle_{U^d(Z)}:=\mathbb{E}_{x,h_1,\dots,h_d\in Z}\prod_{\omega\in\{0,1\}^d}C^{|\omega|}f_\omega(x+\omega\cdot h).\] 例如 \[\begin{aligned} \big\langle(f_0,f_1)\big\rangle_{U^1(Z)}&=\mathbb{E}_{x,h\in Z}\,\overline{f_1(x+h)}\,f_0(x)=\mathbb{E}_Z(f_0)\,\overline{\mathbb{E}_Z(f_1)},\\ \big\langle(f_{00},f_{01},f_{10},f_{11})\big\rangle_{U^2(Z)}&=\mathbb{E}_{x,h_1,h_2\in Z}\,f_{11}(x+h_1+h_2)\,\overline{f_{10}(x+h_1)}\,\overline{f_{01}(x+h_2)}\,f_{00}(x)\\ &=\sum_{\xi\in Z}\hat f_{11}(\xi)\,\overline{\hat f_{10}(\xi)}\,\overline{\hat f_{01}(\xi)}\,\hat f_{00}(\xi). \end{aligned}\] 此外我们看到 \[\begin{equation}\tag{11.4}\|f\|_{U^d(Z)}=\Big(\big\langle(f)_{\omega\in\{0,1\}^d}\big\rangle_{U^d(Z)}\Big)^{1/2^d}.\end{equation}\] （即所有 \(2^d\) 个槽都放同一个 \(f\)。）

在变量 \(h_d\) 上施用 Cauchy–Schwarz 不等式，给出界 \[\begin{equation}\tag{11.5}\big|\langle(f_\omega)_{\omega\in\{0,1\}^d}\rangle_{U^d(Z)}\big|\le \big|\langle(f_{\omega',0})_{\omega\in\{0,1\}^d}\rangle_{U^d(Z)}\big|^{1/2}\,\big|\langle(f_{\omega',1})_{\omega\in\{0,1\}^d}\rangle_{U^d(Z)}\big|^{1/2}\end{equation}\] 其中 \(\omega':=(\omega_1,\dots,\omega_{d-1})\in\{0,1\}^{d-1}\) 是 \(\omega\) 的前 \(d-1\) 个分量。对其他变量（其他位置的排列）同理。把这个不等式连用 \(d\) 次，便得到 \[\big|\langle(f_\omega)_{\omega\in\{0,1\}^d}\rangle_{U^d(Z)}\big|\le \prod_{\tilde\omega\in\{0,1\}^d}\big|\langle(f_{\tilde\omega})_{\omega\in\{0,1\}^d}\rangle_{U^d(Z)}\big|^{1/2^d}.\] 再用 (11.4)，我们便得到Gowers–Cauchy–Schwarz 不等式 \[\begin{equation}\tag{11.6}\big|\langle(f_\omega)_{\omega\in\{0,1\}^d}\rangle_{U^d(Z)}\big|\le \prod_{\omega\in\{0,1\}^d}\|f_\omega\|_{U^d(Z)}.\end{equation}\]

把 (11.6) 用到下面这个特殊情形：当 \(\omega_d=0\) 时取 \(f_\omega=f\)，否则取 \(f_\omega=1\)，便容易验证有用的单调性公式 \[\begin{equation}\tag{11.7}\|f\|_{U^{d-1}(Z)}\le \|f\|_{U^d(Z)}\end{equation}\] 对一切 \(d\ge 2\) 成立。其次，由 (11.4)、多线性性以及 Gowers–Cauchy–Schwarz 不等式，我们有 \[\begin{aligned} \|f_0+f_1\|_{U^d(Z)}^{2^d}&=\big\langle(f_0+f_1)_{\omega\in\{0,1\}^d}\big\rangle_{U^d(Z)}\\ &=\sum_{I\subseteq\{0,1\}^d}\big\langle(f_{\mathbb{1}(\omega\in I)})_{\omega\in\{0,1\}^d}\big\rangle_{U^d(Z)}\\ &\le \sum_{I\subseteq\{0,1\}^d}\prod_{\omega\in\{0,1\}^d}\|f_{\mathbb{1}(\omega\in I)}\|_{U^d(Z)}\\ &=\Big(\|f_0\|_{U^d(Z)}+\|f_1\|_{U^d(Z)}\Big)^{2^d}, \end{aligned}\] 由此推出Gowers 三角不等式 \[\|f_0+f_1\|_{U^d(Z)}\le \|f_0\|_{U^d(Z)}+\|f_1\|_{U^d(Z)}.\] 这个论证应与“从 Hilbert 空间的 Cauchy–Schwarz 不等式标准地导出 Hilbert 空间三角不等式”作比较。

由于 Gowers 范数 \(\|f\|_{U^d(Z)}\) 显然非负且齐次，它至少是一个半范数（semi-norm）。当 \(d=1\) 时它不一定是范数（因为 \(\|f\|_{U^1(Z)}=|\mathbb{E}_Z(f)|\) 可以在 \(f\) 不恒为零的情况下取零）；但由 (11.3) 及傅里叶变换的单射性可知，至少 \(U^2\) 范数是范数，再由 (11.7) 即知更高的 \(U^d\) 也都是范数。

现在我们把 Gowers 一致性范数与跟 Szemerédi 定理相关的形式 \(\Lambda_k\) 联系起来。引入以下记号会很方便：我们用 \(b(x_1,\dots,x_n)\) 表示任意一个绝对值不超过 \(1\) 的 \(n\) 元函数。与 \(O()\) 记号一样，\(b()\) 记号中所用的具体函数会因情形而异。当处理复杂的多线性表达式时——其中含有一个我们关心的函数 \(f\)，以及若干不那么重要、唯一重要之处只在于其有界性以及它所依赖的那组确切变量的其他函数——这个记号非常有用；于是可用 \(b()\) 记号把那些无趣的函数藏起来，把注意力集中到表达式中重要的项上。

我们从一个简单却非常有用的引理开始，它用诸函数 \(f_a\) 与（自身平移的）自相关，来控制 \(f_a\) 与任意有界函数 \(b(a)\) 的相关。

作为推论，我们有

让我们非正式地说：若量 \(\|f\|_{U^{k-1}(Z)}\) 很小，就称函数 \(f\) 是 \(k-2\) 阶 Gowers 一致的（Gowers uniform of order \(k-2\)）。容易验证：只要 \(f\) 的绝对值不超过 \(1\)，就有界 \[\begin{equation}\tag{11.9}\|f\|_{u^2(Z)}\le \|f\|_{U^2(Z)}\le \|f\|_{u^2(Z)}^{1/2}\end{equation}\] （见习题），因此 \(1\) 阶 Gowers 一致性就等同于线性（或傅里叶）一致性。与此类比，我们把 \(2\) 阶 Gowers 一致性称作二次一致性（quadratic uniformity），把 \(3\) 阶称作三次一致性（cubic uniformity），依此类推。这一术语的部分解释可在习题 11.1.12 中找到；亦见下一节。

估计 (11.8) 表明：对于计数长度为 \(k\) 的等差数列而言，\(k-2\) 阶 Gowers 一致的函数是可以忽略的。于是人们自然地被引向这样一种策略：把任意函数 \(f\) 用一个结构化得多的函数 \(\tilde f\) 来近似，误差是 Gowers 一致的。例如，若足够幸运，使得 \(f-\mathbb{E}(f)\) 是 \(k-2\) 阶 Gowers 一致的，那么就可以用 (11.8) 把 \(\Lambda_k(f,\dots,f)\) 近似为 \(\Lambda_k(\mathbb{E}(f),\dots,\mathbb{E}(f))=\mathbb{E}(f)^k\)。当然，\(f-\mathbb{E}(f)\) 并不总是 Gowers 一致的。在这种情形下，重要的是要弄清楚哪些函数不是 Gowers 一致的，更精确地说，Gowers 一致性的障碍是什么。这将是下一节的重点。

习题

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