11.7　素数中的等差数列Arithmetic progressions in the primes

上述定义相当复杂，但应当把这些条件视为一种断言：权函数（或称“测度”）\(\nu\) 的分布是非常随机的。如果 \(\nu=\dfrac{1}{\mathbb{P}(A)}\mathbf{1}_A\)（其中 \(A\subset\mathbb{Z}_N\) 为某集合，\(\mathbb{P}(A)\) 为其密度），则这些条件本质上是在断言：当 \((L_{ij})_{j=1}^{t}\) 互不成比例时，事件 \(\sum_{j=1}^{t}L_{ij}x_j+b_i\in A\)（\(i=1,\dots,m\)）本质上是相互独立的；并且对一般选取的 \(h_1,\dots,h_m\)，事件 \(x+h_i\in A\) 之间只有轻微的相关性。

相对 Szemerédi 定理

[158] 中的关键结果，是把 Szemerédi 定理（以定理 11.1 的形式）推广到伪随机测度上。这里 \(\Lambda_k\) 记长度为 \(k\) 的等差数列的计数泛函（如本章前文所定义）。

Szemerédi 定理的这一加强，使我们不仅能在正密度的集合中探测到等差数列，现在还能在相对于充分“伪随机”的集合具有正相对密度的集合中探测到等差数列——即使后者本身的密度为零。例如，给定任意集合 \(B\subset\mathbb{Z}_N\)，只要 \(\dfrac1{\mathbb{P}(B)}\mathbf{1}_B\) 是 \(k\)-伪随机的，上述定理就保证 \(r_k(B)=o_{N\to\infty;k}(|B|)\)，前提是有一个温和条件，例如 \(\mathbb{P}(B)\ge N^{-1/k}\)，以便忽略 \(\Lambda_k(f,\dots,f)\) 中的对角线项 \(r=0\)（即“退化”的常数列）。特别地，\(B\) 中任何相对密度 \(|A|/|B|\ge\delta\) 的子集 \(A\)，只要 \(N\) 充分大（依赖于 \(\delta\) 与 \(k\)），就含有一个长度为 \(k\) 的真等差数列。

素数为何不完全合身，以及 W-技巧

事实证明，素数 \(P\) 并不完全落入上述框架，原因在于它们关于小剩余类的分布是不均匀的（例如，几乎所有素数都是奇数）；而任何包含 \(P\) 并使 \(P\) 在其中具有正相对密度的集合 \(B\)，也必然在小剩余类上有某种不均匀分布（这归根结底源于 Euler 乘积 \(\prod_p(1-p^{-1})^{-1}\) 的发散）。另一方面，伪随机测度必然在这些剩余类上均匀分布（见习题）。然而，这一点很容易补救，只需用鸽巢原理这个简单技巧，过渡到小因子之下的单一剩余类。

更精确地说，我们定义 \(W:=\prod_{pW-技巧（W-trick）”的更多细节，见 [158]、[361]。

事实证明，\(P_{W,b,N}\) 可以被有效地包含在一个 \(k\)-伪随机测度之中。更精确地说，存在一个 \(k\)-伪随机测度 \(\nu:\mathbb{Z}_N\to\mathbb{R}^{+}\)，使得 \(\mathbb{E}_{\mathbb{Z}_N}\mathbf{1}_{P_{W,b,N}}\nu=\Omega_k(1)\)，并且还有温和的上界 \(\|\nu\|_{L^\infty(\mathbb{Z}_N)}=O(N^{1/k})\)（同样是为了能忽略 \(r=0\) 的对角线项所需）。

这一事实，与定理 11.1 相结合，就足以确立素数中长度为 \(k\) 的等差数列的存在，甚至能确立更强的结果 \[r_k(P\cap[1,N])=o_{N\to\infty;k}\big(|P\cap[1,N]|\big)=o_{N\to\infty;k}\!\left(\frac{N}{\log N}\right).\] 这个测度的构造依赖于 Goldston 与 Yıldırım [134]、[132]、[133] 所用的 Selberg 筛法的一个版本（另见 [363]、[184]、[361]）；它本质上是纯数论的，我们不在此重现。不过我们要指出，\(\nu\) 可以被理解为殆素数集 \[P_k=\{n:\ n\ \text{是 } O_k(1)\ \text{个素数之积}\}\] 的归一化示性函数的（光滑化）版本——更精确地说，是 \(P_k\) 中落在剩余类 \(b\pmod W\) 的那一部分的归一化示性函数。

如前所述，现代筛法技术（如 Selberg 筛法）在对殆素数的相关性计数时非常精确，因此可以用相当标准的论证来验证 \(\nu\) 的 \(k\)-伪随机性。与之形成对比的是，要验证素数本身（或诸如 \(P_{W,b,N}\) 这样的相关对象）的归一化计数函数的 \(k\)-伪随机性，仍然超出了当前技术的能力范围——它大致等价于臭名昭著的 Hardy–Littlewood 素数元组猜想，而后者不仅蕴含 Green–Tao 定理，还蕴含孪生素数猜想、Goldbach 猜想，以及加性数论中许多其他困难且未解的问题。因此，人们关键性地需要相对 Szemerédi 定理这样的工具，来弥合殆素数（我们理解得相当好）与素数（仍然十分神秘）之间的鸿沟。

定理 11.35 的证明思路

我们简要讨论定理 11.35 的证明。结果表明，这个定理的证明手段与 11.4 节中勾勒的 Szemerédi 定理证明非常相似，只不过现在所涉及的函数不再被 \(1\) 所界定，而是被某个 \(k\)-伪随机测度 \(\nu\) 所界定。尽管如此，仍然可以套用该节的大部分论证（唯一的例外是有用的 \(\mathrm{UAP}^{k-2}\) 范数，它在此情形下似乎没有合适的类比物）。

首先，可以推广广义 von Neumann 定理（11.8），得到如下上界 \[\big|\Lambda_k(f_0,\dots,f_{k-1})\big|=O_k\!\left(\min_{0\le j\le k-1}\|f_j\|_{U^{k-1}(\mathbb{Z}_N)}\right)+o_{N\to\infty;k}(1),\tag{11.34}\] 只要 \(f_0,\dots,f_{k-1}:\mathbb{Z}_N\to\mathbb{R}^{+}\) 的绝对值被 \(\nu+1\) 所界定。原先的上界 (11.8) 是通过多次应用 van der Corput 引理证明的，而后者本质上不过是 Cauchy–Schwarz 不等式；类似地，上界 (11.34) 也是通过多次应用 Cauchy–Schwarz 不等式证明的，其主要任务是追踪所有涉及 \(\nu\) 的权重，并利用线性形式条件来确保：到某一步之后，这些权重可以被替换为 \(1\)，而仅产生可忽略的误差。完整细节见 [158]。

上界 (11.34) 告诉我们，即便在伪随机的设置下，那些 \(k-2\) 阶 Gowers 一致的函数仍然可以被安全地忽略。这就为通过 Koopman–von Neumann 定理来证明定理 11.35 开辟了道路。这里相关的定理如下。

假定这个命题成立，现在我们可以写 \[(1-\mathbf{1}_\Omega)f=f_U+f_{U^\perp},\] 其中 \[f_U:=(1-\mathbf{1}_\Omega)\big(f-\mathbb{E}(f\mid\mathcal{B})\big)\] 是 \(k-2\) 阶 Gowers 一致的，而 \[f_{U^\perp}:=(1-\mathbf{1}_\Omega)\,\mathbb{E}(f\mid\mathcal{B})\] 是非负的、且被 \(1+o_{N\to\infty;\varepsilon,k}(1)\) 所界定（因为 \(\mathbb{E}(f\mid\mathcal{B})\le 1+\mathbb{E}(\nu-1\mid\mathcal{B})\)）。此外，利用 (11.35) 可以证明 \(f_{U^\perp}\) 与 \(f\) 几乎有相同的均值： \[\mathbb{E}_{\mathbb{Z}_N}f_{U^\perp}=\mathbb{E}_{\mathbb{Z}_N}f-o_{N\to\infty;\varepsilon,k}(1).\] 由后两个事实，可以用普通的 Szemerédi 定理（定理 11.1）来确立 \[\Lambda_k(f_{U^\perp},\dots,f_{U^\perp})=\Omega_{k,\delta}(1)-o_{N\to\infty;k,\delta}(1).\] 由于 \(f_U\) 是 Gowers 一致的，我们可以轻易地用 (11.34) 进而推出 \[\Lambda_k(f_{U^\perp}+f_U,\dots,f_{U^\perp}+f_U)=\Omega_{k,\delta}(1)-o_{N\to\infty;k,\delta}(1),\] 而定理 11.35 随之而来，因为 \(0\le f_{U^\perp}+f_U\le f\)。

命题 11.36 的证明：能量增量

因此，只剩下证明命题 11.36。这里我们沿用已经在命题 10.36、11.18、11.29 的证明中用过的能量增量（energy increment）策略。第一步是引理 11.14 的如下推广。

这里的关键特征是：尽管 \(f\) 可能是无界的（或至少非常大），其对偶函数 \(F\) 却被相当具体地界定住了。这是线性形式条件的一个推论——除其他作用外，线性形式条件给出了 \(\mathcal{D}_{k-1}(\nu+1)\) 的一致上界，从而给出了 \(\mathcal{D}_{k-1}(f)\) 的一致上界。

然后，可以运行命题 10.36、11.18、11.29 中用过的同一个能量增量算法：把 \(f_U\) 项中任何缺乏一致性的部分，转化为一个对偶函数，再把它加入一个 \(\sigma\)-代数，以增加 \(f_{U^\perp}\) 项的能量。执行这一策略唯一的困难，是确保 \(f_{U^\perp}\) 保持有界。这由下面这个略带技术性的结果来实现。

\(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}_{\varepsilon,\eta}(\mathcal{D}_{k-1}F)\) 的构造与命题 10.38 中的非常相似，唯一真正的区别在于：某些小的原子会造成一些困难，需要被放入例外集 \(\Omega\)。然而这些问题可以这样处理——先取 \(\eta\) 适当小（依赖于 \(K,\varepsilon\)），再取 \(N\) 适当大（依赖于 \(K,\varepsilon,\eta\)）。最棘手的任务是确立 (11.40)。它最终归结为（像命题 10.38 的证明那样，用 Weierstrass 逼近定理）确立如下形式的估计 \[\mathbb{E}\big((\nu-1)\,\mathcal{D}_{k-1}F_1\cdots\mathcal{D}_{k-1}F_K\big)=o_{N\to\infty;k,K}(1),\] 只要 \(F_1,\dots,F_K:\mathbb{Z}_N\to\mathbb{R}\) 是绝对值被 \(\nu+1\) 界定的函数。事实证明，这个估计可以通过应用 Gowers–Cauchy–Schwarz 不等式、Hölder 不等式，以及线性形式条件与相关性条件二者来实现；见 [158]。

最后，我们施行能量增量论证，并像命题 10.36 的证明那样，把引理 11.37 与命题 11.38 结合起来，得到命题 11.36。实际上，这里的能量增量论证比命题 10.36 中的略简单，因为没有任意的增长函数 \(\mathcal{F}\) 要处理。因此，可以只用一个单层迭代过程，而非双层，这稍微简化了一些。另一方面，例外集的出现，以及被操作的若干函数的无界性，要求格外小心，特别是要确保在每一阶段都真正获得一个实质性的能量增量，以使算法在有限时间内终止（并使命题 11.38 中出现的量 \(K\) 保持被 \(O_\varepsilon(1)\) 所界定）。

习题