本页为译文 + 讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 例 / 分步推演）与配图为面向初学者的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。本节是全章较难的一节，讲解会尽量把每一步的直觉与动机讲清楚。
本节目标前面几节里，我们分别研究了两类对象：格（lattice）——它是离散的、却向四面八方无限延伸；凸集（convex set）——它是有界的、却是连续填满的一团。本节把两者叠在一起，研究交集 \(B\cap\Gamma\)（一个凸集和一个格的公共点），这个交集必然是有限点集。核心问题是：这堆有限的格点，能不能用一个最简单的形状——离散盒子——来近似描述？最终的答案就是本节的压轴结论“离散 John 定理”（引理 3.36）。
在前面的章节里，我们研究了格（它是离散的但无界的）以及凸集（它是有界的但连续的）。现在我们来研究欧氏空间 \(\mathbb{R}^d\) 中一个凸集 \(B\) 与一个格 \(\Gamma\) 的交集 \(B\cap\Gamma\)，这个交集因此必然是一个有限集合。这类集合的一个典型范例是离散盒子 \([0,N)\)，其中 \(N=(N_1,\dots,N_d)\)，它是凸体 \(\{(x_1,\dots,x_d):-1
灰色网格点是格 \(\Gamma=\mathbb{Z}^2\)；蓝色椭圆是凸集 \(B\)。落在 \(B\) 内部的蓝色大点就是交集 \(B\cap\Gamma\)——一个有限点集。本节研究的就是这堆点的“个数”和“形状”。
我们从一些初等的估计开始。
引理 3.21 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中的一个格。若 \(A\subset\mathbb{R}^d\) 是任意一个有界集合，\(P\subset\mathbb{R}^d\) 是一个有限非空集合，则
\[\tag{3.9}|A\cap(\Gamma+P)|\le|(A-A)\cap(\Gamma+P-P)|.\]
若 \(B\) 是一个对称凸体，则
\[\tag{3.10}(k\cdot B)\cap\Gamma\text{ 可被 }B\cap\Gamma\text{ 的 }(4k+1)^d\text{ 个平移所覆盖}\]
对所有 \(k\ge1\) 成立。如果进一步地，\(\Gamma'\) 是 \(\Gamma\) 的一个有限指数 \(|\Gamma/\Gamma'|\) 的子格，那么我们有
\[\tag{3.11}|B\cap\Gamma'|\le|B\cap\Gamma|\le 9^d\,|\Gamma/\Gamma'|\,|B\cap\Gamma'|.\]
证明. 我们先证 (3.9)。当然，我们可以假定 \(A\cap(\Gamma+P)\) 至少含有一个元素 \(a\)（否则左边为 \(0\)，不等式显然成立）。但这样一来，\(A\cap(\Gamma+P)\subseteq\big((A-A)\cap(\Gamma+P-P)\big)+a\)，于是结论成立。现在证 (3.10)。下界是平凡的，所以只需证明上界。由前面的论证，对任意 \(x\in\mathbb{R}^d\)，我们都能用 \(B\cap\Gamma\) 的一个平移去覆盖 \((\tfrac12\cdot B+x)\cap\Gamma\)。而由推论 3.15，我们能用 \(\tfrac12\cdot B\) 的 \((4k+1)^d\) 个平移去覆盖 \(k\cdot B\)，于是断言 (3.10) 成立。最后证 (3.11)。下界是平凡的。对于上界，注意到 \(\Gamma\) 是 \(\Gamma'\) 的 \(|\Gamma/\Gamma'|\) 个平移之并，所以只需证明对所有 \(x\in\mathbb{R}^d\) 有 \(|B\cap(\Gamma'+x)|\le 9^d|B\cap\Gamma'|\)。但由 (3.9) 和 (3.10) 我们有
\[|B\cap(\Gamma'+x)|\le|(2\cdot B)\cap\Gamma'|\le 9^d|B\cap\Gamma'|,\]
正是所需。♦
把 (3.9) 想透 不等式 (3.9) 的核心是一个极简的几何事实：
把任意集合平移到原点附近，它的“跨度”不会超过它的差集。
- 记 \(S=A\cap(\Gamma+P)\)。取定 \(S\) 中一个点 \(a\)。对 \(S\) 中任意一点 \(s\)，考虑 \(s-a\)。
- \(s,a\) 都在 \(A\) 里，所以 \(s-a\in A-A\)。\(s,a\) 都在 \(\Gamma+P\) 里，所以 \(s-a\in(\Gamma+P)-(\Gamma+P)=\Gamma+P-P\)（注意 \(\Gamma-\Gamma=\Gamma\)，因为格对减法封闭）。
- 于是 \(s\mapsto s-a\) 把 \(S\) 单射地送进 \((A-A)\cap(\Gamma+P-P)\)，故 \(|S|\le|(A-A)\cap(\Gamma+P-P)|\)。
直觉：原来的 \(S\) 可能“飘”在远处不含原点，难以直接估计；平移后“锚定”在原点，正好被差集这个对称、含原点的集合罩住。
接下来，我们回顾高斯关于一个大凸体与一个满秩格相交的结果。
引理 3.22 设 \(\Gamma\subset\mathbb{R}^d\) 是一个满秩格，设 \(v_1,\dots,v_d\in\Gamma\) 是 \(\Gamma\) 的一组生成元，设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中的一个凸体。那么对于大的 \(R>0\)，我们有
\[|(R\cdot B)\cap\Gamma|=\big(R^d+O_{\Gamma,B,d}(R^{d-1})\big)\,\frac{\mathrm{mes}(B)}{|v_1\wedge\dots\wedge v_d|}.\]
这里 \(|v_1\wedge\dots\wedge v_d|\) 表示以 \(v_1,\dots,v_d\) 为棱的平行多面体的体积。
证明. 我们使用一个“体积填装论证”（volume-packing argument）。由于 \(\Gamma\) 满秩，\(v_1,\dots,v_d\) 线性无关。通过施加一个可逆线性变换，我们可以假定 \(v_1,\dots,v_d\) 恰为标准基 \(e_1,\dots,e_d\)，从而 \(\Gamma=\mathbb{Z}^d\)。现在设 \(Q\) 是以原点为中心的单位立方体。注意，诸集合 \(\{x+Q:x\in(R\cdot B)\cap\mathbb{Z}^d\}\) 至多在零测集上相交（即互不重叠），并且它们的并集与 \(R\cdot B\) 的差异只发生在 \(R\cdot B\) 表面的 \(\sqrt{d}\)-邻域内，而该邻域的体积为 \(O_{\Gamma,B,d}(R^{d-1})\)。结论由此得证。♦
高斯计数的图像 这条引理说的是一件很直观的事：
把一个凸体放大 \(R\) 倍，里面的格点个数约等于它的体积除以每个格点所占的“地皮面积”。
- 每个格点 \(x\) 头上戴一个单位立方体 \(x+Q\)，这些立方体严丝合缝地铺满空间，互不重叠。
- 落在 \(R\cdot B\) 里的格点，它们的小立方体合起来，体积约等于 \(\mathrm{mes}(R\cdot B)=R^d\,\mathrm{mes}(B)\)。
- 由于 \(\Gamma=\mathbb{Z}^d\) 时每个立方体体积为 \(1=|v_1\wedge\dots\wedge v_d|\)，所以格点个数 \(\approx R^d\,\mathrm{mes}(B)\)。
- 误差只来自边界附近“半进半出”的立方体，体积是低一阶的 \(O(R^{d-1})\)（表面积量级）。
格点数 \(\times\) 单格地皮 \(\approx\) 凸体体积。误差来自边界处被切到的方块，量级是 \(O(R^{d-1})\)，比主项 \(R^d\) 低一阶。
注记 3.23 对各种格与凸体改进误差项 \(O_{\Gamma,B,d}(R^{d-1})\) 的任务（例如高斯圆问题）是数论与调和分析中一个深刻而重要的问题，但我们不在本书中讨论这个问题；我们唯一关心的是误差项的阶严格低于主项的阶。
若 \(\Gamma\) 是一个格，我们把 \(\Gamma\) 的一个基本平行多面体（fundamental parallelepiped）定义为：任何以一组生成 \(\Gamma\) 的棱 \(v_1,\dots,v_d\) 张成的平行多面体。由上面的引理我们得出：所有基本平行多面体都有相同的体积；事实上这个体积无非就是 \(\Gamma\) 的余体积（covolume）\(\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\)。例如 \(\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d)=1\)。
用另一个体积填装论证，我们可以建立
\[\tag{3.12}\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\,|\Gamma/\Gamma'|=\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma')\]
只要 \(\Gamma'\subseteq\Gamma\subset\mathbb{R}^d\) 是两个满秩格；见习题。特别地，我们看到商群 \(|\Gamma/\Gamma'|\) 是有限的。
余体积与指数的关系 (3.12) 说的是：子格 \(\Gamma'\) 越“稀疏”，它单格占的地皮越大。
- 取 \(\Gamma=\mathbb{Z}^2\)，余体积 \(=1\)。
- 取子格 \(\Gamma'=2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)（横向每隔 2 才有一个点）。它在 \(\Gamma\) 中的指数 \(|\Gamma/\Gamma'|=2\)。
- \(\Gamma'\) 的基本平行多面体是 \(2\times1\) 的矩形，余体积 \(=2=1\times2\)，与 (3.12) 吻合。
再用一个体积填装论证，可得 (2.8) 的如下连续且周期的类比。
引理 3.24（体积填装引理） 设 \(\Gamma\subset\mathbb{R}^d\) 是一个满秩格，设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一个有界开子集，设 \(P\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个有限非空集合。那么
\[|(V-V)\cap(\Gamma+P-P)|\ge\frac{\mathrm{mes}(V)\,|P|}{\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)}.\]
特别地，我们有
\[|(V-V)\cap\Gamma|\ge\frac{\mathrm{mes}(V)}{\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)}.\]
证明. 设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 上的单位球，设 \(R>0\) 为一个大数。考虑函数
\[f(x):=\sum_{y\in\Gamma\cap(R\cdot B)}\sum_{p\in P}\mathbf{1}_{V+y+p}(x)\]
的积分。一方面，我们可以用引理 3.22 来计算这个积分：
\[\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx=\sum_{y\in\Gamma\cap(R\cdot B)}\sum_{p\in P}\mathrm{mes}(V+y)=|\Gamma\cap(R\cdot B)|\,|P|\,\mathrm{mes}(V)\]
\[=\big(R^d+O_{\Gamma,B,d}(R^{d-1})\big)\,|P|\,\frac{\mathrm{mes}(B)\,\mathrm{mes}(V)}{\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)}.\]
另一方面，由 (3.9) 我们有
\[f(x)\le|(x-V)\cap(\Gamma+P-P)|\le|(V-V)\cap(\Gamma+P-P)|.\]
此外，\(f(x)\) 仅当 \(x\) 落在 \(R\cdot B+V+P\subset(R+O_{V,P}(1))\cdot B\) 时才非零，而该集合的体积为 \(R^d+O_{V,P,d}(R^{d-1})\)。于是
\[\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\,dx\le|(V-V)\cap(\Gamma+P-P)|\,\big(R^d+O_{V,P,d}(R^{d-1})\big).\]
把这两个不等式结合起来，两边除以 \(R^d\)，并令 \(R\to\infty\)，即得结论。♦
为什么这个证明会奏效 这是一个“两头夹”的论证：同一个积分，从两个角度算，逼出不等式。
- \(f(x)\) 在数：有多少个“平移后的 \(V\)”盖住了点 \(x\)。它的总积分 \(=\) 块数 \(\times\) 每块体积。
- 块数 \(=|\Gamma\cap(R\cdot B)|\cdot|P|\)，由引理 3.22 约为 \(R^d\,\mathrm{mes}(B)|P|/\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\)，这是积分的下方真实值。
- 另一头：在任意一点 \(x\)，被盖的层数 \(f(x)\) 不超过 \(|(V-V)\cap(\Gamma+P-P)|\)（这正是 (3.9) 给的格点上界）；再乘以非零区域的体积 \(\approx R^d\)，得积分的上界。
- 下界 \(\le\) 积分 \(\le\) 上界，除以 \(R^d\) 取极限，主项相消，留下要证的不等式。
为了看到这条引理的用处，让我们暂停一下，建立数论中如下的经典结果，它在本书后文中将会用到。用 \(\|x\|_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}\) 表示 \(x\) 到最近整数的距离。
推论 3.25（Kronecker 逼近定理） 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_d\) 是实数，并设 \(0<\theta_1,\dots,\theta_d\le 1/2\)。那么对任意 \(N>0\)，我们有
\[\big|\{n\in(-N,N):\|n\alpha_j\|_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}<\theta_j\text{ 对所有 }j=1,\dots,d\}\big|\ge N\theta_1\cdots\theta_d.\]
特别地，若 \(N\theta_1\cdots\theta_d\le 1\)，那么存在一个整数 \(0
证明. 对引理 3.24 应用 \(\Gamma:=\mathbb{Z}^d\)，
\[V:=\{(t_1,\dots,t_d)+\mathbb{Z}^d:0♦
Kronecker 定理在说什么 它断言：
任给一组实数 \(\alpha_j\)，总能找到一个整数倍 \(n\)，使得每个 \(n\alpha_j\) 都同时非常接近某个整数。
- \(\|n\alpha_j\|_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}\) 小，意思是 \(n\alpha_j\) 离整数很近，即小数部分接近 \(0\) 或 \(1\)。
- 一维例子：取 \(\alpha=\sqrt2\)。定理保证有很多个 \(n\) 使 \(n\sqrt2\) 接近整数，比如 \(n=5,\ 5\sqrt2\approx7.07\)，离 \(7\) 仅 \(0.07\)。
- 把每个条件 \(\|n\alpha_j\|<\theta_j\) 看成 \(\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d\) 这个环面上一个体积为 \(\theta_1\cdots\theta_d\) 的小盒子 \(V\)；等差级数 \(n\mapsto n(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\) 走过的 \(N\) 个点中，落进 \(V-V\) 的个数被体积填装引理从下方控制住。
即使 \(B\) 是对称的，\(|B\cap\Gamma|\) 仍有可能相比于 \(\dfrac{\mathrm{mes}(B)}{2^d\,\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)}\) 极其巨大；例如考虑 \(\Gamma:=\mathbb{Z}^2\) 与 \(B:=\{(x,y):-1/N^2
为什么需要“满秩”这个前提 看那个反例：\(B\) 是一个又细又长的竖条。
- 它的体积 \(\mathrm{mes}(B)=(2/N^2)\cdot(2N^2)=4\)，是个常数。
- 但它里面的格点 \((0,y),\ y=-N^2{+}1,\dots,N^2{-}1\) 多达约 \(2N^2\) 个——可以任意多！
- 问题出在：这些格点全挤在一条竖线上，张不成整个平面（不满秩）。于是体积虽小、格点却泛滥。
- 要排除这种病态，就要求 \(B\cap\Gamma\) 满秩——格点要能撑起所有方向。
引理 3.26 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个满秩格，设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个对称凸体，使得 \(B\cap\Gamma\) 中的向量线性张成 \(\mathbb{R}^d\)。那么
\[\tag{3.13}|B\cap\Gamma|\le\frac{3^d\,d!\,\mathrm{mes}(B)}{2^d\,\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)}.\]
这个界离“最优”只差一个因子 \(3^d/(2d+1)\)，由如下例子可见：\(\Gamma=\mathbb{Z}^d\)，而 \(B\) 是以 \(\pm e_1,\dots,\pm e_d\) 为顶点的（稍作放大的）八面体。事实上，正是这个例子启发了证明中所用的体积填装论证。
证明. 由假设，\(B\cap\Gamma\) 含有一个由线性无关向量组成的 \(d\)-元组 \((v_1,\dots,v_d)\)。由于 \(B\cap\Gamma\) 有限，我们可以挑选 \(v_1,\dots,v_d\)，使得以 \(\pm v_1,\dots,\pm v_d\) 为顶点的八面体 \(O\) 的体积 \(\mathrm{mes}(O)=\dfrac{2^d}{d!}|v_1\wedge\dots\wedge v_d|\) 取到最小。由于 \(B\) 是对称且凸的，我们看到 \(O\subseteq B\)。同时 \(O\) 不含 \(v_1,\dots,v_d\) 之外的任何 \(\Gamma\) 的元素，因为否则就能用这个元素替换 \(v_1,\dots,v_d\) 之一，从而减小 \(O\) 的体积，矛盾。于是我们看到，诸集合 \(\{x+\tfrac12\cdot O:x\in B\cap\Gamma\}\) 互不相交，且都含于 \(B+\tfrac12\cdot O\subseteq\tfrac32\cdot B\)。因此
\[|B\cap\Gamma|\le\frac{\mathrm{mes}\big(\tfrac32\cdot B\big)}{\mathrm{mes}\big(\tfrac12\cdot O\big)}=\frac{3^d\,d!}{2^d\,|v_1\wedge\dots\wedge v_d|}\,\mathrm{mes}(B).\]
由于 \(|v_1\wedge\dots\wedge v_d|\ge\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\)，结论得证。♦
这个填装为什么不重叠 关键一步是“在每个格点头上放半个八面体 \(\tfrac12\cdot O\)，它们互不重叠”。
- \(O\) 内部除了 \(\pm v_i\) 和原点之外没有别的格点——这是“最小体积”逼出来的（有就能换、能更小）。
- 若两个平移 \(x+\tfrac12 O\) 与 \(x'+\tfrac12 O\)（\(x\ne x'\) 都是格点）相交，则 \(x-x'\in\tfrac12 O-\tfrac12 O=O\)，且 \(x-x'\) 是非零格点，落在 \(O\) 内——与上一步矛盾。
- 所以这些半八面体严丝不漏地塞进 \(\tfrac32\cdot B\)，个数 \(\times\) 单块体积 \(\le\) 总体积，得到格点数上界。
二维时“八面体”就是旋转 45° 的正方形。红色 \(O\) 内部只含 \(\pm v_1,\pm v_2\) 和原点；绿色的 \(\tfrac12 O\) 一个个塞在格点上不重叠。
引理 3.27（Blichtfeld 引理） 设 \(\Gamma\subset\mathbb{R}^d\) 是一个满秩格，设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个开集，使得 \(\mathrm{mes}(V)>\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\)。那么存在相异的 \(x,y\in V\)，使得 \(x-y\in\Gamma\)。
这是体积填装引理的一个特例。现在让我们把引理 3.24 应用到 \(V=\tfrac12\cdot B\) 与 \(P=\{0\}\) 的情形，其中 \(B\) 是一个对称凸体；我们得到下界
\[\tag{3.14}|B\cap\Gamma|\ge\frac{\mathrm{mes}(B)}{2^d\,\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)},\]
这就是经典的 Minkowski 第一定理。对称性的假设是本质的。例如考虑 \(\Gamma:=\mathbb{Z}^2\) 与形如 \(B:=\{(x,y):1/3
对称性为什么不可少 反例里的 \(B\) 是一条不含整数横坐标的竖条。
- \(1/3一个格点都没有，\(|B\cap\Gamma|=0\)。
- 但 \(B\) 的体积 \(=(1/3)\cdot 2N\) 可以任意大。下界 (3.14) 完全失效。
- 毛病在于 \(B\) 不关于原点对称——它整体偏在右边，避开了所有格点。一旦要求对称（关于原点），\(B\) 就必须“骑”在原点上，难以再回避格点。
定理 3.28（Minkowski 第一定理） 设 \(\Gamma\) 是一个满秩格，设 \(B\) 是一个对称凸体，使得 \(\mathrm{mes}(B)\ge 2^d\,\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\)。那么 \(B\) 的闭包必含有至少一个非零的 \(\Gamma\) 的元素（事实上，由对称性，至少含有两个）。如果不等式严格成立，即 \(\mathrm{mes}(B)>2^d\,\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\)，那么在上述论断中我们可以把 \(B\) 的闭包换成 \(B\) 的内部。
证明. 对 \((1+\varepsilon)B\) 应用 (3.14) 并令 \(\varepsilon\to 0\)。♦
Minkowski 第一定理中的常数是最优的。我们可以施加一个可逆线性变换使 \(\Gamma:=\mathbb{Z}^d\)，那么立方体 \(A:=\{(t_1,\dots,t_d):-1
常数 \(2^d\) 为何不能再小 取 \(\Gamma=\mathbb{Z}^d\)，\(B\) 是开立方体 \((-1,1)^d\)。
- \(\mathrm{mes}(B)=2^d\)，而 \(\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d)=1\)，所以 \(\mathrm{mes}(B)=2^d\,\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\)，恰好卡在阈值上。
- \(B\) 的内部 \((-1,1)^d\) 里唯一的整点是原点——没有非零格点。
- 所以若把阈值常数取得比 \(2^d\) 还小，这个例子就会成为反例。常数 \(2^d\) 不能再降。（注意定理对“恰好等于”的情形只保证闭包含非零格点，如 \(\pm e_i\) 在闭包边界上。）
定义 3.29（逐次极小） 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个秩为 \(k\) 的格，设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个凸体。我们定义 \(B\) 关于 \(\Gamma\) 的逐次极小（successive minima）\(\lambda_j=\lambda_j(B,\Gamma)\)（\(1\le j\le k\)）为
\[\lambda_j:=\inf\{\lambda>0:\lambda\cdot B\text{ 含有 }j\text{ 个线性无关的 }\Gamma\text{ 的元素}\}.\]
注意 \(0<\lambda_1\le\dots\le\lambda_k<\infty\)。
例如，若 \(\Gamma=\mathbb{Z}^d\)，且 \(B\) 是盒子
\[B:=\{(t_1,\dots,t_d):|t_j|0\)，那么 \(\lambda_j=1/a_j\)（\(j=1,\dots,d\)）。注意，\(\Gamma\) 秩为 \(k\) 这一假设确保了 \(\lambda_j\) 既有限又非零。
逐次极小的直观 把 \(B\) 想成一个气球，从很小开始一点点充气放大（乘以 \(\lambda\)）。
- \(\lambda_1\)：放大到第一次触及到一个非零格点的倍数。此时只“抓住”了 1 个无关方向。
- \(\lambda_2\)：继续放大，到第一次抓住 2 个线性无关格点的倍数。依此类推。
- 盒子例子里 \(B=\{|t_j|
一个扁椭圆放大时，会先在“宽”的方向碰到格点（决定 \(\lambda_1\)），再在“窄”的方向碰到第二个无关格点（决定 \(\lambda_2\)）。\(\lambda_1\le\lambda_2\)。
定理 3.30（Minkowski 第二定理） 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个满秩格，设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个对称凸体，逐次极小为 \(0<\lambda_1\le\dots\le\lambda_d\)。那么存在 \(d\) 个线性无关的向量 \(v_1,\dots,v_d\in\Gamma\)，具有下列性质：
- 对每个 \(1\le j\le d\)，\(v_j\) 落在 \(\lambda_j\cdot B\) 的边界上，但 \(\lambda_j\cdot B\) 本身不含 \(v_1,\dots,v_{j-1}\) 的张成空间之外的任何 \(\Gamma\) 中向量；
- 以 \(\pm v_j\) 为顶点的八面体的内部除原点外不含任何 \(\Gamma\) 的元素；
- 我们有
\[\tag{3.15}\frac{2^d\,|\Gamma/(\mathbb{Z}^d\cdot(v_1,\dots,v_d))|}{d!}\le\frac{\lambda_1\cdots\lambda_d\,\mathrm{mes}(B)}{\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)}\le 2^d;\]
特别地，\(\Gamma\) 的子格 \(\mathbb{Z}^d\cdot(v_1,\dots,v_d)\) 有有界的指数：
\[\tag{3.16}|\Gamma/(\mathbb{Z}^d\cdot(v_1,\dots,v_d))|\le d!.\]
可以把 (3.15) 相当粗略地表述为
\[\lambda_1\cdots\lambda_d\,\mathrm{mes}(B)=d^{O(d)}\,\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma),\]
从而把逐次极小与凸体 \(B\) 的体积、格 \(\Gamma\) 的余体积联系起来。
注意，如果 \(B\) 不含任何非零的 \(\Gamma\) 元素，则 \(\lambda_j\ge1\) 对所有 \(j\) 成立，于是 Minkowski 第二定理蕴含 Minkowski 第一定理。反过来，我们将从证明中看到，Minkowski 第二定理可由 Minkowski 第一定理经过一个非各向同性的伸缩得到。基底 \(v_1,\dots,v_d\) 有时被称为 \(A\) 关于 \(\Gamma\) 的方向基（directional basis），不过要提醒的是，这组基并不完全生成 \(\Gamma\)（(3.16) 中的指数有界，但不一定等于 \(1\)）。
证明. 由 \(\lambda_1\) 的定义，我们可以找到一个向量 \(v_1\in\Gamma\)，使得 \(v_1\) 落在 \(\lambda_1\cdot B\) 的闭包中，但对任何 \(\lambda<\lambda_1\)，\(\lambda\cdot B\) 不含非零的 \(\Gamma\) 元素。由 \(\lambda_2\) 的定义，我们接着可以找到一个向量 \(v_2\in\Gamma\)，它与 \(v_1\) 线性无关，使得 \(v_2\) 落在 \(\lambda_2\cdot B\) 的闭包中，但对任何 \(\lambda<\lambda_2\)，\(\lambda\cdot B\) 不含 \(v_1\) 的张成之外的 \(\Gamma\) 元素。归纳地继续下去，我们最终找到一个线性无关组 \(v_1,\dots,v_d\subset\Gamma\)，使得 \(v_j\) 落在 \(\lambda_j\cdot B\) 的边界上，但 \(\lambda_j\cdot B\) 本身不含 \(v_1,\dots,v_{j-1}\) 的张成之外的任何 \(\Gamma\) 中向量（\(1\le j\le d\)）。
\(v_1,\dots,v_d\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一组基；通过施加一个可逆线性变换，我们可以假定它就是标准基 \(e_1,\dots,e_d\)（这会同时改变 \(B\) 和 \(\Gamma\)，但容易验证定理的结论保持不变）。特别地，这迫使 \(\Gamma\) 包含 \(\mathbb{Z}^d\)，于是由 (3.12)
\[\tag{3.17}\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)=\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d)/|\Gamma/\mathbb{Z}^d|=1/|\Gamma/\mathbb{Z}^d|\le 1.\]
设 \(O_d\) 是以 \(\pm e_1,\dots,\pm e_d\) 为顶点的开八面体。我们需要验证 \(O_d\) 除原点外不含任何 \(\Gamma\) 的格点。反设 \(O_d\cap\Gamma\) 含有 \(w=t_1e_1+\dots+t_je_j\)，其中 \(1\le j\le d\) 且 \(t_j\ne0\)。那么对某个 \(\varepsilon>0\)，\((1+\varepsilon)w\) 会是 \(\pm e_1,\dots,\pm e_j\) 的一个凸组合。所有这些点都落在 \(\lambda_j\cdot B\) 的闭包中，因此 \(w\) 落在 \(\lambda_j\cdot B\) 的内部，但 \(w\) 不在 \(e_1,\dots,e_{j-1}\) 的张成中。但这与 \(v_j=e_j\) 的构造矛盾。因此 \(O_d\cap\Gamma=\{0\}\)。
接下来，注意到对每个 \(1\le j\le d\)，\(\pm v_j=\pm e_j\) 落在 \(\lambda_j\cdot B\) 的边界上。因此 \(B\) 含有以 \(\pm e_1/\lambda_1,\dots,\pm e_d/\lambda_d\) 为顶点的开八面体。容易验证这个八面体的体积为 \(\dfrac{2^d}{d!\,\lambda_1\cdots\lambda_d}\)；事实上，可以先伸缩到所有 \(\lambda_j\) 都等于 \(1\) 的情形，然后把八面体分解成 \(2^d\) 个单形，每个体积为 \(1/d!\)。这就建立了 (3.15) 中的下界。
现在我们建立 (3.15) 中的上界。我们需要下面的引理。♦
第二定理的全景 第一定理只关心“能不能抓到 1 个非零格点”，第二定理把这件事细化到了
每个方向。
- 它造出一组互相无关的“方向向量” \(v_1,\dots,v_d\)，第 \(j\) 个恰好坐在 \(\lambda_j B\) 的边界上。
- 不等式 (3.15) 是核心：乘积 \(\lambda_1\cdots\lambda_d\) 与体积比 \(\mathrm{mes}(B)/\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\) 之积，被夹在 \(2^d/d!\) 与 \(2^d\) 之间——上下都只差阶乘量级的因子。
- 下界用的是“\(B\) 里装着一个大八面体”；上界用的是下面的挤压引理把 \(B\) 压扁到余体积以内，再用 Blichtfeld 引理。
引理 3.31（挤压引理） 设 \(K\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个对称凸体，设 \(A\) 是 \(K\) 的一个开子集，设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一个 \(k\) 维子空间，设 \(0<\theta\le1\)。那么存在 \(K\) 的一个开子集 \(A'\)，使得 \(\mathrm{mes}(A')=\theta^k\,\mathrm{mes}(A)\) 且 \((A'-A')\cap V\subseteq\theta\cdot(A-A)\cap V\)。
注意，我们并不假定 \(A\) 或 \(A'\) 有任何凸性。事实上，下面证明中定义的挤压操作并不保持 \(A\) 的凸性。
证明. 不失一般性，我们可以取 \(V=\mathbb{R}^k\)，并写 \(\mathbb{R}^d=\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^{d-k}\)。设 \(\pi:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^{d-k}\) 是正交投影映射，它限制为一个映射 \(\pi:K\to\pi(K)\)。设 \(f:\pi(K)\to K\) 是 \(\pi\) 的任意一个连续右逆；例如 \(f(y)\) 可取为 \(\pi^{-1}(y)\) 的质心。
点 \(w\in K\) 可用分解 \(\mathbb{R}^d=\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^{d-k}\) 写成 \(w=(x,y)\)。考虑映射 \(\Phi\)，它把 \(w=(x,y)\) 映到 \(\theta w+(1-\theta)f(y)\)，并令 \(A'=\Phi(A)\)。由于 \(w\) 与 \(f(y)\) 都属于 \(K\) 且 \(K\) 是凸的，故 \(A'\) 是 \(K\) 的一个开子集。此外，\(\Phi(w)\) 的第二坐标是 \(y\)，与 \(f(y)\) 的第二坐标相同。应用 Cavalieri 原理（或 Fubini 定理），我们看到 \(\mathrm{mes}(A')=\theta^k\,\mathrm{mes}(A)\)（该映射相对于 \(V=\mathbb{R}^k\) 把 \(A\) 收缩了 \(\theta\) 倍）。
考虑一点 \(v=\Phi(w)-\Phi(w')\)，其中 \(w=(x,y),\ w'=(x',y')\) 是 \(A\) 中的点。若 \(v\in V\)，则 \(v\) 的第二坐标为零，这意味着 \(y=y'\)。于是由 \(\Phi\) 的定义，\(v=\theta(w-w')\)。因此 \(v\in\theta\cdot(A-A)\)，引理 3.31 证毕。♦
“挤压”到底做了什么 它沿子空间 \(V\) 方向把 \(A\) 朝着每一片切片的“锚点” \(f(y)\) 收拢 \(\theta\) 倍，而不动垂直方向。
- 把 \(w=(x,y)\) 中的 \(y\)（垂直方向）固定不变，只把 \(x\)（\(V\) 方向）朝锚点拉近：\(\Phi(w)=\theta w+(1-\theta)f(y)\)。
- 结果：\(V\) 方向的“跨度”缩为 \(\theta\) 倍 —— 这正是 \((A'-A')\cap V\subseteq\theta(A-A)\cap V\)。
- 体积：只在 \(k\) 维方向缩 \(\theta\)，故体积缩 \(\theta^k\)。这一步是后面把 \(B\) “一层层压瘪”直到放不下任何格点的工具。
我们迭代地应用挤压引理，从 \(A_0:=\dfrac{\lambda_d}{2}\cdot B\) 开始，造出开集 \(A_1,\dots,A_{d-1}\subseteq A_0\)，使得
\[\mathrm{mes}(A_j)=\left(\frac{\lambda_j}{\lambda_{j+1}}\right)^j\mathrm{mes}(A_{j-1})\]
且
\[(A_j-A_j)\cap\mathbb{R}^j\subseteq\frac{\lambda_j}{\lambda_{j+1}}\cdot(A_{j-1}-A_{j-1})\cap\mathbb{R}^j\]
对所有 \(1\le j\le d-1\) 成立，其中 \(\mathbb{R}^j\) 是 \(e_1,\dots,e_j\) 的张成空间。在每一次应用挤压引理时，\(A_0\) 都扮演母集 \(K\) 的角色。
利用 \(A_0\) 的定义，容易验证
\[\tag{3.18}\mathrm{mes}(A_{d-1})=\lambda_1\cdots\lambda_d\,2^{-d}\,\mathrm{mes}(B).\]
此外，由归纳可证
\[(A_{d-1}-A_{d-1})\cap\mathbb{R}^j\subseteq\frac{\lambda_j}{\lambda_d}\cdot(A_{j-1}-A_{j-1})\cap\mathbb{R}^j.\]
另一方面，\(A_{j-1}\subset A_0=(\lambda_d/2)\cdot B\)。由于 \(B\) 对称，\(\dfrac{\lambda_d}{2}\cdot B-\dfrac{\lambda_d}{2}\cdot B=\lambda_d\cdot B\)。由此得到
\[(A_{d-1}-A_{d-1})\cap\mathbb{R}^j\subset\lambda_j\cdot B\cap\mathbb{R}^j\]
对所有 \(1\le j\le d\) 成立。
由逐次极小的定义，\(\lambda_j\cdot B\cap\mathbb{R}^j\) 不含 \(\Gamma\) 中任何格点，除了 \(\mathbb{R}^{j-1}\) 中的那些。这意味着 \(A_{d-1}-A_{d-1}\) 除原点外不含 \(\Gamma\) 中任何点。应用 Blichtfeld 引理，我们得出
\[\mathrm{mes}(A_{d-1})\le\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma),\]
将其与 (3.18) 结合，即得 (3.15) 中的上界。
上界证明的链条 一句话：
把 \(B\) 压成一个装不下任何非零格点的 \(A_{d-1}\)，于是它的体积只能 \(\le\) 余体积。
- 从 \(A_0=\tfrac{\lambda_d}{2}B\) 出发，逐次沿低维方向挤压，每压一次体积乘 \((\lambda_j/\lambda_{j+1})^j\)。
- 压完后体积变成 \(\lambda_1\cdots\lambda_d\,2^{-d}\mathrm{mes}(B)\)（这就是 (3.18)）。
- 挤压保证了差集 \((A_{d-1}-A_{d-1})\) 在每个 \(\mathbb{R}^j\) 上塌进 \(\lambda_jB\)，而那里没有“新”格点——于是 \(A_{d-1}\) 自身平移后不重叠。
- 由 Blichtfeld 引理：开集体积一旦超过余体积就必含可平移重合的两点；既然 \(A_{d-1}\) 没有，它的体积 \(\le\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\)。代回 (3.18) 得上界。
现在我们给出这条定理的若干应用。首先，我们把一个凸体 \(B\)“分解”成 \(\Gamma\) 的一个子集与一个小凸体 \(B'\) 的某个膨胀的有限重叠和，至多相差 \(O(d)^{O(1)}\) 量级的缩放因子。
引理 3.32 设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个对称凸体，设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个格。那么存在一个对称凸体 \(B'\subseteq B\)，使得 \(B'\) 不含非零的 \(\Gamma\) 元素，并且使得 \(B\subseteq O(d^{3/2})\cdot B'+\big((O(d^{3/2})\cdot B)\cap\Gamma\big)\)。特别地，\(B\) 在 \(\mathbb{R}^d/\Gamma\) 中的投影包含于 \(O(d^{3/2})\cdot B'\) 的投影。此外我们有界
\[\tag{3.19}\frac{\mathrm{mes}(B)}{O(d)^{5d/2}\,|B\cap\Gamma|}\le\mathrm{mes}(B')\le O(1)^d\,\frac{\mathrm{mes}(B)}{|B\cap\Gamma|}.\]
证明. 利用 John 定理与一个可逆线性变换，我们可以假定 \(B_d\subseteq B\subseteq\sqrt{d}\cdot B_d\)，其中 \(B_d\) 是单位球。我们可以假定 \(B\cap\Gamma\) 中的向量生成 \(\Gamma\)，否则我们可以把 \(\Gamma\) 换成由 \(B\cap\Gamma\) 生成的格。
让我们暂时假定 \(\Gamma\) 满秩，从而 \(B\cap\Gamma\) 的线性张成是 \(\mathbb{R}^d\)。于是若设 \(\lambda_1\le\dots\le\lambda_d\) 为 \(B\) 的逐次极小，则对所有 \(j\) 有 \(\lambda_j\le1\)。
现在我们取 \(\Gamma\) 的一组方向基 \(v_1,\dots,v_d\)，令 \(B'\) 为以 \(\pm v_j\) 为顶点的开八面体；这个八面体不含非零的 \(\Gamma\) 元素，并且也含于 \(B\)（因为 \(\pm v_j/\lambda_j\) 已经落在 \(B\) 的边界上）。注意到 \(d\cdot B'\) 含有一个以 \(v_1,\dots,v_d\) 为棱的平行多面体，因此 \(d\cdot B'+\Gamma=\mathbb{R}^d\)。于是
\[B\subseteq d\cdot B'+\big((B-d\cdot B')\cap\Gamma\big)\subseteq d\cdot B'+\big(((d+1)\cdot B)\cap\Gamma\big),\]
正是所需（大约还富余 \(d^{1/2}\) 的余地）。特别地我们有
\[\mathrm{mes}(B)\le\mathrm{mes}(d\cdot B')\,|(d+1)\cdot B\cap\Gamma|\le(d(4d+5))^d\,\mathrm{mes}(B')\,|B\cap\Gamma|,\]
这归功于 (3.10)；这证明了 (3.19) 中的下界（还富余一个 \(d^{d/2}\) 的因子）。反过来，诸集合 \(\{x+\tfrac12\cdot B':x\in B\cap\Gamma\}\) 互不相交（因为 \(B'\) 不含非零的 \(\Gamma\) 元素），且含于 \(2\cdot B\)，因此
\[|B\cap\Gamma|\,\mathrm{mes}\big(\tfrac12\cdot B'\big)\le\mathrm{mes}(2\cdot B),\]
这给出 (3.19) 中的上界。这就完成了 \(\Gamma\) 满秩时的证明。
现在假设 \(\Gamma\) 的秩 \(r♦
在这条定理中，我们并未用到 Minkowski 第二定理的全部力量（特别是不需要其中的上界）。然而，方向向量的概念是有用的。
作为 Minkowski 第二定理的又一个推论，我们展示如何在形如 \(B\cap\Gamma\) 的集合内部找到大的真级数（proper progression）。
引理 3.33 设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个对称凸体，设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个格。那么存在一个秩至多为 \(d\) 的真级数 \(P\subseteq B\cap\Gamma\)，使得 \(|P|\ge O(d)^{-7d/2}\,|B\cap\Gamma|\)。
证明. 应用 John 定理（定理 3.13）和 (3.10)，再施加一个线性变换，我们可以化简到 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中单位球 \(B=B_d\) 的情形，代价是同时把指数 \(7d/2\) 减弱为 \(3d\)。我们可以假定 \(B\cap\Gamma\) 张成 \(\mathbb{R}^d\)，否则我们可以把 \(B\) 限制到 \(B\cap\Gamma\) 的线性张成上，那它就同构于某个较低维的欧氏空间。特别地，这意味着 \(\Gamma\) 满秩，并且 \(B\) 关于 \(\Gamma\) 的逐次极小 \(0<\lambda_1\le\dots\le\lambda_d\) 不能超过 \(1\)。设 \(v_1,\dots,v_d\in\Gamma\cap B\) 为对应的方向基。设 \(Q\) 表示平行多面体
\[Q:=\{t_1v_1+\dots+t_dv_d:0\le t_j<1/2\text{ 对所有 }j\in[1,d]\}.\]
由 (3.16)，因为 \(Q-Q\) 的每个平移都是 \(\mathbb{Z}^d\cdot(v_1,\dots,v_d)\) 的一个基本域，它至多含 \(d!\) 个 \(\Gamma\) 的元素。由引理 2.14，我们可以用至多 \(\dfrac{\mathrm{mes}(B+Q)}{\mathrm{mes}(Q)}\) 个 \(Q-Q\) 的平移来覆盖 \(B\)，于是
\[|B\cap\Gamma|\le d!\,\frac{\mathrm{mes}(B+Q)}{\mathrm{mes}(Q)}.\]
由于 \(v_1,\dots,v_d\) 落在单位球 \(B\) 中，我们看到 \(Q\subseteq\dfrac{d}{2}\cdot B\)，从而 \(B+Q\subseteq\big(\dfrac{d}{2}+1\big)\cdot B\)。粗略地界定 \(d!=O(d^d)\)，我们因此得出
\[|B\cap\Gamma|\le O(d)^{2d}/\mathrm{mes}(Q).\]
由 (3.15) 我们有
\[\lambda_1\cdots\lambda_d\le O(1)^d\,\mathrm{mes}(\mathbb{Z}^d/\Gamma)\le O(1)^d\,\mathrm{mes}(Q),\]
从而
\[|B\cap\Gamma|\le O(d)^{2d}/(\lambda_1\cdots\lambda_d).\]
现在令 \(P:=[-N,N]\cdot(v_1,\dots,v_d)\)，其中 \(N_j:=\lfloor 1/(2d\lambda_j)\rfloor\)（\(j\in[1,d]\)），断言便随之成立；注意容易验证 \(P\) 含于 \(B\cap\Gamma\)。♦
为什么级数 \(P\) 装得进 \(B\) 方向基 \(v_j\) 本身就在 \(B\) 里（\(\lambda_j\le1\)），所以取小步数的整系数组合仍在 \(B\) 内。
- \(P\) 的元素形如 \(l_1v_1+\dots+l_dv_d\)，其中 \(|l_j|\le N_j\approx 1/(2d\lambda_j)\)。
- 每个 \(v_j\) 长度 \(\lesssim 1\)，于是这种组合的长度 \(\lesssim\sum N_j|v_j|\lesssim 1\)，落在单位球 \(B\) 内。
- 个数 \(|P|=\prod(2N_j+1)\gtrsim\prod 1/(d\lambda_j)=1/(d^d\lambda_1\cdots\lambda_d)\)，而上面已证 \(|B\cap\Gamma|\lesssim O(d)^{2d}/(\lambda_1\cdots\lambda_d)\)，两者只差 \(d\) 的多项式幂次方因子，故 \(|P|\gtrsim O(d)^{-O(d)}|B\cap\Gamma|\)。
现在我们给出另一种途径，得到与引理 3.33 类似的结果。我们首先需要一条引理，把 Minkowski 第二定理给出的方向基（它只张成 \(\Gamma\) 的一个子格，见 (3.16)）修改成一组真正的基。
定理 3.34（Mahler 定理） 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个满秩格，设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个对称凸体，逐次极小为 \(0<\lambda_1\le\dots\le\lambda_d\)。设 \(v_1,\dots,v_d\) 是 \(\Gamma\) 的一组方向基。那么存在 \(\Gamma\) 的一组基 \(w_1,\dots,w_d\)，使得 \(w_1\) 落在 \(\lambda_1\cdot B\) 的闭包中，而 \(w_i\) 落在 \(\dfrac{i\lambda_i}{2}\cdot B\) 的闭包中（对所有 \(2\le i\le d\)）。此外，若 \(V_i\) 是 \(v_1,\dots,v_i\) 的线性张成，那么 \(w_1,\dots,w_i\) 构成 \(\Gamma\cap V_i\) 的一组基。
基 \(w_1,\dots,w_d\) 有时被称为 \(\Gamma\) 的一组 Mahler 基。
证明. 我们选取 \(w_1:=v_1\)；显然 \(w_1\) 构成 \(\Gamma\cap V_1\) 的一组基。现在归纳地假定 \(2\le i\le d\) 且 \(w_1,\dots,w_{i-1}\) 已被选取并具有所需的性质。格 \(\Gamma\cap V_i\) 比 \(\Gamma\cap V_{i-1}\) 高一阶秩，因此存在一个向量 \(w_i\in\Gamma\cap(V_i\setminus V_{i-1})\)，它与 \(\Gamma\cap V_{i-1}\) 一起生成 \(\Gamma\cap V_i\)；特别地，\(w_1,\dots,w_i\) 将生成 \(\Gamma\cap V_i\)。由于 \(v_1,\dots,v_i\) 线性张成 \(V_i\)，我们可以写 \(w_i=t_1v_1+\dots+t_{i-1}v_{i-1}+t_iv_i\)，其中 \(t_1,\dots,t_i\) 为实数且 \(t_i\ne0\)。由于 \(v_i\) 落在 \(\Gamma\cap V_{i-1}+W\) 中，我们必有 \(t_i=\pm 1/n\)（\(n\) 为某整数）。若 \(|t_i|=1\)，则 \(\Gamma\cap V_i\) 由 \(\Gamma\cap V_{i-1}\) 与 \(v_i\) 生成，我们可取 \(w_i:=v_i\)。于是我们可以假定 \(|t_i|\le1/2\)。同样，必要时从 \(w_i\) 减去 \(v_1,\dots,v_{i-1}\) 的整数倍（这不会影响 \(\Gamma\cap V_i\) 由 \(\Gamma\cap V_{i-1}\) 与 \(w_i\) 生成这一事实），我们可以假定 \(|t_j|\le1/2\) 对所有 \(1\le j♦
为什么要造 Mahler 基 方向基 \(v_j\) 几何位置好（贴着 \(\lambda_jB\) 边界），但只生成 \(\Gamma\) 的一个子格（指数可达 \(d!\)）；Mahler 基 \(w_j\) 既
真正生成 \(\Gamma\)，长度又只比 \(v_j\) 大一点（含于 \(\tfrac{i\lambda_i}{2}B\)）。
- 沿着 \(V_1\subset V_2\subset\dots\subset V_d\) 一层层往上补：\(w_i\) 取在 \(\Gamma\cap V_i\) 里、能与下层一起生成这一层的向量。
- 它与 \(v_i\) 只差一个系数 \(t_i=\pm1/n\) 和一些 \(\le 1/2\) 的低层系数，所以长度被凸性控制在 \(\tfrac{i\lambda_i}{2}B\) 内。
- 结果是一组“既正点又短”的真基——后面 Corollary 3.35 和离散 John 定理都靠它。
作为应用，我们给出
推论 3.35 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个满秩格。那么存在线性无关的向量 \(w_1,\dots,w_d\in\Gamma\)，它们生成 \(\Gamma\)，并且使得
\[\tag{3.20}\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)=|w_1\wedge\dots\wedge w_d|\ge(d^{-3d/2})\,|w_1|\cdots|w_d|.\]
证明. 设 \(w_1,\dots,w_d\) 是 \(\Gamma\) 关于单位球 \(B\) 的一组 Mahler 基，设 \(\lambda_1,\dots,\lambda_d\) 为逐次极小。那么由定理 3.34 我们有
\[|w_1|\cdots|w_d|\le\lambda_1\prod_{i=2}^d\frac{i\lambda_i}{2}.\]
应用 (3.15) 我们得到
\[|w_1|\cdots|w_d|\le\frac{2\,d!}{\mathrm{mes}(B)}\,\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma).\]
另一方面，由 (3.8) 我们有
\[\mathrm{mes}(B)=\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)}=(2\pi e+o(1))^{d/2}\,d^{-d/2}.\]
粗略地界定 \(d!=O(d^d)\)，断言便随之成立。♦
作为一个推论，我们可以给出一条“离散 John 定理”，来刻画一个对称凸体与一个格的交集。
引理 3.36（离散 John 定理） 设 \(B\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个对称凸体，设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个秩为 \(r\) 的格。那么存在一个由线性无关向量组成的 \(r\)-元组 \(w=(w_1,\dots,w_r)\in\Gamma^r\) 以及一个由正整数组成的 \(r\)-元组 \(N=(N_1,\dots,N_r)\)，使得
\[(r^{-2r}\cdot B)\cap\Gamma\subseteq(-N,N)\cdot w\subseteq B\cap\Gamma\subseteq(-r^{2r}N,\,r^{2r}N)\cdot w.\]
注意，\((-N,N)\cdot w\subseteq B\cap\Gamma\) 这一事实与引理 3.33 的结论类似。然而引理 3.33 中的广义等差级数密度更高。
证明. 我们首先观察到，利用 John 定理与一个可逆线性变换，我们可以不失一般性地假定 \(B_d\subseteq B\subseteq d\cdot B_d\)，其中 \(B_d\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中的单位球。我们可以假定 \(\Gamma\) 满秩 \(r=d\)，因为若 \(r
现在设 \(w=(w_1,\dots,w_d)\) 如推论 3.35 所给。对每个 \(j\)，设 \(L_j\) 为大于 \(1/(d|w_j|)\) 的最小整数。那么由三角不等式我们看到，只要 \(|l_j|
现在设 \(x\in B\cap\Gamma\)。由于 \(w\) 生成 \(\Gamma\)，我们有 \(x=l_1w_1+\dots+l_dw_d\)（\(l_1,\dots,l_d\) 为整数）；由于 \(B\subseteq d\cdot B_d\)，我们有 \(|x|\le d\)。对 \(l_1,\dots,l_d\) 应用 Cramer 法则求解，并结合 (3.20)，我们有
\[|l_j|=\frac{|x\wedge w_1\wedge\dots\wedge w_{j-1}\wedge w_{j+1}\wedge\dots\wedge w_d|}{|w_1\wedge\dots\wedge w_d|}\le\frac{|x|\,|w_1|\cdots|w_d|}{|w_j|\,|w_1\wedge\dots\wedge w_d|}\le\frac{|x|\,d^{3d/2}}{|w_j|},\]
这肯定至多是 \(d^{2d}L_j\)。由此可得 \(x\in(-d^{2d}L,\,d^{2d}L)\cdot w\)，这正是我们想要证明的。一个几乎完全相同的论证给出包含关系 \((d^{-2d}\cdot B)\cap\Gamma\subseteq(-L,L)\cdot w\)。♦
离散 John 定理在说什么 它把那一堆“形状不规则”的格点 \(B\cap\Gamma\)，
夹在两个离散盒子之间——本节开头悬念的最终回答。
- 找到一组真正生成 \(\Gamma\) 的短基 \(w_1,\dots,w_r\)（来自推论 3.35）。
- 盒子 \((-N,N)\cdot w=\{l_1w_1+\dots+l_rw_r:|l_j|\le N_j\}\) 就是一个离散盒子。
- 结论是双向夹逼：缩小 \(r^{2r}\) 倍的 \(B\) 里的格点 \(\subseteq\) 盒子 \(\subseteq B\cap\Gamma\subseteq\) 放大 \(r^{2r}\) 倍的盒子。
- 也就是说：\(B\cap\Gamma\) 与某个离散盒子只差一个仅依赖维数 \(r\)（与 \(B,\Gamma\) 无关）的形变因子。这就是“用离散盒子逼近交集”的精确含义。
绿色实线是离散盒子 \((-N,N)\cdot w\)，它从内部填满 \(B\cap\Gamma\)（蓝）；把盒子放大 \(r^{2r}\) 倍（红虚线）就反过来罩住整个 \(B\cap\Gamma\)。两端都只差维数相关的因子。
这里如果能把常数 \(r^{2r}\) 显著改进，例如改进到 \(e^{O(r)}\) 甚至 \(r^{O(1)}\)，将会很有意义。在这个问题上取得进展，很可能对 Freiman 定理（见第 5 章）的改进有所应用——Freiman 定理可以被看作上述定理的一个变体，其中集合 \(B\cap\Gamma\) 被换成了更一般的小倍增集合（set of small doubling）。
习题
习题
- 3.5.1 证明 (3.12)。
- 3.5.2 设 \(\alpha\) 是一个无理数，设 \(I\) 是 \(\mathbb{R}\) 中任意一个开区间。证明 \(\mathbb{Z}\cdot\alpha\) 与 \(I+\mathbb{Z}\) 有非空的交。（换言之，\(\alpha\) 的整数倍在 \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 中稠密。）
- 3.5.3 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个格，设 \(A\) 是一个凸体（可以是非对称的）。证明 \(\sigma[A\cap\Gamma]\le O(1)^d\)。
- 3.5.4 设 \(v_1,\dots,v_d\) 是满秩格 \(\Gamma\subset\mathbb{R}^d\) 中的任意向量。证明 \(|v_1\wedge\dots\wedge v_d|\) 是余体积 \(\mathrm{mes}(\mathbb{R}^d/\Gamma)\) 的整数倍。
- 3.5.5 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个满秩格，设 \(B\) 是一个对称凸体，设 \(v_1,\dots,v_d\) 是一组方向基，逐次极小为 \(\lambda_1\le\dots\le\lambda_d\)。设 \(O\) 是以 \(\pm v_j/\lambda_j\) 为顶点的开八面体。证明 \(O\subseteq B\subseteq O(d)^d\cdot O\)。由此 Minkowski 第二定理可用来给出 John 定理的一个相当弱的版本。
- 3.5.6 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个满秩格，设 \(B\) 是一个对称凸体，设 \(\lambda_1\le\dots\le\lambda_d\) 是 \(B\) 的逐次极小。建立如下界
\[\tag{3.21}O(d)^{-O(d)}\prod_{1\le i\le d}\max\Big(1,\frac1{\lambda_i}\Big)\le|B\cap\Gamma|\le O(d)^{O(d)}\prod_{1\le i\le d}\max\Big(1,\frac1{\lambda_i}\Big).\]
- 3.5.7 把引理 3.32 与引理 3.36 推广到 \(B\) 是非对称凸体的情形。
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