Tao–Vu · 加性组合学 · 第 3 章加性几何

3.6　级数与真级数Progressions and proper progressions

本页为译文 + 高中讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 例 / 分步推演）与配图为面向高中生的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。

本节目标一个级数（generalized arithmetic progression，广义算术级数）就是一堆形如 \(a+n_1 v_1+\dots+n_d v_d\) 的元素，其中每个 \(n_j\) 在 \(0\) 到 \(N_j\) 之间跑动。它有两个数：体积（所有 \((n_1,\dots,n_d)\) 取法的总数）和基数（去掉重复后真正不同的元素个数）。当两者相等、即没有任何重复时，称这个级数是真的（proper）。本节要证明的核心事实是：虽然不是所有级数都是真的，但每个级数都和某个真级数“差不多大”——它既包含一个体积不太小的真级数（定理 3.38），也被装进一个体积不太大的真级数里（定理 3.40）。这正对应第 3.3 节中“每个凸体都和某个椭球可比”（John 定理）的精神。

在本节中，我们始终在一个固定的加性群（additive group）\(Z\) 中工作，它可以是无挠的（torsion-free，即除 \(0\) 外没有元素满足 \(kx=0\)），也可以不是。

回忆定义 0.2：一个级数 \(P=a+[0,N]\cdot v\) 称为真的（proper），如果映射 \(n\mapsto n\cdot v\) 在 \([0,N]\) 上是单射。这里 \(N=(N_1,\dots,N_d)\)，\([0,N]\) 表示整点盒子 \(\{(n_1,\dots,n_d):0\le n_j\le N_j\}\)，\(v=(v_1,\dots,v_d)\) 是 \(d\) 个步长向量，而 \(n\cdot v=n_1v_1+\dots+n_dv_d\)。并非所有级数都是真的；但事实证明，正如 John 定理（定理 3.13）表明所有凸集在某种意义下都可与椭球相比，所有级数也都可与真级数相比。这在秩 \(1\) 的情形最为明显：此时每个算术级数（作为集合）都等于一个真算术级数。

先把术语对齐

秩（rank）\(d\)：用了几个独立的步长方向 \(v_1,\dots,v_d\)。秩 \(1\) 就是普通的等差数列。
体积（volume）\(|P|\)：盒子 \([0,N]\) 里整点的个数 \(\prod_{j=1}^d (N_j+1)\)，也就是“按公式能写出多少个”。
基数（cardinality）：去掉重复后，集合 \(P\) 里真正不同的元素个数。本书也常用 \(|P|\) 记体积，需结合上下文。
真（proper）：体积 = 基数，即“写法各不相同，没有任何碰撞”。

本节的全部困难都来自“碰撞”——两组不同的下标 \(n\neq n'\) 却给出同一个元素 \(n\cdot v=n'\cdot v\)。碰撞由核格 \(\Gamma=\{n\in\mathbb Z^d:n\cdot v=0\}\) 完全刻画：\(n\cdot v=n'\cdot v\) 等价于 \(n-n'\in\Gamma\)。

秩 \(1\)：每个等差数列本来就等于一个真等差数列

引理 3.37 设 \(a+[0,N]\cdot v\) 是加性群 \(Z\) 中的一个算术级数。则存在 \(n>0\)，使得 \(a+[0,n)\cdot v\) 是一个真算术级数，并且 \(a+[0,n)\cdot v=a+[0,N]\cdot v\)（作为集合相等）。

证明. 若 \(a+[0,N]\cdot v\) 已经是真的，则证毕。否则，存在不同的 \(n_1,n_2\in[0,N]\) 使得 \(a+n_1\cdot v=a+n_2\cdot v\)。特别地，存在 \(n\in[1,N]\) 使得 \(n\cdot v=0\)。取 \(n\) 为 \([1,N]\) 中具有此性质的最小整数。那么 \(a+[0,n)\cdot v\) 必然是真的，并且由欧几里得算法（辗转相除）可清楚看出 \(a+[0,n)\cdot v=a+[0,N]\cdot v\)。♦

把这条证明的两步说透：

为什么截到 \(n\) 之前就一定是真的。若在 \([0,n)\) 内有碰撞 \(i\cdot v=j\cdot v\)（\(0\le i<j<n\)），则 \((j-i)\cdot v=0\) 且 \(0<j-i<n\)，与“\(n\) 是使 \(n\cdot v=0\) 的最小正整数”矛盾。所以 \(a,a+v,\dots,a+(n-1)v\) 互不相同——这正是“真”。
为什么截短后集合不变。从 \(n\cdot v=0\) 知道这个数列以周期 \(n\) 循环：\(a+(k+n)v=a+kv\)。所以继续往后取 \(a+nv,a+(n+1)v,\dots\) 不会产生任何新元素，全部落回前 \(n\) 个之中。于是整段 \([0,N]\) 取出的集合恰好就是前 \(n\) 个元素。

例：在 \(Z=\mathbb Z_6\) 中看“循环” 取 \(a=1\)，\(v=2\)，\(N=5\)，即数列 \(1+[0,5]\cdot 2\)： \[1,\;3,\;5,\;7\equiv1,\;9\equiv3,\;11\equiv5\pmod 6.\] 写出来是 \(1,3,5,\underline{1},\underline{3},\underline{5}\)，从第 \(4\) 项起开始重复。使 \(n\cdot 2\equiv0\pmod 6\) 的最小正整数是 \(n=3\)（因为 \(3\cdot2=6\equiv0\)）。于是截到 \([0,3)\)：\(\{1,3,5\}\) 已是真级数，且与原来六项取出的集合 \(\{1,3,5\}\) 完全相同。体积从 \(6\) 降到 \(3\)，基数始终是 \(3\)。

绿色 \(1,3,5\) 是数列真正访问到的三个点；从第四步起又回到 \(1\)。一旦 \(n\cdot v=0\)（这里 \(3\cdot2\equiv0\)），数列就开始循环，再长也不会增加新元素。

高秩情形：每个级数都包含一个大的真级数

现在考虑高秩情形；和 John 定理一样，常数会比指数衰减得更糟（即与 \(d\) 有关的损耗很大）。我们先证明两个包含关系中较容易的一个：每个级数都包含一个秩相等或更小、体积也不太小的真级数。

定理 3.38 设 \(P\) 是加性群 \(Z\) 中一个秩为 \(d\) 的级数。则 \(P\) 包含一个秩至多为 \(d\)、体积至少为 \(O(d)^{-5d}\,|P|\) 的真级数。

注记 3.39 关于风味相近（但用完全不同的方法证明）的结果，见后文定理 4.42。注意 \(d=1\) 的情形已由引理 3.37 给出（常数是 \(1\)，而不是 \(O(d)^{-5d}\)）。

读懂这个 \(O(d)^{-5d}\)系数 \(O(d)^{-5d}\) 是个“很小但不致命”的折扣因子。它告诉我们：哪怕原级数 \(P\) 里碰撞重重、基数远小于体积，我们仍能在它内部抠出一块完全没有碰撞的真级数，其体积至少是 \(|P|\) 的 \(O(d)^{-5d}\) 倍。维数 \(d\) 固定时这就是一个常数倍。证明的主线是：把离散的级数问题翻译成连续的凸几何问题，在凸体里找“没有碰撞”的大子块（第 3.5 节的工具），再翻译回离散级数。

证明. 思路是：过渡到一个凸体，用引理 3.32 得到该凸体的一个“真”子集，再用引理 3.33 过渡回级数。

通过平移和稍微放大 \(P\)，可设 \(P=[-N,N]\cdot v\)（即把基点平移到对称中心）。可设 \(N\) 的各分量 \(N_j\) 都不等于 \(0\) 或 \(1\)，否则只需以至多 \(3^d\) 的因子细化 \(P\) 即可消去这些维度。

现在考虑集合 \[\Gamma:=\{n\in\mathbb Z^d:n\cdot v=0\},\] 它显然是 \(\mathbb Z^d\) 的一个子格；并令 \(A\) 为对称凸盒 \[A:=\{(x_1,\dots,x_d)\in\mathbb R^d:-N_j\le x_j\le N_j,\ 1\le j\le d\}.\] 由引理 3.32，可找到 \(A\) 的一个对称凸子集 \(A'\)，使得 \(A'-A'\) 与 \(\Gamma-\{0\}\) 不相交，并且 \(A\subset O(d)^{3/2}\cdot A'+\Gamma\)。由推论 3.15，于是 \(A\) 可被 \(O(d)^{3d/2}\) 个 \(\tfrac12\cdot A'+\Gamma\) 的平移覆盖。因为 \([-N,N]=A\cap\mathbb Z^d\) 且 \(\Gamma\subseteq\mathbb Z^d\)，我们得出 \([-N,N]\) 可被 \(O(d)^{3d/2}\) 个形如 \(\big[(\tfrac12\cdot A'+x)\cap\mathbb Z^d\big]+\Gamma\) 的集合覆盖。两边与 \(v\) 作内积，便得 \(P=[-N,N]\cdot v\) 可被 \(O(d)^{3d/2}\) 个形如 \(\big[(\tfrac12\cdot A'+x)\cap\mathbb Z^d\big]\cdot v\) 的集合覆盖。由鸽笼原理，必存在某个 \(x\) 使得 \[\Big|\big[(\tfrac12\cdot A'+x)\cap\mathbb Z^d\big]\Big|\ \ge\ \Big(\tfrac1d\Big)^{3d/2}|P|,\] 从而由 (3.9) 得 \[|A'\cap\mathbb Z^d|\ \ge\ \Big(\tfrac1d\Big)^{3d/2}|P|.\] 我们现在应用引理 3.33，找到一个秩至多为 \(d\) 的真级数 \(\tilde P\subseteq A'\cap\mathbb Z^d\subseteq[0,N]\)，满足 \[|\tilde P|\ \ge\ O(d)^{-7d/2}\,|A'\cap\mathbb Z^d|\ \ge\ \Big(\tfrac1d\Big)^{5d}|P|.\] 那么集合 \(\tilde P\cdot v\) 显然是一个秩至多为 \(d\)、包含于 \(P\) 的级数；它是真的，因为 \(A'-A'\) 与 \(\Gamma-\{0\}\) 不相交，特别地 \(|\tilde P\cdot v|=|\tilde P|\)。结论得证。♦

为什么“\(A'-A'\) 避开 \(\Gamma\setminus\{0\}\)”就等于“真”设 \(a',a''\) 是 \(A'\cap\mathbb Z^d\) 中两个整点，且映射后碰撞：\(a'\cdot v=a''\cdot v\)。则 \(a'-a''\in\Gamma\)（按 \(\Gamma\) 的定义），同时 \(a'-a''\in A'-A'\)。但 \(A'-A'\) 与 \(\Gamma-\{0\}\) 不相交，所以 \(a'-a''\) 只能是 \(0\)，即 \(a'=a''\)。这说明 \(n\mapsto n\cdot v\) 在 \(A'\cap\mathbb Z^d\) 上是单射，也就是 \(\tilde P\cdot v\) 没有碰撞——这正是“真”的定义。把“没有碰撞”几何化成“差集避开核格”，是整段证明的关键转译。

红点是核格 \(\Gamma\)（碰撞方向）。\(A'\)（绿）小到使其中任意两整点之差都碰不到任何非零红点，于是 \(A'\) 内的整点经 \(\cdot v\) 后互不相同。难点在于 \(A'\) 还要足够大：覆盖 + 鸽笼论证保证它至少占住 \(|P|\) 的 \(O(d)^{-5d}\) 倍。

反方向：每个级数都被装进一个真级数

现在我们证明较困难的那个包含关系：每个级数都能被装进一个秩相等或更小、但体积稍大的真级数里。

定理 3.40 设 \(P\) 是加性群 \(Z\) 中一个秩为 \(d\) 的级数。则 \(P\) 包含于一个秩至多为 \(d\)、体积至多为 \(d^{C_0 d^3}\,|P|\) 的真级数 \(Q\) 中，其中 \(C_0>0\) 为某个绝对常数。此外，\(Q\) 包含于 \(d^{C_0 d^2}P\) 的某个平移之中。若 \(d\ge2\) 且 \(P\) 不是真的，则可取 \(Q\) 的秩至多为 \(d-1\)。最后，若 \(Z\) 无挠且 \(P\) 对称，则可保证 \(Q\) 也对称。

注记 3.41 此类定理最早出现于文献 [26]，后又见于 Gowers–Walters 与 Ruzsa 的一些未发表工作。我们这里给出的版本取自 [365]。与定理 3.38 相比较可知，因子 \(d^{C_0 d^3}\) 大概不是最优的，但我们不知道这里正确的常数应当是多少。本定理可看作推论 3.8 或推论 3.9 的类比，只不过对象是级数而非有限生成的加性群。

这条定理在说什么 / 与线性代数的类比定理 3.38 是“向内抠出一块真的”，定理 3.40 则是“向外套一个真的把它整个罩住”。证明的核心想法是一个纯线性代数事实的离散版本：由 \(d\) 个向量张成的线性空间，必等于一个至多用 \(d\) 个向量作基的线性空间。后者的证明用下降法：若这 \(d\) 个张成向量线性相关，就利用这个相关关系“降一维”，用 \(d-1\) 个向量张成同一个空间。本定理的证明采用相同策略——每当级数不真（存在碰撞，即存在一个非平凡的整系数相关式 \(\sum m_j v_j=0\)），就用这个相关式把秩降一，再对 \(d-1\) 用归纳假设。

例：一个秩 \(2\) 的非真级数如何塌成秩 \(1\) 在 \(Z=\mathbb Z\)（整数）中取步长 \(v_1=1,\ v_2=2\)，盒子 \(N=(3,2)\)，即 \[P=\{n_1\cdot1+n_2\cdot2:\ 0\le n_1\le3,\ 0\le n_2\le2\}.\] 体积是 \((3+1)(2+1)=12\)，但当 \(n_1\) 从 \(0\) 到 \(3\)、\(n_2\) 从 \(0\) 到 \(2\) 时，\(n_1+2n_2\) 取遍 \(0,1,2,\dots,7\)，所以 \[P=\{0,1,2,3,4,5,6,7\},\quad\text{基数}=8.\] 体积 \(12\neq\) 基数 \(8\)，故 \(P\) 不真。碰撞来自相关式 \(2\cdot v_1+(-1)\cdot v_2=2\cdot1-1\cdot2=0\)，即核向量 \(m=(2,-1)\)。利用它就能把这个“看似二维”的级数重写成秩 \(1\) 的真等差数列 \([0,7]\cdot1=\{0,1,\dots,7\}\)：维数从 \(2\) 降到 \(1\)，体积变成基数，碰撞消失。这正是定理 3.40 在 \(d=2\) 的具体写照。

左边 \(12\) 个下标经 \(n_1+2n_2\) 多对一地映到右边 \(8\) 个值（有碰撞）。相关式 \(2v_1-v_2=0\) 让我们把二维下标“折叠”成一维，得到一个无碰撞的真级数。

证明. 此命题类比于基本的线性代数命题：由 \(d\) 个向量张成的线性空间，等于一个至多以 \(d\) 个向量为基的线性空间。回忆该事实的证明用下降论证：若这 \(d\) 个张成向量线性相关，就能利用该相关性“降秩”，用 \(d-1\) 个向量张成同一空间。我们对定理 3.40 的证明也基于类似策略。

我们只在 \(Z\) 无挠的情形下论证；一般情形证法相似，但含若干额外的技术细节，留作练习（练习 3.6.3）。

对 \(d\) 作归纳。当 \(d=1\) 时结论由引理 3.37 给出。现归纳假设 \(d\ge2\)，且结论对 \(d-1\) 已成立（对任意群 \(Z\) 与任意级数 \(P\)）。设 \(P=a+[0,N]\cdot v\) 是 \(Z\) 中秩为 \(d\) 的级数，\(N=(N_1,\dots,N_d)\)，\(v=(v_1,\dots,v_d)\)；可平移 \(P\) 使基点 \(a=0\)。若 \(P\) 是真的，则证毕。同样，若某个 \(N_j=0\)，则由归纳假设证毕。否则设 \(P\) 不真且所有 \(N_j\ge1\)；那么存在不同的 \(n,n'\in[0,N]\) 使得 \(n\cdot v=n'\cdot v\)。若令 \(\Gamma_0\subseteq\mathbb Z^d\) 表示格 \(\{m\in\mathbb Z^d:m\cdot v=0\}\)，则 \(\Gamma_0\cap[-N,N]\) 至少含一个非零元素，即 \(n'-n\)。

设 \(m=(m_1,\dots,m_d)\) 为 \(\Gamma_0\cap[-N,N]\) 中一个非零元素，于是 \[m_1\cdot v_1+\dots+m_d\cdot v_d=0.\tag{3.22}\] 不失一般性可设 \(m\) 在 \(\Gamma_0\) 中不可约（irreducible，即不能写成 \(\Gamma_0\) 中某向量的整数倍 \(\ge2\)）。由于 \(Z\) 无挠，这也蕴含 \(m\) 在 \(\mathbb Z^d\) 中不可约（即 \(m_1,\dots,m_d\) 没有公因子）。

策略是：把 \(P\) 装进一个秩为 \(d-1\)、大小为 \[|Q|\le d^{O(d^2)}\,|P|\tag{3.23}\] 的级数 \(Q\) 中，且使 \(Q\) 包含于 \(d^{O(d)}P\) 的某个平移之内。若能做到这一点，则由归纳假设可把 \(Q\) 装进一个秩至多为 \(d-1\)、基数为 \[|R|\le(d-1)^{C_0(d-1)^3}\,(O(d))^{O(d^2)}\,|P|\] 的真级数 \(R\) 中，且 \(R\) 包含于 \(d^{C_0(d-1)^2}d^{O(d)}P\) 的某个平移之内。若 \(C_0\) 取得足够大，归纳便完成。

余下的任务，是用一个秩至多为 \(d-1\) 的级数覆盖 \(P\)，满足界 (3.23) 且包含于 \(d^{O(d)}P\) 的某个平移。注意 \(m\) 落在 \([-N,N]\) 中，故有理数 \(m_1/N_1,\dots,m_d/N_d\) 都在 \(-1\) 与 \(1\) 之间。不妨设 \(m_d/N_d\) 的绝对值最大，即 \[|m_d|/N_d\ \ge\ |m_j|/N_j\tag{3.24}\] 对所有 \(1\le j\le d\) 成立。必要时把 \(v_d\) 换成 \(-v_d\)，可再设 \(m_d\) 为正。

为利用 (3.22) 中的相消，引入有理向量 \(q\in\tfrac1{m_d}\cdot\mathbb Z^{d-1}\)： \[q:=\Big(-\frac{m_1}{m_d},\dots,-\frac{m_{d-1}}{m_d}\Big).\] 由于 \(m\) 在 \(\mathbb Z^d\) 中不可约，对任意整数 \(n\)，\(n\cdot q\in\mathbb Z^{d-1}\) 当且仅当 \(n\) 是 \(m_d\) 的倍数（因为 \((m_1,\dots,m_d)\) 在 \(\mathbb Z^d\) 中不可约）。

接下来，令 \(\Lambda\subset\mathbb R^{d-1}\) 表示格 \(\Lambda:=\mathbb Z^{d-1}+\mathbb Z\cdot q\)。由于 \(q\) 是有理的，它确为一个格；又因它包含 \(\mathbb Z^{d-1}\)，故必为满秩。我们由公式 \[f\big((n_1,\dots,n_{d-1})+n_d q\big):=(n_1,\dots,n_d)\cdot v\] 定义同态 \(f:\Lambda\to Z\)；条件 (3.22) 保证该同态确实良定义，即同一个向量 \(v\in\Lambda\) 的不同表示 \(v=(n_1,\dots,n_{d-1})+n_d q\) 给出相同的 \(f(v)\) 值。又令 \(B\subseteq\mathbb R^{d-1}\) 表示对称凸体 \[B:=\{(t_1,\dots,t_{d-1})\in\mathbb R^{d-1}:-3N_j<t_j<3N_j,\ 1\le j\le d-1\}.\] 我们现在断言以下包含关系： \[P\ \subseteq\ f(B\cap\Lambda)\ \subseteq\ 5P-5P.\]

第一个包含：设 \(n\cdot v\in P\)，其中 \(n\in[0,N]\)，则 \(n\cdot v=f\big((n_1,\dots,n_{d-1})+n_d q\big)\)；由 (3.24)，\((n_1,\dots,n_{d-1})+n_d q\) 的第 \(j\) 个分量绝对值至多为 \(3N_j\)，从而 \(n\cdot v\) 落在 \(f(B\cap\Lambda)\) 中，如所言。第二个包含：设 \((n_1,\dots,n_{d-1})+n_d q\) 是 \(B\cap\Lambda\) 的一个元素。必要时从 \(n_d\) 中减去 \(m_d\) 的整数倍（相应地把 \(m_1,\dots,m_{d-1}\) 的整数倍加到 \(n_1,\dots,n_{d-1}\) 上），可设 \(|n_d|\le|m_d|/2\)。由 (3.24) 及 \(B\) 的定义，这迫使 \(|n_j|\le5N_j\) 对所有 \(1\le j\le d\) 成立，因而 \[f\big((n_1,\dots,n_{d-1})+n_d q\big)=(n_1,\dots,n_d)\cdot v\ \subseteq\ [-5N,5N]\cdot v=5P-5P.\]

接着，应用定理 3.36，找出向量 \(w_1,\dots,w_{d-1}\in\Lambda\) 及 \(M_1,\dots,M_{d-1}\)，使得 \[(-M,M)\cdot w\ \subseteq\ B\cap\Lambda\ \subseteq\ (-d^{O(d)}M,\,d^{O(d)}M)\cdot w.\] 作用同态 \(f\)，得到 \[(-M,M)\cdot f(w)\ \subseteq\ f(B\cap\Lambda)\ \subseteq\ (-d^{O(d)}M,\,d^{O(d)}M)\cdot f(w),\] 其中 \(f(w):=(f(w_1),\dots,f(w_{d-1}))\)。注意 \((-d^{O(d)}M,\,d^{O(d)}M)\cdot f(w)\) 是一个秩为 \(d-1\) 的级数，它包含 \(f(B\cap\Lambda)\)，从而包含 \(P\)。此外，两次应用引理 3.10，得 \[ \begin{aligned} \big|(-d^{O(d)}M,\,d^{O(d)}M)\cdot f(w)\big| &\le(O(d))^{O(d^2)}\,|f(B\cap\Lambda)|\\ &\le(O(d))^{O(d^2)}\,|5P-5P|\\ &\le(O(d))^{O(d^2)}\,O(1)^d\,|P|, \end{aligned} \] 这就证明了 (3.23)。又由于 \((-M,M)\cdot f(w)\) 包含于 \(f(B\cap\Lambda)\)，后者包含于 \(5P-5P\)，而 \(5P-5P\) 是 \(10P\) 的一个平移，我们看出 \((-d^{O(d)}M,\,d^{O(d)}M)\cdot f(w)\) 包含于 \(d^{O(d)}P\) 的某个平移之内。这就完成了归纳，并证明了定理。当 \(P\) 对称时，容易修改上述论证，使构造中所有级数也都对称；这一修改留给感兴趣的读者。♦

把这段最难的证明拆成主线

找相关式。\(P\) 不真 \(\Rightarrow\) 有碰撞 \(n\cdot v=n'\cdot v\) \(\Rightarrow\) 核格里有非零向量 \(m\)，满足 \(\sum m_j v_j=0\)（式 3.22）。把 \(m\) 取成不可约的（“最短、不可再约分”的那种）。这就是要利用的“线性相关关系”。
用相关式消去最后一维。挑 \(|m_d|/N_d\) 最大的那一维作“被消去”维。构造有理向量 \(q\)，让 \(q\) 把第 \(d\) 维“换算”进前 \(d-1\) 维。新格 \(\Lambda=\mathbb Z^{d-1}+\mathbb Z q\) 是 \(d-1\) 维的，同态 \(f\) 把 \(\Lambda\) 送回群 \(Z\)，并且因为 (3.22)，\(f\) 不在意你用哪种表示——这就是“良定义”。
夹逼 \(P\)。证明 \(P\subseteq f(B\cap\Lambda)\subseteq 5P-5P\)。左包含说明 \(f(B\cap\Lambda)\) 罩住了 \(P\)；右包含（配合 Plünnecke 型估计 \(|5P-5P|\le O(1)^d|P|\)）说明它没大太多。这里 \(B\) 是把每条边放大到 \(3N_j\) 的 \((d-1)\) 维盒子。
把 \(B\cap\Lambda\) 变回级数。用定理 3.36 把“凸体 \(\cap\) 格”这种几何对象写成一个秩 \(d-1\) 的级数（上下夹住，损耗 \(d^{O(d)}\)）。作用 \(f\) 后就得到罩住 \(P\) 的秩 \(d-1\) 级数 \(Q\)，体积控制即 (3.23)。
归纳收口。对 \(Q\)（秩 \(d-1\)）用归纳假设套上真级数 \(R\)。逐层累乘的损耗只要 \(C_0\) 足够大就被 \(d^{C_0 d^3}\) 吸收。证毕。

为什么同态 \(f\) 良定义（验算式 3.22 的作用） \(\Lambda\) 中一个元素可能有两种写法：\((n_1,\dots,n_{d-1})+n_d q\) 与把 \(n_d\) 减去 \(k m_d\)、同时把各 \(n_j\) 减去 \(k m_j\)（\(j<d\)）后的写法（因为把 \(n_d\) 减少 \(k m_d\) 会使向量改变 \(-k m_d q=(k m_1,\dots,k m_{d-1})\)，恰由各 \(n_j\) 减去 \(k m_j\) 抵消，故仍是同一元素）。两种写法代入 \(f\) 的差为 \[\sum_{j=1}^{d-1}(-k m_j)v_j+(-k m_d)v_d=-k\big(m_1v_1+\dots+m_dv_d\big)=-k\cdot0=0.\] 所以无论怎么写，\(f\) 的取值都一样——这正是 (3.22) 在保证 \(f\) 不产生歧义。

把秩 \(d\) 的不真级数 \(P\) 经“凸体 ∩ 格”的中介 \(B\cap\Lambda\)（少一维）和同态 \(f\) 送回群中，得到罩住 \(P\) 的秩 \(d-1\) 级数 \(Q\)。维数确实降了一，且 \(Q\) 体积只比 \(|P|\) 大 \(d^{O(d^2)}\) 倍。

练习

练习 3.6.1 设 \(P=a+[0,N]\cdot v\) 是某加性群 \(Z\) 中一个秩为 \(d\) 的级数，\(\Gamma:=\{n\in\mathbb Z^d:n\cdot v=0\}\) 是 \(\mathbb Z^d\) 中相应的子格。证明不等式 \[\frac{|[0,N]|}{|P|}\ \le\ |[-N,N]\cap\Gamma|\ \le\ 3^d\,\frac{|[0,N]|}{|P|}.\] 因此级数 \(P\) 的体积与基数之比，本质上由 \(|[-N,N]\cap\Gamma|\) 控制。（提示：下界先用 Cauchy–Schwarz 给出 \(\{(n,n')\in[0,N]:n\cdot v=n'\cdot v\}\) 的下界；上界考虑映射 \(f:[-N,2N]\to Z\)，\(f(n):=n\cdot v\) 的重数。）

练习 3.6.2 设 \([0,N]\) 是 \(\mathbb Z^d\) 中一个盒子，\(\Gamma\) 是 \(\mathbb Z^d\) 的子格。证明对所有整数 \(k\ge1\) 有 \(|[-kN,kN]\cap\Gamma|\le(2k)^d\,|[-N,N]\cap\Gamma|\)。

练习 3.6.3 在 \(Z\) 未必无挠的情形下证明定理 3.40。（主要的新困难在于向量 \(m\) 在 \(\mathbb Z^d\) 中未必不可约；此时须在继续论证前先从 \(P\) 中“商掉”一个有限循环群。不过这只会在归纳界 (3.23) 中引入额外的因子 \(C^d\)，是可接受的。）注意定理的第二部分不能推广到有挠情形，只需考虑 \(P=Z=\mathbb Z^2\) 即可看出。

练习 3.6.4 在无挠情形下证明定理 3.40 的一个推广：要求 \(kQ\) 对某固定常数 \(k\ge1\) 也是真的（当然，\(Q\) 上的界将依赖于 \(k\)）。注意此时无挠假设是必需的，考虑 \(P=[1,N]\cdot1\) 在 \(\mathbb Z_N\) 中的情形即可看出。

练习 3.6.5（[349]）设 \(N_1,N_2,a_1,a_2\) 为正整数，满足 \(0<a_2<N_1/5\)、\(0<a_1<N_2/5\)，且 \(a_1,a_2\) 互素。用中国剩余定理证明包含关系 \[\Big[\tfrac15(a_1N_1+a_2N_2),\ \tfrac45(a_1N_1+a_2N_2)\Big]\ \subseteq\ [0,(N_1,N_2)]\cdot(a_1,a_2).\] 由此推出：若 \(P\) 是整数中任一秩为 \(2\)、维数为 \(N_1,N_2\)、步长为 \(v_1,v_2\) 且 \(0<v_2<N_1/5\)、\(0<v_1<N_2/5\) 的级数，则 \(P\) 包含一个长度为 \(3(N_1v_1+N_2v_2)/5\gcd(v_1,v_2)\)、公差为 \(\gcd(v_1,v_2)\) 的真算术级数。

返回全书目录