Tao–Vu · 加性组合学 · 第 4 章傅里叶分析方法

4.4　Bohr 集Bohr sets

本页为译文 + 高中讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 例 / 分步推演 / 注记）与配图为面向高中生的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。

本节目标傅里叶分析能告诉我们一个集合 \(A\) 的傅里叶变换 \(\hat 1_A\) 的信息（例如它的“傅里叶偏差”有多大）。难题在于：怎样把这些关于频率的信息翻译回关于原集合 \(A\) 本身的组合结构信息？本节引入解决这一翻译问题的核心工具——Bohr 集。我们将：(1) 给出 Bohr 集的定义与基本运算性质；(2) 估计它的大小；(3) 证明 Bohr 集里藏着很大的陪集级数（在循环群里就是普通的等差数列）；(4) 介绍 Bourgain 的“正则 Bohr 集”，它是后面证明 Roth 定理定量版本的关键。

在傅里叶分析方法的许多应用中，人们从某个加性集合 \(A\) 出发，得到关于 \(A\) 的傅里叶变换 \(\hat 1_A\) 的某些信息（例如，可能得到傅里叶偏差 \(\|A\|_u\) 的某个界）。接下来人们希望反过来，从这些信息回到关于原集合 \(A\) 的某些新的组合信息。对某些特殊的群（例如有限域几何 \(\mathbb F_p^{\,n}\)），可以相当直接地做到这一点（参见引理 10.15）。然而，要把一般群上的傅里叶信息转化为组合信息，我们需要 Bohr 集（在文献中也称为 Bohr 邻域）这一概念。

圆周上的“范数” \(\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\)

我们首先在圆群 \(\mathbb R/\mathbb Z\) 上定义一个“范数” \(\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\)：约定当 \(-1/2<\theta\le 1/2\) 时 \(\|\theta+\mathbb Z\|_{\mathbb R/\mathbb Z}=|\theta|\)。换句话说，\(\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\) 就是 \(\theta\)（更确切地说，是陪集 \(\theta\) 的任一代表元）到最近整数的距离。我们注意到下面这组初等的界 \[\tag{4.24}4\,\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\le |e(\theta)-1|\le 2\pi\,\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z},\] 它来自初等三角学，以及如下观察：当 \(|x|\le \pi/2\) 时，sinc 函数 \(\sin(x)/x\) 的取值介于 \(1\) 与 \(2/\pi\) 之间。（这里 \(e(\theta):=e^{2\pi i\theta}\)。）

例：\(\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\) 到底在量什么

把 \(\theta\) 看成圆周（周长为 \(1\)）上的一点，\(\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\) 就是它离“整数刻度”（即圆周上同一点 \(0\)）的最短弧距。

\(\|0.1\|_{\mathbb R/\mathbb Z}=0.1\)（离 \(0\) 近）。
\(\|0.9\|_{\mathbb R/\mathbb Z}=0.1\)（离 \(1\) 近，绕回去只差 \(0.1\)）。
\(\|2.97\|_{\mathbb R/\mathbb Z}=0.03\)（离整数 \(3\) 只差 \(0.03\)）。
\(\|0.5\|_{\mathbb R/\mathbb Z}=0.5\)（最远，正好在对面）。

\(\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\) 是 \(\theta\) 到最近整数的弧距；(4.24) 说它与“\(e(\theta)\) 离 \(1\) 有多远”是同阶的量（相差不超过常数因子）。

Bohr 集的定义

定义 4.17（Bohr 集）设 \(S\subset Z\) 是一个频率集合，\(\rho>0\)。我们把 Bohr 集 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)=\mathrm{Bohr}_Z(S,\rho)\) 定义为 \[\mathrm{Bohr}(S,\rho):=\Big\{x\in Z:\ \sup_{\xi\in S}\|\xi\cdot x\|_{\mathbb R/\mathbb Z}<\rho\Big\}.\] 我们称 \(S\) 为该 Bohr 集的频率集，\(\rho\) 为半径。量 \(|S|\) 称为该 Bohr 集的秩（rank）。

怎么读这个定义

这里 \(\xi\cdot x\) 是群 \(Z\) 上一个固定的双线性配对（在循环群 \(Z_N\) 里就是 \(\xi\cdot x=\xi x/N\)）。一个点 \(x\) 属于 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\)，意思是：对频率集 \(S\) 里的每一个 \(\xi\)，数 \(\xi\cdot x\) 都非常接近整数（到整数的距离 \(<\rho\)）。

分步理解：

取定若干频率 \(\xi_1,\dots,\xi_d\)（这就是 \(S\)，\(d=|S|\) 是秩）。
对候选点 \(x\)，逐个计算 \(\|\xi_1\cdot x\|,\ \|\xi_2\cdot x\|,\dots\)。
只要其中有一个超过 \(\rho\)，\(x\) 就被淘汰；只有全部都 \(<\rho\)，\(x\) 才入选。
\(\rho\) 越大，要求越松，集合越大；频率越多（\(S\) 越大），要求越严，集合越小。

注记 4.18 注意：若 \(Z\) 是有限域 \(\mathbb F\) 上的向量空间，则 \(Z\) 的每个子空间都可看作一个 Bohr 集（半径取 \(O(1/|\mathbb F|)\)，秩等于该子空间的余维数）。因此 Bohr 集可视为子空间的推广。注意大多数有限群 \(Z\) 实际拥有的子群非常少（最极端的是素数阶循环群 \(Z_p\)，几乎没有真子群），所以能依赖范围大得多的 Bohr 集这一替代品，是很方便的。

注记 4.19 思考 Bohr 集的一种方式是：考虑由乘性映射 \(x\mapsto (e(\xi\cdot x))_{\xi\in S}\) 给出的、把 \(Z\) 嵌入复向量空间 \(\mathbb C^S\)（特别地，嵌入 \(\mathbb C^S\) 中的标准单位环面）的嵌入。于是一个 Bohr 集恰好是某个立方体的原像。

把 \(x\) 送到它在每个频率下的“相位” \(e(\xi\cdot x)\)。落进中心小立方体（相位都接近 \(1\)）的那些 \(x\)，正好组成 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\)。

基本运算性质

注意 \(\mathbb R/\mathbb Z\) 范数是对称且次可加的：\(\|-x\|_{\mathbb R/\mathbb Z}=\|x\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\)，\(\|x+y\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\le\|x\|_{\mathbb R/\mathbb Z}+\|y\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\)。由此可见 Bohr 集 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 是对称的，关于 \(S\) 递减、关于 \(\rho\) 递增（且当 \(\rho>1/2\) 时填满整个空间 \(Z\)）；它们总是 \(S^{\perp}\) 的若干陪集之并，并且当 \(\rho\) 足够小时它们恰好就等于 \(S^{\perp}\) 本身。我们还容易验证交性质 \[\mathrm{Bohr}(S,\rho)\cap\mathrm{Bohr}(S',\rho)=\mathrm{Bohr}(S\cup S',\rho)\] 以及加法性质 \[\mathrm{Bohr}(S,\rho)+\mathrm{Bohr}(S,\rho')\subseteq\mathrm{Bohr}(S,\rho+\rho').\] 特别地，对任意 \(k\ge 1\) 有 \[k\,\mathrm{Bohr}(S,\rho)\subseteq\mathrm{Bohr}(S,k\rho).\]

为什么这些性质成立

对称：若 \(x\) 入选（每个 \(\|\xi\cdot x\|<\rho\)），由 \(\|\xi\cdot(-x)\|=\|-(\xi\cdot x)\|=\|\xi\cdot x\|\)，故 \(-x\) 也入选。
关于 \(\rho\) 递增：放宽门槛 \(\rho\)，原来入选的当然仍入选。
关于 \(S\) 递减：频率越多，要满足的条件越多，能通过的点只会更少。
交性质：同时满足 \(S\) 的条件“且”满足 \(S'\) 的条件，等价于满足 \(S\cup S'\) 的全部条件。
加法性质：若 \(\|\xi\cdot x\|<\rho\) 且 \(\|\xi\cdot y\|<\rho'\)，由三角不等式 \(\|\xi\cdot(x+y)\|\le\|\xi\cdot x\|+\|\xi\cdot y\|<\rho+\rho'\)。把这条用 \(k\) 次就得到 \(k\,\mathrm{Bohr}(S,\rho)\subseteq\mathrm{Bohr}(S,k\rho)\)。

Bohr 集的大小

接下来我们建立 Bohr 集大小的若干界。这里 \(\mathbb P_Z(A):=|A|/|Z|\) 表示 \(A\) 在 \(Z\) 中的密度。

引理 4.20（大小的界）若 \(S\subset Z\)，\(\rho>0\)，则有下界 \[\tag{4.25}\mathbb P_Z\big(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\big)\ge \rho^{\,|S|}\] 以及倍增估计 \[\tag{4.26}\mathbb P_Z\big(\mathrm{Bohr}(S,2\rho)\big)\le 4^{\,|S|}\,\mathbb P_Z\big(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\big).\]

本引理应与 Kronecker 逼近定理（推论 3.25）相比较；事实上，这两个结果关系非常密切。

证明. 对每个 \(\xi\in S\)，令 \(\theta_\xi\) 是从 \(\mathbb R/\mathbb Z\) 中独立、均匀随机选取的元素。对任意 \(x\in Z\)，容易验证 \[\mathbb P_Z\big(\|\xi\cdot x-\theta_\xi\|_{\mathbb R/\mathbb Z}<\rho/2\ \text{对所有}\ \xi\in S\big)=\rho^{\,|S|}.\] （这里概率是对随机变量 \(\theta_\xi\) 而言：对每个 \(\xi\)，固定 \(x\)，事件 \(\|\xi\cdot x-\theta_\xi\|<\rho/2\) 是要求 \(\theta_\xi\) 落进一段长为 \(\rho\) 的弧，概率为 \(\rho\)；各 \(\xi\) 独立，故相乘得 \(\rho^{|S|}\)。）对 \(Z\) 中所有 \(x\) 求和，利用期望的线性性 (1.4)，得到 \[\mathbb E\,\big|\{x\in Z:\|\xi\cdot x-\theta_\xi\|_{\mathbb R/\mathbb Z}<\rho/2\ \forall\xi\in S\}\big|\ge \rho^{\,|S|}\,|Z|,\] 从而存在某一组 \(\theta_\xi\) 的取值使得 \[\tag{4.27}\big|\{x\in Z:\|\xi\cdot x-\theta_\xi\|_{\mathbb R/\mathbb Z}<\rho/2\ \forall\xi\in S\}\big|\ge \rho^{\,|S|}\,|Z|.\] 现在由三角不等式观察到：若 \(x,x'\) 都落在上面这个集合里，则 \(x-x'\) 落在 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 中（因为对每个 \(\xi\)，\(\|\xi\cdot(x-x')\|\le\|\xi\cdot x-\theta_\xi\|+\|\theta_\xi-\xi\cdot x'\|<\rho/2+\rho/2=\rho\)）。于是该集合中任意两元素之差都在 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 里，由此推出 (4.25)。
现在证明 (4.26)。由极限论证，可将左边的 \(2\rho\) 换成 \(2\rho-\varepsilon\)（\(\varepsilon>0\) 很小）。注意，区间 \(\{\theta\in\mathbb R/\mathbb Z:\|\theta\|_{\mathbb R/\mathbb Z}<2\rho-\varepsilon\}\) 可以被四个形如 \(\{\theta\in\mathbb R/\mathbb Z:\|\theta-\theta_0\|_{\mathbb R/\mathbb Z}<\rho/2\}\) 的区间覆盖。因此我们可以用 \(4^{|S|}\) 个形如 (4.27) 左端的集合来覆盖 \(\mathrm{Bohr}(S,2\rho)\)。像前面那样论证即得结论。♦

分步看 (4.25) 的“反差法”证明

下界 (4.25) 的证明用的是一个常见技巧：先找一个大集合，再用“两两作差都落进 Bohr 集”把大小传递给 Bohr 集。

随机平移门槛：把每个频率的“接近整数”改成“接近某个随机相位 \(\theta_\xi\)”。对单个 \(x\)，全部满足的概率恰是 \(\rho^{|S|}\)。
求和换期望：把概率乘以总数 \(|Z|\)，得到满足条件的 \(x\) 的平均个数 \(\ge\rho^{|S|}|Z|\)。
抽屉：平均值这么大，必有某一组 \(\theta_\xi\) 使真实个数 \(\ge\rho^{|S|}|Z|\)（这就是 (4.27)）。记这个大集合为 \(E\)。
作差：\(E\) 里任取 \(x,x'\)，差 \(x-x'\) 落进 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\)。固定 \(x'\)，映射 \(x\mapsto x-x'\) 是单射，所以 \(|\mathrm{Bohr}(S,\rho)|\ge|E|\ge\rho^{|S|}|Z|\)，即 (4.25)。

(4.26) 的核心：一维上一段长 \(\approx4\rho\) 的区间只要 \(4\) 段长 \(\rho\) 的小区间就能盖住；\(|S|\) 个坐标各盖一次，总共 \(4^{|S|}\) 块，故倍增常数为 \(4^{|S|}\)。

陪集级数

我们已经提到，向量空间的子空间是 Bohr 集的一个例子。级数（等差数列）可以构成另一个例子；例如循环群 \(Z_M\) 中形如 \((-N,N)\) 的区间就容易看出是秩为 \(1\) 的 Bohr 集。我们可以引入陪集级数的概念，把这两个例子结合起来。

定义 4.21（陪集级数）加性群 \(Z\) 中的陪集级数是任何形如 \(P+H\) 的集合，其中 \(P\) 是一个级数（广义等差数列），\(H\) 是 \(Z\) 的一个有限子群。若 \(P\) 是真级数（proper）且 \(|P+H|=|P|\,|H|\)（即 \(P+H\) 中所有的和两两不同），则称陪集级数 \(P+H\) 是真的。若分量 \(P\) 的秩为 \(d\)，则称陪集级数 \(P+H\) 的秩为 \(d\)。若 \(P\) 具有形式 \(P=(-N,N)\cdot v\)，则称 \(P+H\) 是对称的。

当然，推论 3.8 表明，每个陪集级数也都可以视为一个普通级数，只不过秩可能大得多。然而，若 \(Z\) 是素数阶循环群，则 \(H\) 要么是平凡的，要么等于整个空间，因此至多把秩增加 \(1\)。事实上，我们可以把小有限域上的向量空间（一端）和素数阶循环群（另一端）看作有限群 \(Z\) 加性行为的两个极端。

什么是“级数”\(P\) 与陪集级数 \(P+H\)

一个秩为 \(d\) 的（广义等差）级数是 \[P=(-N_1,N_1)\cdots(-N_d,N_d)\cdot(v_1,\dots,v_d)=\{n_1 v_1+\cdots+n_d v_d:\ |n_j|

陪集级数 \(P+H\) 就是把这样一个 \(d\) 维“格点盒子” \(P\) 再加上一整个子群 \(H\)。例如在 \(Z_{12}\) 中取 \(P=\{0,1,2\}\)（\(d=1\)）、\(H=\{0,6\}\)，则 \[P+H=\{0,1,2,6,7,8\},\quad |P+H|=6=|P|\,|H|=3\times2,\] 所以它是真陪集级数。

陪集级数 \(P+H\)：把盒子 \(P\) 复制到 \(H\) 的每个陪集上。各副本不重叠时（\(|P+H|=|P||H|\)）称为“真”陪集级数。

现在我们把秩为 \(d\) 的 Bohr 集与秩为 \(d\) 的陪集级数联系起来。

引理 4.22（Bohr 集包含大的陪集级数）设 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 是 \(Z\) 中一个秩为 \(d\) 的 Bohr 集，\(0<\rho<\tfrac12\)。则存在一个秩为 \(0\le d'\le d\) 的真对称陪集级数 \(P+H\)，满足如下包含关系 \[\tag{4.28}\mathrm{Bohr}(S,d^{-2d'}\rho)\subseteq P+H\subseteq\mathrm{Bohr}(S,\rho).\] 特别地，由引理 4.20 有 \[\tag{4.29}\mathbb P_Z(P+H)\ge \rho^{\,d}\,d^{-4d^2}.\] 此外有 \(H=S^{\perp}\)。

证明. 设 \(\varphi:Z\to(\mathbb R/\mathbb Z)^S\) 是群同态 \(\varphi(x):=(\xi\cdot x)_{\xi\in S}\)。注意 \(\varphi(Z)\) 是环面 \((\mathbb R/\mathbb Z)^S\) 的一个有限子群，并且 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 包含立方体 \[Q:=\{(y_\xi)_{\xi\in S}\in\mathbb R^S:\ |y_\xi|\le\rho\}\subset\mathbb R^S\] （我们把它与其在 \((\mathbb R/\mathbb Z)^S\) 中的投影等同看待）在 \(\varphi\) 下的原像。设 \(\Lambda\subseteq\mathbb R^S\) 为格 \(\varphi(Z)+\mathbb Z^S\)。尽管略有记号上的滥用，我们把 \(\varphi(Z)\cap Q\) 视为与 \(\Lambda\cap Q\) 相同。应用引理 3.36，我们可以找到一个级数 \(\widetilde P:=(-L,L)\cdot w\)，其中 \(w_1,\dots,w_{d'}\subseteq\Lambda\) 线性无关，\(0\le d'\le d\)，使得 \[\Lambda\cap d^{-2d'}\cdot Q\ \subseteq\ \widetilde P\ \subseteq\ \Lambda\cap Q.\] 由于 \(w_j\) 线性无关，\(\widetilde P\) 必为真级数。现在令 \(v_j\) 为 \(\varphi^{-1}(w_j)\) 中任取的一个元素（\(1\le j\le d'\)），并令 \(H\) 等于 \(\varphi\) 的核——它当然就是 \(S^{\perp}\)，结论即得。♦

这个证明在做什么

展平：用同态 \(\varphi(x)=(\xi\cdot x)_\xi\) 把 Bohr 集“展开”到环面 \((\mathbb R/\mathbb Z)^S\) 上。半径 \(\rho\) 的 Bohr 集对应一个边长 \(2\rho\) 的立方体 \(Q\) 的原像。
提升到格：把 \(\varphi(Z)\) 与整数格 \(\mathbb Z^S\) 合并成欧氏空间里的格 \(\Lambda\)。于是“环面里的立方体”变成“欧氏空间里的格点盒子” \(\Lambda\cap Q\)。
用格几何（引理 3.36）找级数：格与凸体相交的部分，可被一个真级数 \(\widetilde P\)（=格点盒子）从内外两侧夹住，缩放因子是 \(d^{-2d'}\)。
拉回：把 \(\widetilde P\) 的生成元 \(w_j\) 经 \(\varphi^{-1}\) 拉回 \(Z\) 得到 \(v_j\)，核 \(H=S^\perp\) 自动补上“子群”部分。合起来就是陪集级数 \(P+H\)。

在循环群的情形下，我们可以丢掉子群 \(H\)，并把常数稍加锐化（不过代价是失去 (4.28) 中的第一个包含）：

命题 4.23 设 \(Z=Z_N\) 是循环群，\(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 是秩为 \(d\)、\(0<\rho<\tfrac12\) 的 Bohr 集。则 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 包含一个秩为 \(d\) 的对称真级数 \(P\)，其基数满足 \[|P|\ge \frac{\rho^{\,d}}{d^{\,d}}\,N.\] 此外，可取 \(P\) 为对称的（即 \(P=-P\)）。

证明. 这里的主要工具是 Minkowski 第二定理。我们使用标准双线性形式 \(\xi\cdot x=\xi x/N\)，并记 \(S=(\xi_1,\dots,\xi_d)\)。设 \(\alpha\in\mathbb R^d\) 为向量 \(\alpha:=\big(\tfrac{\xi_1}{N},\dots,\tfrac{\xi_d}{N}\big)\)，设 \(\Lambda\) 为格 \(\mathbb Z\cdot\alpha+\mathbb Z^d\)；它显然是满秩的，且由 (3.12) 有 \[\mathrm{mes}(\mathbb R^d/\Lambda)=\mathrm{mes}(\mathbb R^d/\mathbb Z^d)/|\Lambda/\mathbb Z^d|\ge 1/N.\] 设 \(Q\) 为立方体 \[Q:=\{(x_1,\dots,x_d)\in\mathbb R^d:\ |x_j|<\rho\ \text{对所有}\ 1\le j\le d\},\] 并设 \(0<\lambda_1\le\cdots\le\lambda_d\) 为 \(Q\) 关于 \(\Lambda\) 的逐次极小，相应的方向基 \(v_1,\dots,v_d\in\Lambda\) 由定理 3.30 给出。特别地，\(v_j\) 的每个坐标的绝对值至多为 \(\lambda_j\rho\)。
任取 \(1\le j\le d\)。由 \(v_j\in\Lambda\) 及 \(\Lambda\) 的定义，存在 \(w_j\in Z_N\) 使得 \(v_j\in\alpha w_j+\mathbb Z^d\)。特别地 \(\|\xi_i\cdot w_j\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\le\lambda_j\rho\) 对所有 \(1\le i,j\le d\) 成立。令 \(w:=(w_1,\dots,w_d)\)。现在令 \(M_j:=\big\lceil\tfrac{1}{d\lambda_j}\big\rceil\)，并令 \(M:=(M_1,\dots,M_d)\)；我们断言级数 \(P:=(-M,M)\cdot w\) 是真的且落在 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 内（它显然对称）。
先验证 \(P\subseteq\mathrm{Bohr}(S,\rho)\)。若 \(n=(n_1,\dots,n_d)\in(-M,M)\)，则对任意 \(1\le i\le d\) 有 \[\Big\|\xi_i\cdot (n\cdot w)\Big\|_{\mathbb R/\mathbb Z}\le\sum_{j=1}^d|n_j|\,\|\xi_i\cdot w_j\|_{\mathbb R/\mathbb Z}<\sum_{j=1}^d\frac{1}{d\lambda_j}\,\lambda_j\rho=\rho,\] 因此 \(n_1 w_1+\cdots+n_d w_d\in\mathrm{Bohr}(S,\rho)\)。这就证明了包含 \(P\subseteq\mathrm{Bohr}(S,\rho)\)。
现在证明 \(P\) 是真级数。反设存在不同的 \(n,n'\in(-M,M)\) 使得 \(n\cdot w=n'\cdot w\)；令 \(\tilde n:=n-n'\in(-2M,2M)\)，则 \(\tilde n\cdot w=0\)。特别地，\((\tilde n\cdot v)_i\) 对每个 \(i\) 都是整数。另一方面，像前面那样论证，有 \[|(\tilde n\cdot v)_i|\le\sum_{j=1}^d|\tilde n_j|\,|\xi_i w_j/N|<\sum_{j=1}^d\frac{2}{d\lambda_j}\,\lambda_j\rho=2\rho.\] 由于 \(\rho<1/2\)，我们得到 \((\tilde n\cdot v)_i=0\) 对所有 \(i\) 成立，从而 \(\sum_j\tilde n_j v_j=0\)。但这与方向基 \(v_1,\dots,v_d\) 的线性无关矛盾。故 \(P\) 是真级数。
最后，这个真级数 \(P\) 的基数为 \[|P|=\prod_{j=1}^d(2M_j-1)\ge\prod_{j=1}^d\frac{1}{d\lambda_j},\] 而结论由 Minkowski 第二定理（它给出 \(\prod_j\lambda_j\) 与覆体积 \(\mathrm{mes}(\mathbb R^d/\Lambda)\) 之间的界，进而带出因子 \(N\)）即得。♦

命题 4.23 的几何：把频率打包成一个格 \(\Lambda\)，立方体 \(Q\) 的逐次极小 \(\lambda_1\le\cdots\le\lambda_d\) 给出方向基 \(v_j\)。在每个方向上走 \(M_j\approx 1/(d\lambda_j)\) 步而不越界，就拼出落在 Bohr 集里的等差数列盒子。

正则 Bohr 集

高秩 \(d\) 的 Bohr 集有一个不理想的特征：它们的倍增常数很大。(4.26) 表明 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)+\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 可能比 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 大 \(4^d\) 倍。Bourgain [39] 的一个有用观察是：如果考虑一个不对称的和 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)+\mathrm{Bohr}(S,\rho')\)，其中 \(\rho'\) 比 \(\rho\) 小得多，那么 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)+\mathrm{Bohr}(S,\rho')\) 仍有可能接近 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\)。这一直觉由正则 Bohr 集的概念形式化。

定义 4.24（正则 Bohr 集）称秩为 \(d\) 的 Bohr 集 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 是正则的，如果只要 \(|\kappa|\le\tfrac{1}{100d}\)，就有估计 \[(1-100d|\kappa|)\,\mathbb P_Z\big(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\big)\le\mathbb P_Z\big(\mathrm{Bohr}(S,(1+\kappa)\rho)\big)\le(1+100d|\kappa|)\,\mathbb P_Z\big(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\big).\]

“正则”是在说什么

正则就是要求 Bohr 集的大小对半径稳定：把半径轻微变动一点点（乘以 \(1+\kappa\)），大小也只成比例地、温和地变化，不会突然暴涨。

这为什么有用？因为 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)+\mathrm{Bohr}(S,\rho')\subseteq\mathrm{Bohr}(S,\rho+\rho')=\mathrm{Bohr}(S,(1+\rho'/\rho)\rho)\)。若 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 正则且 \(\rho'\ll\rho\)（取 \(\kappa=\rho'/\rho\) 很小），则这个稍大的 Bohr 集只比原来大一点点。于是“加一个小 Bohr 集”几乎不改变集合大小——这正是把高秩 Bohr 集当作“近似群”使用时最需要的性质。

正则：半径在 \((1\pm\kappa)\rho\) 之间小幅伸缩时，Bohr 集的密度只发生 \(O(d\kappa)\) 的相对变化——大小随半径“平稳”增长，没有跳变。

并非所有 Bohr 集都是正则的。然而事实证明，每个 Bohr 集都“靠近”一个正则的 Bohr 集：

引理 4.25（正则 Bohr 集无处不在）[39] 设 \(S\) 是非空加性集合，\(0<\varepsilon<1\)。则存在 \(\rho\in[\varepsilon,2\varepsilon]\)，使得 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 是正则的。

证明. 设函数 \(f:[0,1]\to\mathbb R\) 为 \(f(a):=\tfrac1d\log_2\mathbb P_Z\big(\mathrm{Bohr}(S,2^a\varepsilon)\big)\)。注意 \(f\) 关于 \(a\) 是非减的，且由引理 4.20 有 \(f(1)-f(0)\le\log_2 5\)。
假设我们能找到 \(0.1\le a\le 0.9\)，使得对所有 \(|a'-a|\le 0.1\) 都有 \(|f(a')-f(a)|\le 20|a-a'|\)。那么容易看出 \(\mathrm{Bohr}(S,2^a\varepsilon)\) 是正则的。因此只需找到具有这一性质的 \(a\) 即可。这可以直接由 Hardy–Littlewood 极大不等式（应用于 Lebesgue–Stieltjes 测度 \(\mathrm{d}f\)）得到，或者如下论证。
若不存在这样的 \(a\)，那么对每个 \(0.1\le a\le 0.9\)，都存在一个长度至多为 \(0.1\)、以 \(a\) 为一个端点的实区间 \(I\)，使得 \(\int_I\mathrm{d}f>\int_I 20\,\mathrm{d}x\)。这些区间覆盖了 \(\{a:0.1\le a\le 0.9\}\)，其测度为 \(0.8\)。由 Vitali 覆盖引理（见习题），可以从中找出一族互不相交的区间 \(I_1,\dots,I_n\)，其总长度 \(|I_1|+\cdots+|I_n|\ge 0.8/5\)（比如说）。但这样一来便有 \[\log_2 5\ge\int_0^1\mathrm{d}f\ge\sum_{i=1}^n\int_{I_i}\mathrm{d}f\ge\sum_{i=1}^n\int_{I_i}20\,\mathrm{d}x\ge\frac{0.8}{5}\times 20,\] 矛盾。♦

为什么这条引理一定成立（一句话直觉）

把“大小随半径增长”记成对数曲线 \(f(a)\)。它一路单调上升，但总涨幅有限（\(\le\log_2 5\approx2.32\)）。一条总涨幅有限的单调曲线，不可能处处都很陡——若处处陡（斜率 \(>20\) 的区间盖满 \([0.1,0.9]\)），累计涨幅就会超过 \(\tfrac{0.8}{5}\times20=3.2>2.32\)，矛盾。所以一定有一段“平缓”的地方，那里的半径就给出正则 Bohr 集。

我们将在 10.4 节证明 Roth 定理的 Bourgain 定量版本时，对本引理作出关键性的使用。

习题

习题 4.4

4.4.1 证明：若 \(0<\rho\le 1/6\) 且 \(|S|\ge 1\)，则对所有 \(\xi\in S\) 有 \(|\widehat{1_{\mathrm{Bohr}(S,\rho)}}(\xi)|\ge\tfrac12\mathbb P_Z(\mathrm{Bohr}(S,\rho))\)。特别地，Bohr 集是极度非一致的：\(\|\mathrm{Bohr}(S,\rho)\|_u\ge\tfrac12\mathbb P_Z(\mathrm{Bohr}(S,\rho))\)。应用 Plancherel 定理，进一步推出界 \(\mathbb P_Z(\mathrm{Bohr}(S,\rho))\le\tfrac{4}{|S|}\)。
4.4.2 举例说明：即使 \(\rho\) 很小、\(|S|\) 很大，Bohr 集的密度 \(\mathbb P_Z(\mathrm{Bohr}(S,\rho))\) 既可以低至 \((\rho)^{|S|}\)，也可以高至 \(\Omega(1/|S|)\)。因此 (4.25) 以及上一题中的界都不能有实质性改进。
4.4.3 建立界 \(\mathbb P_Z(\mathrm{Bohr}(S,k\rho))\le O(k)^{|S|}\,\mathbb P_Z(\mathrm{Bohr}(S,\rho))\)（对任意 \(k\ge 1\)）。利用 Ruzsa 覆盖引理（引理 2.14）推出：可用 \(O(k)^{|S|}\) 个 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 的平移覆盖 \(\mathrm{Bohr}(S,k\rho)\)。特别地，按定义 2.25 的术语，\(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 是一个 \(O(1)^{|S|}\)-近似群。
4.4.4 在引理 4.22 的设定下，证明 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 可被 \(O(d)^{d^2}\) 个 \(P+H\) 的平移覆盖。
4.4.5 证明：秩为 \(d\) 的 Bohr 集 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho)\) 总包含一个长度为 \(\Omega(|\mathrm{Bohr}(S,\rho)|^{1/d})\)、步长非零的等差数列。（提示：若 \(|\mathrm{Bohr}(S,\rho)|^{1/d}\) 很大，用上一题证明 \(\mathrm{Bohr}(S,\rho/k)\) 对某个整数 \(k=\Omega(|\mathrm{Bohr}(S,\rho)|^{1/d})\) 含有非零元素。）
4.4.6 [160] 设 \(A\) 是 \(Z\) 中含 \(0\) 的加性集合。证明存在频率集 \(S\)，\(|S|\le 1+\log_2|A|\)，使得 \(A\cap\mathrm{Bohr}(S,\sqrt2)=\{0\}\)。（提示：随机、独立地选取 \(1+\log_2|A|\) 个频率（允许重复），用一阶矩方法。）
4.4.7（Vitali 覆盖引理）设 \(\mathcal I\) 是实直线上有限多个区间构成的族。证明存在一个子族 \(I_1,\dots,I_n\)，它们的内部两两不交，且 \(\sum_{i=1}^n|I_i|\ge\tfrac15\,\mathrm{mes}\big(\bigcup_{I\in\mathcal I}I\big)\)。（提示：用贪心算法，先选最长的区间。）通过更精细的论证，可把 \(\tfrac15\) 改进为 \(\tfrac12\)。（提示：先剔除被包含的区间，再从左到右贪心地用两族内部不交的区间覆盖 \(\bigcup_{I\in\mathcal I}I\)。）
4.4.8（Hardy–Littlewood 极大不等式）设 \(\mu\) 是实直线上的非负有限测度，记 \(M\mu\) 为 Hardy–Littlewood 极大函数 \(M\mu(x):=\sup_{r>0}\tfrac{1}{2r}\mu\{y:x-r

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