Tao–Vu · 加性组合学 · 第 9 章 代数方法

9.4　有限域Finite fields

本页为译文 + 高中讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 例 / 分步推演）与配图为面向高中生的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。

本节目标前面我们一直在用素数阶的有限域 \(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}_p\)（也就是“模素数 \(p\) 做加减乘除”的世界）。本节要把这套世界推广到任意素数幂阶 \(p^k\) 的有限域，并搞清楚它的两条骨架：加法结构（决定“特征” \(p\)）与乘法结构（去掉 \(0\) 后是一个循环群）。掌握这两条后，我们就能证明组合数论里非常漂亮的 Chevalley–Warning 定理（关于多项式方程组解的个数）。

我们现在暂停一下，来发展一些有限域的理论。我们已经遇到过素数阶的有限域 \(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}_p\)，但现在我们要讨论更一般的、合数（素数幂）阶的有限域。

回顾：什么是域一个域（field）是一个集合，上面有加、减、乘三种运算，且每个非零元都有乘法逆元（可以做除法）；这些运算满足通常的交换律、结合律、分配律。\(\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\) 都是无限域。有限域就是元素个数有限的域。本节研究的核心对象就是它。

为避免退化情形，我们总是假定我们的域至少有 \(2\) 个元素（这样 \(0\neq 1\)）。注意，有限域 \(F\) 作为加法结构是一个有限加法群 \((F,0,+,-)\)；但若去掉 \(0\) 元，则得到一个乘法群 \((F^\times,1,\times,\cdot^{-1})\)，这里 \(F^\times:=F\setminus\{0\}\)。严格来说，有限域上有两种乘法结构：一种是元素之间的乘法群结构 \(x\times y\)（对 \(x,y\in F\)），另一种是来自“反复相加”的 \(\mathbb{Z}\)-模结构 \(n\cdot x\)（对 \(n\in\mathbb{Z},\,x\in F\)）。但它们显然由恒等式 \(n\cdot x=(n\cdot 1)\times x\) 联系在一起；正因如此，我们将滥用记号，把整数 \(n\) 与域元素 \(n\cdot 1\) 等同看待，并把这两种乘法结构也等同起来。

例：两种“乘法”到底是什么

在 \(F=\mathbb{F}_5=\{0,1,2,3,4\}\) 里：

这里 \(3\cdot 2\) 里的 \(3\) 是普通整数（表示“加几次”），\(2\) 是域元素。恒等式 \(n\cdot x=(n\cdot 1)\times x\) 说的是：先算 \(n\cdot 1=3\cdot 1=3\)（域元素），再用乘法群相乘 \(3\times 2=6\equiv 1\)，结果一样。所以以后写 \(3\) 既可指整数 \(3\) 也可指域元素 \(3\cdot 1\)，不再区分。

有限域最重要的例子，是素数阶 \(|\mathbb{F}_p|=p\) 的循环群 \(\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}_p\)。更一般地，对任意素数 \(p\) 与任意整数 \(k\ge 1\)，都可以造出一个阶为 \(|\mathbb{F}_{p^k}|=p^k\) 的有限域 \(\mathbb{F}_{p^k}\)（习题 9.4.4）。这样的域在域同构意义下是唯一的（习题 9.4.6）。

关键事实（贯穿全节）有限域的元素个数必为素数幂 \(|F|=p^k\)，且对每个素数幂都恰好存在一个（同构意义下）这样的域。我们记作 \(\mathbb{F}_{p^k}\) 或 \(\mathrm{GF}(p^k)\)。例如存在 \(4,8,9,25,27\) 个元素的域，但不存在 \(6,10,12\) 个元素的域。
加法表 (F₄, +) 乘法表 (F₄ˣ, ×) +01ab 001ab 110ba aab01 bba10 ×1ab 11ab aab1 bb1a \(\mathbb{F}_4=\{0,1,a,b\}\)，其中 \(a^2=b,\;a^3=1\)；注意每个非零元加自己都得 \(0\)（特征 2）。
具体看一个非素数阶的域 \(\mathbb{F}_4\)（\(4=2^2\)）。它不是 \(\mathbb{Z}_4\)（\(\mathbb{Z}_4\) 里 \(2\times2=0\) 却 \(2\neq0\)，没有逆元，不是域）。加法表里每行每个元素加自己都得 \(0\)，这正是“特征为 \(2\)”；乘法表里 \(\{1,a,b\}\) 在乘法下转一圈 \(a\to a^2=b\to a^3=1\)，是循环群。

9.4.1　加法结构与特征

因为有限域同时具有加法群结构和乘法群结构，我们有时会在群论概念上加下标，标明是针对加法还是乘法。例如，用 \(\operatorname{ord}_+(x)\) 表示 \(x\in F\) 的加法阶，用 \(\operatorname{ord}_\times(x)\) 表示乘法阶。我们现在指出：有限域中所有非零元 \(x\in F^\times\) 都有相同的加法阶 \(\operatorname{ord}_+(x)\)。

回顾：加法阶 / 乘法阶 例如在 \(\mathbb{F}_5\) 中：\(\operatorname{ord}_+(2)=5\)（因 \(2+2+2+2+2=10\equiv0\)，且更少加不出 \(0\)）；\(\operatorname{ord}_\times(2)=4\)（因 \(2,4,3,1\)，到第 4 次才回到 \(1\)）。
引理 9.21设 \(F\) 为有限域，令 \(p:=\operatorname{ord}_+(1)\)。则 \(p\) 是素数，且对所有 \(x\in F^\times\) 都有 \(\operatorname{ord}_+(x)=p\)。
证明. 若 \(\operatorname{ord}_+(1)=nm\) 对某 \(n,m>1\) 是合数，则 \(m\cdot 1\neq 0\)、\(n\cdot 1\neq 0\)（因为 \(n,m\) 都小于加法阶 \(nm\)），但 \((n\cdot 1)\times(m\cdot 1)=(nm)\cdot 1=0\)，这与 \(F^\times\) 是乘法群（乘法群里两个非零元之积仍非零）矛盾。因此 \(\operatorname{ord}_+(1)\) 等于某素数 \(p\)。又因 \(p\cdot x=(p\cdot 1)\times x=0\times x=0\)，故对所有 \(x\in F^\times\)，\(\operatorname{ord}_+(x)\) 整除 \(p\)；由于 \(x\neq 0\) 时 \(\operatorname{ord}_+(x)\neq 1\)，而 \(p\) 是素数，故只能 \(\operatorname{ord}_+(x)=p\)。♦
  1. 为什么 \(p\) 必须是素数？关键是“域里没有零因子”：若 \(u\times v=0\) 则 \(u=0\) 或 \(v=0\)。假设加法阶 \(\operatorname{ord}_+(1)=nm\) 能拆成两个 \(>1\) 的因子，记 \(u=n\cdot 1\)、\(v=m\cdot 1\)。它们都非零（因为 \(n,m\) 比加法阶小，加不到 \(0\)）。
  2. 但 \(u\times v=(n\cdot1)\times(m\cdot1)=(nm)\cdot1=0\)（恰好加 \(nm\) 次 \(1\)）。这就出现了“两个非零元相乘为 \(0\)”，与域的性质冲突。所以加法阶不可能是合数，只能是素数 \(p\)。
  3. 为什么每个非零元加法阶也是 \(p\)？因为 \(p\cdot x=(p\cdot1)\times x=0\times x=0\)，说明 \(x\) 加 \(p\) 次就回到 \(0\)，于是 \(\operatorname{ord}_+(x)\mid p\)。\(p\) 是素数，因子只有 \(1\) 和 \(p\)；非零元加法阶不会是 \(1\)，故为 \(p\)。

我们把素数 \(\operatorname{char}(F):=p=\operatorname{ord}_+(1)\) 称为有限域 \(F\) 的特征（characteristic）。容易看出，\(F\) 此时是 \(\mathbb{F}_p\) 上的一个向量空间；特别地它有某个维数 \(k\ge 1\)，于是 \(|F|=p^k\)。对 \(F^\times\) 应用 Cauchy 定理（习题 3.1.2），我们看出对所有 \(x\in F^\times\)，乘法阶 \(\operatorname{ord}_\times(x)\) 整除 \(|F^\times|=|F|-1\)。换句话说，

\[\tag{9.8} x^{|F|-1}=1\quad\text{对所有 } x\in F^\times,\]

从而

\[\tag{9.9} x^{|F|}=x\quad\text{对所有 } x\in F.\]
为什么 \(|F|=p^k\)？把 \(F\) 看成向量空间

既然每个元素加 \(p\) 次都回到 \(0\)，那么 \(F\) 里的“整数标量乘法” \(n\cdot x\) 实际上只依赖 \(n\bmod p\)，也就是说标量来自 \(\mathbb{F}_p=\{0,1,\dots,p-1\}\)。于是 \(F\) 就是 \(\mathbb{F}_p\) 上的向量空间。任何有限维向量空间都有一组基 \(e_1,\dots,e_k\)，每个元素唯一写成 \(c_1e_1+\cdots+c_ke_k\)，每个系数 \(c_i\) 有 \(p\) 种选择，所以

\[|F|=\underbrace{p\times p\times\cdots\times p}_{k\text{ 个}}=p^k.\]

这就解释了：有限域的大小只能是素数幂。式 (9.8)(9.9) 则是“小费马定理”在一般有限域上的推广——\(x^{|F|}=x\) 对每个元素都成立。

这有如下推论。对任意正整数 \(n\)，定义 \(n\) 的欧拉函数 \(\varphi(n)\) 为区间 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互素的元素个数（等价地，\(\varphi(n)=|\mathbb{Z}_n^\times|\)）。

引理 9.22设 \(F\) 为有限域，\(n\ge 1\) 为整除 \(|F^\times|=|F|-1\) 的整数。则 \[|\{x\in F^\times:x^n=1\}|=n\qquad\text{且}\qquad |\{x\in F^\times:\operatorname{ord}_\times(x)=n\}|=\varphi(n).\]
证明. 由于 \(x^n-1\) 的次数为 \(n\)，它至多有 \(n\) 个根，故 \(|\{x\in F^\times:x^n=1\}|\le n\)。另一方面，若记 \(|F|-1=nm\)，由 (9.8) 可见，对所有 \(y\in F^\times\)，\(y^m\) 都落在集合 \(\{x\in F^\times:x^n=1\}\) 中（因为 \((y^m)^n=y^{nm}=y^{|F|-1}=1\)）。而对每个 \(c\in F\)，多项式 \(y^m-c\) 至多有 \(m\) 个根，故映射 \(y\mapsto y^m\) 至多 \(m\) 对 \(1\)，于是 \(|\{x\in F^\times:x^n=1\}|\ge |F^\times|/m=n\)。这给出第一条断言。由此可得 \[\sum_{d\mid n}|\{x\in F^\times:\operatorname{ord}_\times(x)=d\}|=|\{x\in F^\times:x^n=1\}|=n=\sum_{d\mid n}\varphi(d),\] 第二条断言现在由一个归纳论证（对 \(n\) 的因子逐个比较）即得。♦
  1. 上界：方程 \(x^n=1\) 即 \(x^n-1=0\)。在任何域里，一个 \(n\) 次多项式至多有 \(n\) 个根，所以满足 \(x^n=1\) 的 \(x\) 至多 \(n\) 个。
  2. 下界：写 \(|F|-1=nm\)。对任意 \(y\in F^\times\)，把 \(y\) 先 \(m\) 次方得到 \(y^m\)，它一定满足 \((y^m)^n=y^{nm}=1\)。所以 “\(m\) 次方” 这个操作把 \(F^\times\)（\(nm\) 个元素）全部送进了解集。而 \(y\mapsto y^m\) 每个像至多被 \(m\) 个 \(y\) 取到（因 \(y^m=c\) 至多 \(m\) 解），故像至少有 \(nm/m=n\) 个。
  3. 上界 \(\le n\) 与下界 \(\ge n\) 合起来：恰好 \(n\) 个。第一条证毕。
  4. 第二条（数“恰好 \(n\) 阶”的元素）：每个满足 \(x^n=1\) 的 \(x\)，其乘法阶 \(d\) 必整除 \(n\)。把这 \(n\) 个元素按阶 \(d\) 分类相加，得左边和式 \(=n\)。而经典恒等式 \(\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n\) 给出右边。逐个比较 \(n\) 的因子（归纳）即得 \(|\{\operatorname{ord}_\times=n\}|=\varphi(n)\)。

由于对所有 \(n\ge 1\) 都有 \(\varphi(n)\neq 0\)，我们尤其看出 \(F^\times\) 含有一个阶为 \(|F|-1\) 的元素；我们称这样的元素为 \(F^\times\) 的本原元（primitive element，又称生成元）。这特别说明 \(F^\times\) 是一个阶为 \(|F|-1\) 的乘法循环群。

推论（乘法群是循环群）有限域的非零元 \(F^\times\) 在乘法下是一个循环群：存在一个本原元 \(\omega\)，使每个非零元都能写成 \(\omega\) 的某个幂：\(F^\times=\{\omega^0,\omega^1,\dots,\omega^{|F|-2}\}\)。
\(\mathbb{F}_7^\times\) 由本原元 \(\omega=3\) 生成 1 3 2 6 4 5 ×3×3×3 ×3×3×3
以 \(\mathbb{F}_7\) 为例：本原元 \(\omega=3\)，不断乘 \(3\) 得 \(3^0=1,\,3^1=3,\,3^2=2,\,3^3=6,\,3^4=4,\,3^5=5,\,3^6=1\)，恰好把 \(6\) 个非零元转一圈。这就是“\(F^\times\) 是循环群”的样子。

另一个推论是：

引理 9.23设 \(F\) 为有限域。则对任意 \(k\ge 1\) 与任意 \(h_1,\dots,h_k\ge 0\)，只要 \(\min(h_1,\dots,h_k)<|F|-1\)，就有 \[\sum_{x_1,\dots,x_k\in F}x_1^{h_1}\cdots x_k^{h_k}=0.\]
证明. 将左边因式分解（按变量拆成乘积 \(\big(\sum_{x_1}x_1^{h_1}\big)\cdots\big(\sum_{x_k}x_k^{h_k}\big)\)），可见只需证明：对所有 \(0\le h<|F|-1\) 都有 \(\sum_{x\in F}x^h=0\)。当 \(h=0\) 时（约定 \(0^0=1\)），\(\sum_{x\in F}x^0=|F|\cdot 1=0\)，因为 \(|F|\) 是特征 \(\operatorname{char}(F)\) 的倍数（\(|F|=p^k\)）。现设 \(0♦
  1. 拆成一元和：因为求和变量互相独立，整个 \(k\) 重和等于 \(k\) 个一元和相乘。只要其中一个一元和为 \(0\)（由 \(\min h_i<|F|-1\) 保证至少有一个指数 \(h_i\) 落在范围内），整个乘积就是 \(0\)。于是只需处理一元情形 \(\sum_{x\in F}x^h\)。
  2. 情形 \(h=0\)：每项都是 \(1\)，共 \(|F|=p^k\) 项，和为 \(p^k\cdot1\)。但在特征 \(p\) 的域里 \(p\cdot1=0\)，所以 \(p^k\cdot1=0\)。
  3. 情形 \(0用一个“换元不变”的技巧。取本原元 \(\omega\)，乘以 \(\omega\) 只是把 \(F\) 里的元素重新排列（双射），所以 \(\sum_x x^h\) 与 \(\sum_x(\omega x)^h\) 是同一个和。但后者 \(=\omega^h\sum_x x^h\)。
  4. 于是 \(S=\omega^h S\)，即 \((\omega^h-1)S=0\)。因为 \(\omega\) 的乘法阶是 \(|F|-1\)，而 \(0

9.4.2　Chevalley–Warning 定理

我们现在可以给出 Chevalley 与 Warning 关于有限域上多变量多项式方程组解数的经典定理。

定理 9.24（Chevalley–Warning 定理）设 \(F\) 为有限域，\(n\ge 1\)，\(P_1,\dots,P_m\in F[t_1,\dots,t_n]\) 为多项式，满足 \[\sum_{i=1}^m\deg(P_i)个数是 \(\operatorname{char}(F)\) 的倍数。
证明. 由 (9.8)，对每个 \(i\) 有 \[\mathbf{I}\big(P_i(x_1,\dots,x_n)=0\big)=1-P_i(x_1,\dots,x_n)^{|F|-1},\] （这里 \(\mathbf{I}(\cdot)\) 是指示量：成立取 \(1\)，不成立取 \(0\)）。于是方程组 (9.10) 解的个数，作为 \(F\) 中的元素，可表示为 \[\sum_{x_1,\dots,x_n\in F}\;\prod_{i=1}^m\Big(1-P_i(x_1,\dots,x_n)^{|F|-1}\Big).\] 要证定理，因此只需证明 \[\tag{9.11}\sum_{x_1,\dots,x_n\in F}\;\prod_{i=1}^m\Big(1-P_i(x_1,\dots,x_n)^{|F|-1}\Big)=0.\] 将乘积 \(\prod_{i=1}^m\big(1-P_i^{|F|-1}\big)\) 展开，得到若干形如 \(x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\) 的单项式的线性组合，其中每个单项式的次数至多为 \[\sum_{i=1}^m\deg(P_i)\,(|F|-1)♦
证明的核心思路：把“数解”变成“求和”

这个证明的精妙之处在于把组合问题（数有多少组解）翻译成代数问题（一个大求和等于几），分三步：

  1. 造指示量。由小费马定理式 (9.8)，对非零 \(y\) 有 \(y^{|F|-1}=1\)，对 \(y=0\) 有 \(0^{|F|-1}=0\)。所以 \(1-P_i^{|F|-1}\) 恰好在 \(P_i=0\) 时取 \(1\)、否则取 \(0\)：这就是“第 \(i\) 个方程成立吗”的开关。
  2. 把所有开关相乘再对全部 \((x_1,\dots,x_n)\) 求和。只有“所有方程同时成立”的点贡献 \(1\)，其余贡献 \(0\)。所以这个大和（在 \(F\) 中）就等于解的个数 \(\bmod\,\operatorname{char}(F)\)。
  3. 证明这个大和是 \(0\)。展开后是一堆单项式 \(x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\)。因为总次数被 \(\sum\deg(P_i)(|F|-1)

大和等于 \(0\)（在特征 \(p\) 的 \(F\) 中），就意味着真正的整数解数是 \(p=\operatorname{char}(F)\) 的倍数。

例：用 Chevalley–Warning 看一个具体方程组

取 \(F=\mathbb{F}_3\)（\(\operatorname{char}=3\)），\(n=3\) 个变量，只有 \(m=1\) 个多项式 \[P_1(t_1,t_2,t_3)=t_1^2+t_2^2+t_3^2.\] 这里 \(\deg(P_1)=2<3=n\)，条件满足。定理断言：解的个数是 \(3\) 的倍数。

  1. 显然 \((0,0,0)\) 是一个解。
  2. 定理保证解数是 \(3\) 的倍数，所以解数 \(\ge3\)，于是一定还有非零解（这正是下面推论 9.25 的内容）。
  3. 实际数一下：在 \(\mathbb{F}_3\) 中平方值只有 \(0^2=0,\,1^2=1,\,2^2=1\)。要 \(t_1^2+t_2^2+t_3^2\equiv0\)，三个平方（各为 \(0\) 或 \(1\)）之和模 \(3\) 为 \(0\)，即三个都是 \(0\)，或三个都是 \(1\)。
    · 三个都是 \(0\)：\((0,0,0)\)，\(1\) 组。
    · 三个都是 \(1\)：每个 \(t_i\in\{1,2\}\)，共 \(2^3=8\) 组。
  4. 合计 \(1+8=9\) 组，确实是 \(3\) 的倍数。定理预言成功。

由于 \(\operatorname{char}(F)\ge 2\)，我们有如下推论：

推论 9.25设 \(P_1,\dots,P_m\) 如定理 9.24 中所述。则若 (9.10) 在 \(F^n\) 中有一个解，则至少还存在另一个解。
  1. 解的总数 \(N\) 是 \(\operatorname{char}(F)=p\) 的倍数，即 \(N\in\{0,p,2p,\dots\}\)。
  2. 若已知有一个解，则 \(N\ge1\)，于是 \(N\neq0\)；既是 \(p\) 的倍数又非零，必有 \(N\ge p\ge2\)。
  3. 所以至少有第二个解。典型应用：若一组齐次多项式（每个 \(P_i\) 没有常数项）变量足够多，则 \((0,\dots,0)\) 总是解，于是必有非平凡解。

接下来，我们给出一个有用的引理，它表明稀疏多项式的零点不能有过高的重数。

引理 9.26设 \(F\) 为素数阶有限域，\(P\in F[t]\) 为次数至多 \(|F|-1\)、且至多有 \(k\) 个非零系数的非零多项式。则 \(P\) 在 \(F^\times\) 中的所有零点的重数都至多为 \(k-1\)；换句话说，对任何 \(x_0\in F^\times\)，\(P\) 不含形如 \((x-x_0)^k\) 的因子。
证明. 对 \(k\) 作归纳。\(k=1\) 时断言显然成立（一个单项式 \(c\,x^j\) 在 \(F^\times\) 上无零点，重数为 \(0\le k-1=0\)）。现设 \(k>1\)，且断言对 \(k-1\) 已经证得。设 \(P\) 的 \(x^j\) 项系数非零。若 \(P\) 在 \(F^\times\) 中含有一个重数至少为 \(k\) 的零点，则其（形式）导数 \(P'\) 必含一个重数至少为 \(k-1\) 的零点，从而 \(xP'-jP\) 也必含一个重数至少为 \(k-1\) 的零点。但 \(xP'-jP\) 是一个非平凡多项式，且至多只有 \(k-1\) 个非零系数（因为它把 \(P\) 中的 \(x^j\) 项消掉了），这与归纳假设矛盾。因此 \(P\) 在 \(F^\times\) 中的所有零点重数都至多为 \(k-1\)。♦
为什么 \(xP'-jP\) 少了一个非零系数？

设 \(P=\sum_i c_i x^i\)（其中恰有 \(k\) 个 \(c_i\neq0\)，且 \(c_j\neq0\)）。逐项算：

\[xP'=\sum_i i\,c_i x^i,\qquad jP=\sum_i j\,c_i x^i,\] \[xP'-jP=\sum_i (i-j)\,c_i x^i.\]

看 \(x^j\) 这一项：系数变成 \((j-j)c_j=0\)，被消掉了！而其它各项 \((i-j)c_i\) 至多还有 \(k-1\) 个非零（原来 \(k\) 个非零系数，少了 \(x^j\) 这一个）。重数的传递用到一个事实：若 \(x_0\) 是 \(P\) 的 \(k\) 重零点，则 \(x_0\) 是 \(P'\) 的 \(k-1\) 重零点，于是也是 \(xP'-jP\) 的 \(k-1\) 重零点。这样系数更少、却仍有高重零点，与归纳假设冲突。

例：稀疏多项式确实“开不出高重根”

在 \(\mathbb{F}_5\) 中取 \(P(x)=x^4-1\)，它只有 \(2\) 个非零系数（\(x^4\) 与常数项），故 \(k=2\)。引理断言：\(P\) 在 \(\mathbb{F}_5^\times\) 上的零点重数 \(\le k-1=1\)，即全是单根。

  1. 由式 (9.8)，每个非零元 \(x\) 都满足 \(x^{5-1}=x^4=1\)，即 \(x^4-1=0\)。所以 \(1,2,3,4\) 全是根。
  2. \(P\) 次数为 \(4\)，已经有 \(4\) 个不同的根，故 \(P=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\)，每个都是单根，重数 \(1\)。
  3. 这印证引理：只有 \(2\) 个非零系数的多项式，根的重数顶多 \(1\)，不会出现 \((x-x_0)^2\) 之类的高重因子。

习题

习题 9.4
  1. 9.4.1　设 \(R\) 为含 \(1\) 的交换环，记 \(R[t]_{\mathrm{monic}}\) 为 \(R[t]\) 中所有首一多项式（最高次系数为 \(1\)）构成的乘法半群。称首一多项式为不可约，若它没有真的首一因子。利用 Euclid 算法，证明每个首一多项式都能唯一分解为首一不可约因子之积（不计次序）。特别地，这表明当 \(F\) 为域时，\(F[t]\) 是唯一分解整环。
  2. 9.4.2　设 \(F\) 为有限域。在 \(F[t]_{\mathrm{monic}}\) 上定义 von Mangoldt 函数 \(\Lambda:F[t]_{\mathrm{monic}}\to\mathbb{R}\)：若 \(f=g^k\)（\(g\) 不可约、\(k\ge1\)）则令 \(\Lambda(f):=\deg(g)\)，否则 \(\Lambda(f):=0\)。利用习题 9.4.1，证明对所有 \(f\) 有 \(\deg(f)=\sum_{g\mid f}\Lambda(g)\)（其中 \(g\mid f\) 表示 \(g\) 是 \(f\) 的因子）。特别地导出：对所有 \(s>1\)， \[\sum_{f}\frac{\deg(f)}{|F|^{s\deg(f)}}=\Big(\sum_{f}\frac{\Lambda(f)}{|F|^{s\deg(f)}}\Big)\Big(\sum_{f}\frac{1}{|F|^{s\deg(f)}}\Big).\] 由此导出 \(F[t]\) 的素数定理：对所有 \(k\ge1\)，\(\sum_{\deg(f)=k}\Lambda(f)=|F|^k\)。再导出 \(F[t]\) 的 Bertrand 假设：对每个 \(k\ge1\) 至少存在一个次数为 \(k\) 的首一不可约多项式。并建立 \(F[t]\) 的 Riemann 假设： \[|\{f\in F[t]_{\mathrm{monic}}:\deg(f)=k,\ f\text{ 不可约}\}|=|F|^k/k+O\!\big(|F|^{k/2}\big).\] 注意这比 \(\mathbb{Z}\) 上相应的 Riemann 假设容易得多！
  3. 9.4.3　设 \(F\) 为阶 \(|F|=p^k\) 的有限域。设 \(f(t)\in\mathbb{F}_p[t]\) 满足 \(f(t)\mid t^{p^k}-t\)。证明 \(f(t)\) 在 \(F\) 中恰有 \(\deg(f)\) 个不同的零点。（提示：若 \(t^{p^k}-t=f(t)g(t)\)，则 \(t^{p^k}-t\) 的零点是 \(f\) 与 \(g\) 零点之并。）用 Galois 理论的语言说，这意味着 \(t^{p^k}-t\) 的每个因子都在 \(F\) 上完全分裂。
  4. 9.4.4　设 \(F\) 为有限域，\(k\ge1\) 为整数。设 \(f(t)\in F[t]\) 为次数 \(k\) 的首一不可约多项式（由习题 9.4.2 存在）。证明商环 \(F[t]/(f(t))\) 是阶 \(|F|^k\) 的有限域；并证明它作为加法群同构于向量空间 \(F^k\)。注意这个构造表明：对任意素数 \(p\) 与任意 \(k\ge1\)，都存在阶 \(p^k\) 的域。
  5. 9.4.5　设 \(F\) 为阶 \(|F|=p^k\) 的有限域。设 \(\omega\) 为 \(F^\times\) 的本原元。设 \(f(t)\in\mathbb{F}_p[t]\) 为 \(\omega\) 在 \(\mathbb{F}_p\) 上的极小多项式，即 \(\mathbb{F}_p[t]\) 中使 \(f(\omega)=0\) 的次数最小的首一多项式。证明 \(\deg(f)=k\)，且向量 \(1,\omega,\dots,\omega^{k-1}\) 构成 \(F\)（视为 \(\mathbb{F}_p\) 上向量空间）的一组基。
  6. 9.4.6　设 \(F,G\) 为同阶有限域 \(|F|=|G|=p^k\)。证明 \(F\) 与 \(G\) 同构。（提示：取 \(F^\times\) 的本原元 \(\omega\)，设 \(f(t)\) 为 \(\omega\) 的极小多项式，用习题 9.4.3 在 \(G\) 中找到 \(f\) 的一个根，并把 \(\omega\) 映到它，从而建立域同构。）
本节小结

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