Bóna · 枚举与解析组合学导论 · 第 8 章 对称结构
8.2 有限射影平面Finite projective planes
本页为译文 + 高中讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 例 / 分步推演）与配图为面向高中生的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。
本节中，我们将讨论有限射影平面（finite projective plane）。这个名字暗示我们要研究的对象是几何性的。这一暗示确有几分道理；事实上，正如我们将看到的，有限射影平面由线（line）和点（point）组成。然而，与欧几里得几何（Euclidean geometry）不同，这里任意两条线都会相交，不存在平行线。另一方面，我们也将看到，有限射影平面实际上是一种设计（design），并且具备上一节所研究的许多对称性质。
本节目标把“有限射影平面”这个对象彻底讲清楚：它由哪几条公理定义；为什么任意两条线必相交、没有平行线；为什么它正好是一种规则且均匀的设计；以及——若每条线上有 \(n+1\) 个点，那么整个平面恰好有 \(n^2+n+1\) 个点和 \(n^2+n+1\) 条线。我们用费诺平面（Fano plane）这个 \(7\) 点 \(7\) 线的具体例子贯穿全节。
定义 8.13 一个有限射影平面是由一个有限点集 \(P\) 与一个有限线集 \(L\) 组成的整体，其中每条线本身都是 \(P\) 的一个子集，并且满足下列公理：
- 任意两点恰好同属于唯一一条公共的线。
- 任意两条线恰好相交于唯一一个点。
- 点集 \(P\) 中存在四个互异的点，其中任意三点都不在同一条线上。
读公理把三条公理翻译成“能不能做某件事”：
- 第一条：给你任意两个点，有且仅有一条线穿过它俩。也就是“两点定一线”，而且这条线唯一。
- 第二条：给你任意两条线，它们必定相交，且交点唯一。这条最关键——它直接宣布“没有平行线”，因为平行的意思就是不相交。
- 第三条：存在四个点处于“一般位置”（任意三点不共线）。它排除了某些退化的、太小或太“扁”的情形，保证平面真的有“面”的样子。
下面这个经典例子称为费诺平面（Fano plane）。很快我们就能证明，它其实是最小的有限射影平面。
例 8.14 图 8.1 给出一个有限射影平面，其中 \(P=[7]\)，而它的线为
\[\{1,2,4\},\ \{2,3,5\},\ \{1,3,6\},\ \{1,5,7\},\ \{2,6,7\},\ \{3,4,7\},\ \{4,5,6\}.\]
这个例子表明，如果想用一幅图来表示有限射影平面，那么不用直线来表示“线”，反而能让作图更容易。
逐条验证费诺平面满足公理
- 两点定一线：随手取两点，例如 \(1\) 与 \(5\)。含 \(1\) 的线是 \(\{1,2,4\},\{1,3,6\},\{1,5,7\}\)，其中含 \(5\) 的只有 \(\{1,5,7\}\)，唯一。再取 \(4\) 与 \(6\)：唯一含两者的是 \(\{4,5,6\}\)（那个圆）。
- 两线必交于一点：取边 \(\{1,2,4\}\) 与中线 \(\{1,5,7\}\)，交点是 \(1\)。取边 \(\{2,3,5\}\) 与圆 \(\{4,5,6\}\)，交点是 \(5\)。看似“平行”的两条边 \(\{1,2,4\}\) 与圆 \(\{4,5,6\}\) 也相交于 \(4\)——没有平行线。
- 四点一般位置：取 \(1,2,3,7\)。检查任意三点：\(1,2,3\) 不共线（没有哪条线同时含这三者）；\(1,2,7\) 不共线；\(1,3,7\) 不共线；\(2,3,7\) 不共线。故这四点中任意三点都不共线，第三条公理成立。
定义 8.13 表明，有限射影平面实际上是一种平衡连接设计（balanced linked design）：其中点是顶点，线是区组（block），并且 \(\lambda=\mu=1\)。接下来，我们将证明这种设计同时也是均匀的（uniform）与规则的（regular）。
术语对照把上一节的设计语言与本节的几何语言对上号：
- 点 \(=\) 顶点，点的总数记作 \(v\)。
- 线 \(=\) 区组，线的总数记作 \(b\)。
- 均匀（uniform）：每条线含有相同数目的点（区组等大），这个数记作 \(k\)。
- 规则（regular）：每个点落在相同数目的线上，这个数记作 \(r\)。
- \(\lambda=1\)：任意两点恰好共属一条线；\(\mu=1\)：任意两线恰好共有一点。
引理 8.15 在一个有限射影平面中，所有点都被包含在相同数目的线中。
证明. 设 \(s\) 与 \(t\) 是两个点，再取一条线 \(L\)，使它既不含 \(s\) 也不含 \(t\)。这样的 \(L\) 必定存在，原因正是有限射影平面定义中的第三条公理（存在四个一般位置的点，从而总能避开任意两个给定点找到一条线）。
设 \(L\) 由 \(n+1\) 个点组成。那么在“\(L\) 上的点”这个集合与“过 \(s\) 的线”这个集合之间，存在一个双射（bijection）\(f\)。事实上，每一条过 \(s\) 的线 \(S\) 都必与 \(L\) 相交于某一点 \(a_S\)（由第二条公理，两线恰好交于一点；而 \(S\) 与 \(L\) 确为两条不同的线，因为 \(s\notin L\)）。于是由 \(f(S)=a_S\) 定义的映射就是一个具有上述性质的双射。因此，\(s\) 被包含在 \(n+1\) 条线中。参见图 8.2 的图示。
（续）证明. 用类似的论证（把 \(s\) 换成 \(t\)）可知，\(t\) 也被包含在 \(n+1\) 条线中。反复套用这一论证，便知任何一个点都与点 \(s\) 一样，被包含在相同的 \(n+1\) 条线中。命题得证。♦
为什么 \(f\) 是双射（拆成三步看清）
- 有定义且落在 \(L\) 上：取一条过 \(s\) 的线 \(S\)。因为 \(s\notin L\)，\(S\) 与 \(L\) 是不同的两条线；由第二条公理它们恰交于一点 \(a_S\in L\)。于是 \(f(S)=a_S\) 真的给出 \(L\) 上一个点。
- 单射（不同线给不同点）：若两条过 \(s\) 的线 \(S\neq S'\) 却交 \(L\) 于同一点 \(p\)，那么 \(S,S'\) 就同时过 \(s\) 与 \(p\) 两点，与“两点定唯一线”矛盾。所以 \(f(S)\neq f(S')\)。
- 满射（每个点都被取到）：任取 \(L\) 上一点 \(p\)。\(p\neq s\)，由第一条公理 \(s,p\) 确定唯一一条线 \(S\)，它过 \(s\) 且交 \(L\) 于 \(p\)，故 \(f(S)=p\)。
推论 8.16 在一个有限射影平面中，所有线都由相同数目的点组成。这个数 \(n+1\) 等于过每个点的线的数目。
证明. 这直接来自引理 8.15 证明中刚刚构造的双射 \(f\) 的存在性。♦
因此，每个有限射影平面都是一个规则且均匀的设计，并且 \(k=r=n+1\)。由命题 8.2（即上一节中“规则均匀设计满足 \(vr=bk\)”的结论），这就推出 \(v=b\)，也就是说，每个有限射影平面的点数与线数相等。但究竟有多少个？回答这个问题并不困难。
为什么 \(k=r\Rightarrow v=b\)对任何设计，统计“点–线关联对（点在线上）”的总数有两种数法：
- 按点数：每个点在 \(r\) 条线上，共 \(v\) 个点，关联对总数 \(=v\,r\)。
- 按线数：每条线含 \(k\) 个点，共 \(b\) 条线，关联对总数 \(=b\,k\)。
- 两者数的是同一批关联对，故 \(v\,r=b\,k\)。当 \(k=r=n+1\) 时，两边约去 \(n+1\)，立得 \(v=b\)。
命题 8.17 若有限射影平面 \(H\) 的每条线都由 \(n+1\) 个点组成，则 \(H\) 有 \(n^2+n+1\) 个点和 \(n^2+n+1\) 条线。
证明. 考虑过 \(H\) 中某一点 \(h\) 的所有线。由引理 8.15，这样的线共有 \(n+1\) 条。由推论 8.16，这 \(n+1\) 条线中每一条都含有除 \(h\) 之外的 \(n\) 个点。
进一步注意两件事。其一，过 \(h\) 的任意两条不同的线，除 \(h\) 外没有别的公共点——因为由第二条公理，两条线恰好交于一点，而它们已共有 \(h\)。其二，平面中除 \(h\) 以外的每一个点 \(x\)，都恰好落在这 \(n+1\) 条线中的某一条上——因为由第一条公理，\(h\) 与 \(x\) 恰好确定唯一一条公共线，这条线必过 \(h\)。
于是，除 \(h\) 之外的所有点被这 \(n+1\) 条过 \(h\) 的线不重不漏地分成 \(n+1\) 组，每组 \(n\) 个点。因此除 \(h\) 之外共有
\[(n+1)\cdot n=n^2+n\]
个点，再把 \(h\) 自己加上，得到点的总数
\[v=n^2+n+1.\]
又因为前面已证 \(v=b\)，所以线的总数也是 \(b=n^2+n+1\)。♦
说明：本节原文 PDF 在命题 8.17 的证明处截断（仅到“each of these lines contains \(n\) points other than \(h\)”）。上面证明的后半段（关于“无重叠、无遗漏地划分剩余点”并求和为 \(n^2+n+1\)）是该命题在标准教科书中唯一的、由公理唯一确定的标准补全，与原书结论 \(n^2+n+1\) 完全一致。
例：用 \(n=2\) 核对费诺平面把刚证好的公式代回最小例子。
- 费诺平面每条线含 \(3\) 个点，故 \(n+1=3\)，即 \(n=2\)。
- 过任一点（比如点 \(1\)）的线有 \(n+1=3\) 条：\(\{1,2,4\},\{1,3,6\},\{1,5,7\}\)。
- 这 \(3\) 条线除 \(1\) 外各含 \(n=2\) 个点：\(\{2,4\},\{3,6\},\{5,7\}\)。它们互不重叠，且恰好把另外 \(6\) 个点全部覆盖：\(2,4,3,6,5,7\)。
- 点总数 \(=(n+1)\cdot n+1=3\cdot 2+1=7=n^2+n+1\)。线总数同样为 \(7\)。与图 8.1 完全吻合。
再算一个更大的：\(n=3\)设某射影平面每条线有 \(n+1=4\) 个点。则点数 \(=n^2+n+1=9+3+1=13\)，线数也是 \(13\)；每个点恰好在 \(4\) 条线上。这就是著名的 \(13\) 点 \(13\) 线射影平面（阶为 \(3\)）。公式让我们无需画图就能预言它的规模。
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