方程 \(c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k=N\)The equation c_1 x_1^k + ... + c_s x_s^k = N

第 5 段：Hua 不等式仍然成立（关键的均值估计）

原文译文：Hua 不等式（引理 3.2）对任何一个这样的和式依然成立，因为 \[\int_0^1 |T_j(\alpha)|^{2^k}\,d\alpha=\int_0^1\Big|\sum_{x=1}^{P_j} e(\alpha c_j x^k)\Big|^{2^k}d\alpha=\frac{1}{c_j}\int_0^{c_j}\Big|\sum_{x=1}^{P_j} e(\alpha x^k)\Big|^{2^k}d\alpha=\int_0^1\Big|\sum_{x=1}^{P_j} e(\alpha x^k)\Big|^{2^k}d\alpha\ll P_j^{2^k-k+\varepsilon}.\]

第 6 段：用 Hölder 不等式推广到乘积（式 7.2）

原文译文：这个不等式同样可经 Hölder 不等式推广到任意 \(2^k\) 个和式之积；我们得到 \[\int_0^1 |T_1(\alpha)\cdots T_{2^k}(\alpha)|\,d\alpha \ll (P_1\cdots P_{2^k})^{1-k/2^k+\varepsilon}. \tag{7.2}\]

第 7 段：主弧次弧的划分；引理 4.1（次弧贡献是误差）

原文译文：我们像之前一样定义主弧与次弧。引理 4.1 现在表明：若 \(s\ge 2^k+1\)，则 \(\int_{\mathfrak{m}} |T_1(\alpha)\cdots T_s(\alpha)|\,d\alpha \ll P^{s-k-\delta'}\)，其证明与之前相同，需用到 (7.2)。引理 4.2 保持不变，只是其中的 \(I(\beta)\) 要替换为 \(I_j(\beta)=\int_0^{P_j} e(\beta c_j \xi^k)\,d\xi\)。

\(\mathfrak{M}\)（主弧）

围绕小分母分数 \(a/q\) 的短区间之并，贡献主项。

\(\mathfrak{m}\)（次弧）

\([0,1]\) 去掉主弧后剩下的部分，贡献误差。手写体 \(\mathfrak{m}\) 读"m"。

\(P\)

\(P=N^{1/k}\)，是无系数版的"标准尺度"。所有 \(P_j\le P\)（因为 \(c_j\ge1\)），且 \(P_j\) 与 \(P\) 只差一个常数倍，量级相同。

\(\delta'\)

某个固定的小正数。指数 \(s-k-\delta'\) 比"主项量级 \(s-k\"\) 小了 \(\delta'\)，所以次弧确实更小。

第 8 段：把上限统一替换成 \(Pc_j^{-1/k}\) 以简化计算

原文译文：不过，若把上限替换为 \(Pc_j^{-1/k}\)（其中 \(P=N^{1/k}\)），后面的计算会稍微简化一些；二者之差可忽略不计。

第 9 段：引理 4.3 与定理 4.1；带系数的奇异级数（式 7.3）

原文译文：引理 4.3 与定理 4.1 的证明只需作出极轻微的改动即可适用于当前问题。一处差别在于：为把 \(I_j(\beta)\) 表示成 \(\int_0^1 e(\gamma\xi^k)\,d\xi\) 的形式而在其中作的变量替换，会产生一个因子 \(|c_j|^{-1/k}\)。另一处差别是：奇异级数现在具有稍微更一般的形式；它现在由下式给出 \[\mathfrak{S}(N)=\sum_{q=1}^{\infty}\sum_{\substack{a=1\\(a,q)=1}}^{q} q^{-s} S_{c_1a,q}\cdots S_{c_sa,q}\,e(-Na/q). \tag{7.3}\]

第 10 段：把 \(S_{a,q}\) 的估计推广到 \(S_{ca,q}\)（保证绝对收敛）

原文译文：为了利用引理 3.1 的推论（或当 \(s\ge 2k+1\) 时利用引理 6.4）来确立此级数在 \(s\ge 2^k+1\) 时的绝对收敛性，我们需要把对 \(S_{a,q}\)（当 \((a,q)=1\) 时）的估计加以推广，使之适用于 \(S_{ca,q}\)，其中 \(c\) 是任一固定的正整数。这很容易办到，因为若 \(ca/q=a'/q'\)，则 \(S_{ca,q}=\frac{q}{q'}S_{a',q'}\)，而 \(q/q'\) 作为 \(c\) 的因子是有界的。

第 11 段：定理 7.1（本章主结果）

原文译文（定理 7.1）：设 \(c_1,\ldots,c_s\) 为固定的正整数。则当 \(s\ge 2^k+1\) 时，把 \(N\) 表示为 \(N=c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k\ (x_1,\ldots,x_s>0)\) 的表示个数 \(r(N)\) 满足 \[ r(N)=\frac{C_{k,s}}{(c_1c_2\cdots c_s)^{1/k}}N^{s/k-1}\mathfrak{S}(N)+O(N^{s/k-1-\delta}) \tag{7.4}\] 其中 \(\delta>0\) 为某个固定常数，\(C_{k,s}\) 同定理 4.1 中所定义，而 \(\mathfrak{S}(N)\) 由 (7.3) 定义。该级数 (7.3) 在 \(s\ge 2k+1\) 时绝对收敛。

第 12 段：奇异级数与 \(M(p^\nu)\) 的关系（引理 5.1–5.3）

原文译文：关于奇异级数的因子分解、以及奇异级数与 \(M(p^\nu)\) 之间关系的引理 5.1、5.2、5.3 仍然适用。于是，为使 \(\mathfrak{S}(N)\) 具有一个与 \(N\) 无关的正下界，只需对每个 \(p\)，使同余式 \(c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k\equiv N\pmod{p^\nu}\) 的解数 \(M(p^\nu)\) 满足 \(M(p^\nu)\ge C_p\,p^{\nu(s-1)}\) 对一切足够大的 \(\nu\) 成立。

第 13 段：引理 5.4、5.5 — 把"解数多"化为"有一个非平凡解"（式 7.5）

原文译文：像之前一样定义 \(\gamma\)，并利用引理 5.4，我们如同在引理 5.5 中那样发现：上述条件的一个充分条件是同余式 \(c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k\equiv N\pmod{p^\nu}\) 有一解，其中 \(c_1x_1^k,\ldots,c_sx_s^k\) 不全被 \(p\) 整除。

\(\gamma\)

由 (5.11) 定义的一个临界指数（依赖 \(k\) 与 \(p\)），它是"看清同余结构所需的最小方幂层数"。原理是：一旦在模 \(p^\gamma\) 找到一个非平凡解，就能用"\(p\)-adic 提升 / Hensel 型引理 5.4"把它逐层抬到任意高的 \(p^\nu\)，而且抬升的方式多到产生足够多的解。后面定理 7.3 的证明里 \(\gamma=\tau+2\)（\(p=2\)）或 \(\gamma-1=\tau\) 等具体值就来自这里。

第 14 段：定理 7.2（同余条件 ⇒ 奇异级数有正下界）

原文译文（定理 7.2）：设 \(\gamma\) 由 (5.11) 定义。假设 \(s\ge 2k+1\)，并假设对每个^(脚注)素数 \(p\)，同余式 (7.5) 有一个解，其中 \(c_1x_1^k,\ldots,c_sx_s^k\) 不全被 \(p\) 整除。则对一切满足此假设的 \(N\)，我们有 \(\mathfrak{S}(N)\ge C(k,s)>0\)。

第 15 段：合并定理 7.1 与 7.2 — \(r(N)\to\infty\)（在算术级数上）

原文译文：由定理 7.1 与 7.2，若 \(s\ge 2^k+1\)，则当 \(N\to\infty\) 时 \(r(N)\to\infty\)，前提是把 \(N\) 限制为满足定理 7.2 中同余条件的那些数。由于该同余条件只在 \(p\le p_0\) 时才需要，而 \(\gamma\) 与 \(N\) 无关，因此满足该同余条件的数 \(N\) 将包括某些算术级数中的一切数。

第 16 段：引入"两两互素"假设

原文译文：如果我们作出"系数 \(c_1,\ldots,c_s\) 两两互素"这一假设，那么可以证明：只要 \(s\) 超过 \(k\) 的某个特定函数，则该同余条件对一切 \(N\) 都满足。我们证明（定理 7.3）……

第 17 段：定理 7.3（两两互素下的项数门槛）

原文译文（定理 7.3）：假设对 \(1\le i0\)。

第 18 段：定理 7.3 的证明（开头：化归到 \(p^\gamma\)）

原文译文：我们要证明：在所述条件下，同余式 (7.5) 有一个解，其中 \(c_1x_1^k,\ldots,c_sx_s^k\) 不全被 \(p\) 整除。由于 \(c_1,\ldots,c_s\) 中至多有一个能被 \(p\) 整除，因此只要解出 \(c_1x_1^k+\cdots+c_sx_s^k\equiv N\pmod{p^\gamma}\)（式 7.6）就足够了，其中 \(x_1,\ldots,x_{s-1}\) 不全被 \(p\) 整除，且假定 \(c_1,\ldots,c_{s-1}\) 中没有一个能被 \(p\) 整除。

第 19 段：证明（情形 \(p>2\)，奇素数）

原文译文：设 \(p>2\)。我们在引理 5.6 的证明中已看到：当 \(z\not\equiv 0\pmod p\) 时，模 \(p^\gamma\) 下由 \(z^k\) 所取的值的个数是 \((p-1)/\delta\)，其中 \(\delta=(k_0,p-1)\)。因此模 \(p^\gamma\) 下 \(k\) 次幂剩余与非剩余的不同类的个数为 \(\dfrac{\phi(p^\gamma)}{(p-1)/\delta}=\dfrac{p^{\gamma-1}(p-1)\delta}{p-1}=p^{\gamma-1}\delta\)。（这些类是在全体互素剩余类构成的群中、由 \(k\) 次幂所构成的子群的陪集。）

\(k_0,\ \tau\)

把 \(k\) 写成 \(k=p^\tau k_0\)，其中 \(p\nmid k_0\)（\(k_0\) 是 \(k\) 去掉所有 \(p\) 因子后的部分，\(\tau\) 是 \(k\) 含 \(p\) 的次数）。对奇素数情形下面会用到 \(\gamma-1=\tau\)。

\(\delta=(k_0,p-1)\)

\(k_0\) 与 \(p-1\) 的最大公约数。它度量"\(k\) 次幂映射 \(z\mapsto z^k\) 在互素剩余群里把多少个元素压成同一个像"。

第 19 段（续）：抽屉原理 + 化归到 Waring 同余

原文译文：若我们按照系数 \(c_1,\ldots,c_{s-1}\) 所属的 \(k\) 次幂剩余或非剩余之类，把它们分入若干集合，则将有某一类至少包含 \((s-1)/p^{\gamma-1}\delta\) 个系数。设 \(t\) 为不小于 \((s-1)/p^{\gamma-1}\delta\) 的最小整数。我们可以把这些考虑中的系数取为前 \(t\) 个系数，于是 \(c_2\equiv d_2^k c_1,\ldots,c_t\equiv d_t^k c_1\pmod{p^\gamma}\)，其中 \(d_i\) 不被 \(p\) 整除。令变量 \(x_{t+1},\ldots\) 等于 0，并约去 \(c_1\)，我们看到只需解出 \(x_1^k+(d_2x_2)^k+\cdots+(d_tx_t)^k\equiv N'\pmod{p^\gamma}\)，其中诸变量不全被 \(p\) 整除。这实际上与引理 5.6 中关于 Waring 问题所考虑的同余式相同。我们在那里证明了：只要 \(t\ge 2k\)，该结论便成立。因此只需 \(\dfrac{s-1}{p^{\gamma-1}\delta}>2k-1\)。由于 \(\gamma-1=\tau\) 且 \(p^\tau\delta\le p^\tau k_0=k\)，故只需 \(s-1>k(2k-1)\)。

第 20 段：证明（情形 \(p=2\)）

原文译文：设 \(p=2\)。首先，若 \(\tau=0\)（即 \(k\) 为奇数），则只要 \(N\) 为奇数，同余式 (7.6) 即可解，因为即使它只有一项，\(x^k\) 也取遍模 \(p^\gamma\) 的一切值。因此当 \(N\) 为奇或偶时，只要两项便可解，故只需 \(s-1\ge2\)。于是当 \(k\) 为奇数时定理结论成立。现设 \(\tau\ge1\)，故 \(k\) 为偶数。由于每个系数 \(c_i\)（\(i\le s-1\)）都是奇数，它对模 \(2^\gamma\) 可取 \(2^{\gamma-1}\) 个可能值。因此存在某个由 \(t\) 个相互同余的系数构成的集合，其中 \(t\ge(s-1)/2^{\gamma-1}\)。令对应于其余系数的变量等于 0，我们看到只需解出 \(x_1^k+\cdots+x_t^k\equiv N'\pmod{2^\gamma}\)，其中诸变量不全为偶数。如同在引理 5.6 的证明中那样，只要 \(t\ge4k\) 即可。因此只需 \(\dfrac{s-1}{2^{\gamma-1}}>4k-1\)。由于 \(k\ge2^\tau\) 且 \(\gamma=\tau+2\)，我们有 \(2^{\gamma-1}\le2k\)。因此只需 \(s-1>2k(4k-1)\)。这就在 \(k\) 为偶数的情形证明了定理 7.3。

第 21 段：结论与展望（\(s_1(k)\) 与门槛非最优）

原文译文：由定理 7.1 与 7.3 可知：我们能够指定一个数 \(s_1(k)\)，使得当 \(s\ge s_1(k)\) 时，当 \(N\to\infty\) 时 \(r(N)\to\infty\)；这始终以系数 \(c_j\) 两两互素为前提。定理 7.3 中给出的数绝非最优；我们只不过给出了从证明中所用简单论证路线中自然出现的那些数。原则上，可以放宽系数两两互素这一条件；对于上述结论之成立而言，真正本质的是：对任一素数 \(p\)，都有一定数量的系数不被 \(p\) 整除。

脚注

原文脚注：当然，只需对 \(p\le p_0(k,s)\) 假设此条件即可；参见引理 5.2 的推论。

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