三次型：劣弧与优弧Cubic forms: minor arcs and major arcs

证明思路总览：劣弧太大，不能一口吃下。技巧是把它切成一层层的"壳"——像洋葱：从最外层 \(\xi(\theta_h)\) 一层层剥到 \(\xi(\theta_0)\)。每一层壳 \(\xi(\theta_g)-\xi(\theta_{g-1})\) 上，我们能同时控制两件事：(i) 这层壳里 \(\alpha\) 不在 \(\xi(\theta_{g-1})\) 中，故备选 A 以 \(\theta=\theta_{g-1}\) 成立，给出 \(|S|\) 的上界；(ii) 这层壳的"长度（测度）"不超过 \(\xi(\theta_g)\) 的测度，可算。两者一乘就是这层的积分贡献。把所有层加起来即得。

把"显然"补全为完整步骤：

1. 选一串递增的参数 \(\theta_0<\theta_1<\cdots<\theta_h=\tfrac34+\delta\)。最小的 \(\theta_0\) 是优弧的分界，最大的 \(\theta_h=\tfrac34+\delta\) 是一个"足够大、能装下所有 \(\alpha\)"的值。中间插多少个、插多密，待会儿按需要定（这是后面"选得足够接近"的伏笔）。
2. 验证最外层 \(\xi(\theta_h)\) 装得下每个实数 \(\alpha\)。用狄利克雷逼近定理（见 0.5）取 \(Q=P^{3/2}\)：对任意 \(\alpha\)，存在 \(1\le q\le P^{3/2}\) 与整数 \(a\) 使 \(|q\alpha-a|\le 1/Q=P^{-3/2}\)。
3. 核对这恰好就是 \(\xi(\tfrac34+\delta)\) 的条件。把 \(\theta=\tfrac34+\delta\) 代入 (15.2)：要求 \(q\ll P^{2\theta}=P^{3/2+2\delta}\)，而我们有 \(q\le P^{3/2}\)，满足（\(P^{3/2}\le P^{3/2+2\delta}\)）；要求 \(|q\alpha-a|\ll P^{-3+2\theta}=P^{-3/2+2\delta}\)，而我们有 \(|q\alpha-a|\le P^{-3/2}\le P^{-3/2+2\delta}\)，也满足。故 \(\alpha\in\xi(\tfrac34+\delta)=\xi(\theta_h)\)。结论：\(\xi(\theta_h)=\)（几乎）整条 \((0,1)\)，每个 \(\alpha\) 都在里面。
4. 把劣弧写成壳的并。劣弧 \(\mathfrak m=(0,1)\setminus\xi(\theta_0)\)。因为 \(\xi(\theta_0)\subseteq\xi(\theta_1)\subseteq\cdots\subseteq\xi(\theta_h)=(0,1)\)（单调嵌套，见 \(\xi(\theta)\) 的符号框），整段 \((0,1)\) 去掉最里层 \(\xi(\theta_0)\)，剩下的可一层层拆： \[ \mathfrak m=\bigl(\xi(\theta_h)-\xi(\theta_{h-1})\bigr)\cup\cdots\cup\bigl(\xi(\theta_1)-\xi(\theta_0)\bigr). \] 这里 \(X-Y\) 是集合差"在 \(X\) 里但不在 \(Y\) 里"（高中集合论的 \(X\setminus Y\)）。相邻两层的差恰好两两不重叠，拼起来就是整个劣弧。

这是全证明的心脏。我们把每一步、每个量级都算清楚。

1. 这层壳上 \(|S|\) 的上界。壳 \(\xi(\theta_g)-\xi(\theta_{g-1})\) 里的点都不在 \(\xi(\theta_{g-1})\) 中，即对 \(\theta=\theta_{g-1}\) 备选 B 失败，于是备选 A（即 (15.1)）必成立： \[ |S(\alpha)|\ll P^{\,n-\frac14n\theta_{g-1}+\varepsilon}\qquad(\alpha\in\xi(\theta_g)-\xi(\theta_{g-1})). \] 这里用 \(\theta_{g-1}\)（不是 \(\theta_g\)）是关键——因为"不在 \(\xi(\theta_{g-1})\)"才是我们手里的信息。
2. 这层壳的测度上界。壳 \(\subseteq\xi(\theta_g)\)，故其测度 \(\le\) \(\xi(\theta_g)\) 的测度。而 \(\xi(\theta_g)\) 是一堆围着 \(a/q\)（\(q\le P^{2\theta_g}\)、\((a,q)=1\)）的小区间的并，每个区间长度为 \(2\cdot\tfrac1q P^{-3+2\theta_g}\ll \tfrac1q P^{-3+2\theta_g}\)（由 (15.2) 第三式除以 \(q\) 得来，见第 1 节）。把它们全加起来： \[ \text{测度}\ \ll\ \sum_{q\le P^{2\theta_g}}\ \sum_{\substack{a=1\\(a,q)=1}}^{q} \frac1q\,P^{-3+2\theta_g}. \]
3. 先对 \(a\) 求和。固定 \(q\)，里层求和项 \(\tfrac1q P^{-3+2\theta_g}\) 与 \(a\) 无关，\(a\) 取 \(1\) 到 \(q\) 中与 \(q\) 互素者，个数 \(\le q\)（满打满算 \(q\) 个）。所以 \[ \sum_{\substack{a=1\\(a,q)=1}}^{q}\frac1q P^{-3+2\theta_g}\ \le\ q\cdot\frac1q P^{-3+2\theta_g}=P^{-3+2\theta_g}. \] （\(q\) 与 \(1/q\) 恰好抵消——这是分母 \(q\) 起的"归一化"作用。）
4. 再对 \(q\) 求和。上式与 \(q\) 无关，\(q\) 从 \(1\) 取到 \(\le P^{2\theta_g}\)，共 \(\ll P^{2\theta_g}\) 个值： \[ \text{测度}\ \ll\ \sum_{q\le P^{2\theta_g}}P^{-3+2\theta_g}\ \ll\ P^{2\theta_g}\cdot P^{-3+2\theta_g}=P^{-3+4\theta_g}. \] 这正是译文里那个 \(\ll P^{-3+4\theta_g}\)。
5. 上界 × 测度 = 这层壳的积分贡献。 \[ \int_{\xi(\theta_g)-\xi(\theta_{g-1})}|S(\alpha)|\,d\alpha\ \ll\ \underbrace{P^{\,n-\frac14n\theta_{g-1}+\varepsilon}}_{|S|\text{ 上界}}\times\underbrace{P^{-3+4\theta_g}}_{\text{测度}}=P^{\,n-\frac14n\theta_{g-1}-3+4\theta_g+\varepsilon}. \]
6. 要它 \(\ll P^{n-3-\delta}\)，比较指数。需要 \[ n-\tfrac14n\theta_{g-1}-3+4\theta_g+\varepsilon\ \le\ n-3-\delta. \] 两边消去 \(n-3\)，移项得 \(\tfrac14n\theta_{g-1}\ge 4\theta_g+\varepsilon+\delta\)，即 \[ \theta_{g-1}\ \ge\ \frac{16}{n}\,\theta_g+\frac{4}{n}(\delta+\varepsilon). \]
7. 用上 \(n\ge17\)。当 \(n\ge17\) 时 \(\tfrac{16}{n}\le\tfrac{16}{17}<1\) 且 \(\tfrac4n\le\tfrac4{17}\)，所以只要更强的 \[ \theta_{g-1}\ >\ \frac{16}{17}\,\theta_g+\frac{4}{17}(\delta+\varepsilon) \] 成立，上一行就自动成立。这正是译文给的条件。注意 \(16/17<1\) 是命门：系数严格小于 1，才可能让较小的 \(\theta_{g-1}\) 压住较大的 \(\theta_g\)。若 \(n\le16\)，系数 \(\ge1\)，这条路就走不通——这就是"\(n\ge17\)"的精确来历。
8. 为什么"取得足够接近"就能办到。把上一条不等式改写成 \(\theta_g-\theta_{g-1}<\tfrac1{17}\theta_g-\tfrac4{17}(\delta+\varepsilon)\)。只要 \(\theta_g\) 有正的下界（它 \(\ge\theta_0>0\)），且 \(\delta,\varepsilon\) 取得足够小，使右边 \(\tfrac1{17}\theta_g-\tfrac4{17}(\delta+\varepsilon)>0\)，那么把相邻的 \(\theta_{g-1},\theta_g\) 之间的间距取得比这个正数还小，不等式就成立。区间 \([\theta_0,\tfrac34+\delta]\) 长度有限，要插入足够密的有限多个分点 \(\theta_1,\dots,\theta_{h-1}\) 当然办得到。层数 \(h\) 是一个有限常数，与 \(P\) 无关。

1. 把各层加起来。每一层壳的贡献都 \(\ll P^{n-3-\delta}\)，层数 \(h\) 是有限常数，故 \[ \int_{\mathfrak m}|S(\alpha)|\,d\alpha=\sum_{g=1}^{h}\int_{\xi(\theta_g)-\xi(\theta_{g-1})}|S|\,d\alpha\ \ll\ h\cdot P^{n-3-\delta}\ \ll\ P^{\,n-3-\delta}. \] （有限个 \(\ll P^{n-3-\delta}\) 相加，常数倍仍是 \(\ll P^{n-3-\delta}\)。）引理 15.1 证毕。∎

第 3 节　转向优弧：放大区间与两个新对象 \(S_{a,q},\,I(\beta)\)

逐项核对换元后的式子。把 \(\theta=\theta_0\) 代入 (15.2)，再用 \(\Delta=2\theta_0\)：

• 分母条件 \(q\ll P^{2\theta_0}=P^{\Delta}\)。✓
• 逼近条件 \(|q\alpha-a|\ll P^{-3+2\theta_0}=P^{-3+\Delta}\)；这里把 \(\ll\) 写成 \(\le\)（吸收常数，约定优弧就这样定义）。✓

于是优弧 \(\mathfrak M_{a,q}\) 是中心 \(a/q\)、半宽 \(\tfrac1q P^{-3+\Delta}\) 的区间（把 \(|q\alpha-a|\le P^{-3+\Delta}\) 除以 \(q\)）。注意此时区间宽度还依赖 \(q\)（带着 \(1/q\)）——这给后面的计算添麻烦，所以下一段要"放大"它。

这一步做了什么、为什么能做：

1. 动作：原来的优弧条件是 \(|q\alpha-a|\le P^{-3+\Delta}\)，即 \(|\alpha-a/q|\le \tfrac1q P^{-3+\Delta}\)（宽度含 \(1/q\)）。新条件 (15.3) 直接写 \(|\alpha-a/q|\le P^{-3+\Delta}\)（去掉了 \(1/q\)）。因为 \(q\ge1\)，新区间比旧区间更宽（宽了 \(q\) 倍），即 \(\mathfrak M_{a,q}\subseteq\mathfrak M_{a,q}'\)。这就是"放大"。区间记号加一撇 \('\) 表示"放大版"。
2. 为什么允许（合法性）：放大后多出来的那部分 \(\mathfrak M_{a,q}'\setminus\mathfrak M_{a,q}\) 原本属于劣弧 \(\mathfrak m\)。而引理 15.1 已经证明整个劣弧上 \(\int|S|\) 都 \(\ll P^{n-3-\delta}\)。把其中一小块从劣弧"借"到优弧来算，对优弧主项的影响也被同一个 \(P^{n-3-\delta}\) 误差控制住，不会破坏最终结论。所以"显然允许"。
3. 需要确认不重叠：放大后各 \(\mathfrak M_{a,q}'\) 仍互不相交（否则会重复计数）。这由 \(\Delta\) 足够小保证：两个不同最简分数 \(a/q\neq a'/q'\)（\(q,q'\ll P^{\Delta}\)）之间的距离 \(\ge\tfrac1{qq'}\gg P^{-2\Delta}\)，远大于区间半宽 \(P^{-3+\Delta}\)（因为 \(P^{-2\Delta}\gg P^{-3+\Delta}\)，即 \(-2\Delta>-3+\Delta\)，即 \(\Delta<1\)，对小 \(\Delta\) 成立）。所以放大后区间仍彼此分离。

为什么要让区间长度与 \(q\) 无关（取舍解释）：

• 后面引理 15.4 要把优弧上的积分 \(\int_{\mathfrak M'}S\,d\alpha\) 拆成"对 \(a,q\) 求和"乘"对位置积分"两个独立部分。如果每个区间的积分上下限还含着 \(q\)（宽度 \(\propto 1/q\)），那"积分"部分就甩不掉 \(q\)，没法和"求和"部分干净地分家。把区间宽度统一成与 \(q\) 无关，求和与积分就能彻底分离——这正是 \(\mathfrak S\)（奇异级数，只含 \(a,q\) 的和）与 \(J\)（奇异积分，只含位置的积分）能在引理 15.4 里"提前、利落地"分开的原因。
• 为什么"只有 \(q\) 被小幂界定时才能这样做"：放大多出的部分必须能被劣弧误差兜住。若允许 \(q\) 大到 \(P\) 的较大幂，放大区间会太宽、相互重叠、且多出的面积会超过劣弧能承受的 \(P^{-3-\delta}\) 量级，论证就崩了。正因为这里 \(q\ll P^{\Delta}\)（\(\Delta\) 是小幂），放大才安全。这是一个用"分母小"换"结构简化"的权衡。

这两个新对象是把 \(S(\alpha)\) 在优弧上"近似分解"出来的两块零件，下一节引理 15.2 会证明它们确实拼出 \(S(\alpha)\)。先讲清它们各自是什么、为什么这样定义。

\(\displaystyle S_{a,q}=\sum_{\mathbf z\,(\mathrm{mod}\,q)}e\!\left(\frac aq C(\mathbf z)\right)\)

完整指数和（complete exponential sum）。它只是把 \(S(\alpha)\) 在 \(\alpha=a/q\) 处、但求和范围缩到"一个周期" \(\mathbf z\ (\mathrm{mod}\ q)\) 的版本——一个有限的和（\(q^n\) 项），完全由 \(a,q\) 和三次型 \(C\) 决定，与 \(P\) 无关。它刻画的是"在模 \(q\) 意义下，方程 \(C\equiv0\) 的解结构"，即算术信息。它将组装成奇异级数 \(\mathfrak S\)。为什么这样定义合理？因为 \(C(\mathbf x)\) 模 \(q\) 只依赖 \(\mathbf x\) 模 \(q\)（三次型系数是整数），所以 \(e(\tfrac aq C(\mathbf x))\) 在 \(\mathbf x\) 跑遍一个完整周期时的"平均行为"就由这 \(q^n\) 项捕捉。

\(\displaystyle I(\beta)=\int_{P\mathfrak B}e\bigl(\beta C(\boldsymbol\xi)\bigr)\,d\boldsymbol\xi\)

积分型生成函数（连续版的 \(S\)）。把 \(S(\alpha)=\sum_{\mathbf x\in P\mathfrak B}e(\alpha C(\mathbf x))\) 里的"对整点求和"换成"对盒子里连续点积分"，并把 \(\alpha\) 记作 \(\beta\)。它刻画的是"实数层面、几何层面"上 \(C\approx0\) 的体积，即分析信息，将组装成奇异积分 \(J\)。\(\boldsymbol\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)\) 是连续变量，\(d\boldsymbol\xi=d\xi_1\cdots d\xi_n\) 是 \(n\) 重积分。\(\beta\) 是 \(\alpha\) 相对中心 \(a/q\) 的小偏移量（下一节 \(\alpha=\beta+a/q\)）。

第 4 节　引理 15.2：把 \(S(\alpha)\) 在优弧上分解

这条引理在说什么：在每个优弧小区间上，复杂的指数和 \(S(\alpha)\) 可以被一个干净的乘积 \(q^{-n}S_{a,q}I(\beta)\) 逼近，误差只有 \(O(P^{n-1+2\Delta})\)——比主项（量级会到 \(P^{n}\) 左右）低了将近一整个幂次，可控。下面把证明每步补全。

核心思想：把求和按"模 \(q\) 的余数类"分组，组内的相位 \(\tfrac aq C\) 部分是常数（同余！），只剩 \(\beta C\) 这一慢变部分；而慢变部分的"求和"约等于"积分"，差就是我们要控制的误差。先做主项的恒等变形（译文跳过了，这里完整补上），再估误差。

4.1　主项怎么来的（译文省略，补全）

1. 把每个整点 \(\mathbf x\) 按余数拆分：令 \(\mathbf x=q\mathbf y+\mathbf z\)，其中 \(\mathbf z\) 是余数（\(0\le z_j
2. 拆开相位 \(\alpha=\beta+a/q\)： \[ e\bigl(\alpha C(q\mathbf y+\mathbf z)\bigr)=e\!\left(\tfrac aq C(q\mathbf y+\mathbf z)\right)\,e\bigl(\beta C(q\mathbf y+\mathbf z)\bigr). \] （用了 \(e(u+v)=e(u)e(v)\)，即指数相加。）
3. 第一个因子里用同余化简。因为 \(C\) 是整系数三次型，把 \(q\mathbf y+\mathbf z\) 代入展开，凡含 \(\mathbf y\) 的项都带因子 \(q\)（甚至 \(q^2,q^3\)），所以 \[ C(q\mathbf y+\mathbf z)\equiv C(\mathbf z)\pmod q. \] 于是 \(\tfrac aq C(q\mathbf y+\mathbf z)\) 与 \(\tfrac aq C(\mathbf z)\) 相差一个整数，而 \(e(\text{整数})=1\)（性质 0.1.3），故 \[ e\!\left(\tfrac aq C(q\mathbf y+\mathbf z)\right)=e\!\left(\tfrac aq C(\mathbf z)\right). \] 关键点：这个因子只依赖 \(\mathbf z\)，与求和变量 \(\mathbf y\) 无关，可以提到 \(\mathbf y\)-求和号外面。
4. 提出常数因子： \[ S(\alpha)=\sum_{\mathbf z\,(\mathrm{mod}\,q)}e\!\left(\tfrac aq C(\mathbf z)\right)\underbrace{\sum_{\mathbf y}e\bigl(\beta C(q\mathbf y+\mathbf z)\bigr)}_{\text{对 }\mathbf y\text{ 的慢变和}} . \]
5. 慢变和 \(\approx\) 积分。把对 \(\mathbf y\) 的求和近似成对连续变量 \(\boldsymbol\eta\) 的积分（误差留到 4.2 估）： \[ \sum_{\mathbf y}e\bigl(\beta C(q\mathbf y+\mathbf z)\bigr)\approx\int e\bigl(\beta C(q\boldsymbol\eta+\mathbf z)\bigr)\,d\boldsymbol\eta . \] 对这个积分作换元 \(\boldsymbol\xi=q\boldsymbol\eta+\mathbf z\)，则 \(d\boldsymbol\xi=q^n\,d\boldsymbol\eta\)（\(n\) 维，每个坐标缩放 \(q\) 倍，体积元放大 \(q^n\) 倍），积分区域变回原大盒子 \(P\mathfrak B\)： \[ \int e\bigl(\beta C(q\boldsymbol\eta+\mathbf z)\bigr)\,d\boldsymbol\eta=q^{-n}\int_{P\mathfrak B}e\bigl(\beta C(\boldsymbol\xi)\bigr)\,d\boldsymbol\xi=q^{-n}I(\beta). \] 这个结果与 \(\mathbf z\) 无关（换元后约束都化成同一个盒子）。
6. 合成主项。把它放回去，\(\mathbf z\)-求和只作用在第一个因子上，正好是 \(S_{a,q}\)： \[ S(\alpha)\approx\Bigl(\sum_{\mathbf z\,(\mathrm{mod}\,q)}e\!\left(\tfrac aq C(\mathbf z)\right)\Bigr)\cdot q^{-n}I(\beta)=q^{-n}S_{a,q}\,I(\beta). \] 主项的来历就此说清：\(q^{-n}\) 来自换元的体积因子，\(S_{a,q}\) 来自同余化简后的 \(\mathbf z\)-求和，\(I(\beta)\) 来自慢变和化成的积分。

4.2　误差到底有多大（逐步估计）

"用积分代替求和"会差多少？这是把连续积分离散成格点和的标准误差分析。我们要的是单个余数类 \(\mathbf z\) 上"\(\sum_{\mathbf y}-\int d\boldsymbol\eta\)"的大小。

求和与积分之差的一般原理：把光滑函数 \(f\) 在一个边长 \(L\) 的 \(n\) 维盒子里"按整点求和"对比"积分"，误差由两部分构成——(边界效应)：盒子表面附近多算/少算的格子，量级 ≈（表面积）×（\(f\) 的最大值）≈ \(L^{n-1}\cdot\max|f|\)；(内部波动)：每个单位格子内 \(f\) 不是常数带来的偏差，量级 ≈（体积）×（\(f\) 在一格内的最大变化）≈ \(L^n\cdot(\text{每格变化})\)。下面逐项代入。

1. 盒子尺寸。约束 \(0
2. 边界效应项。被积函数 \(f=e(\beta C(q\boldsymbol\eta+\mathbf z))\) 模长恒为 1，故 \(\max|f|=1\)。边界效应 \(\ll L^{n-1}\cdot1=(P/q)^{n-1}\)。这正是译文的"允许误差 \((P/q)^{n-1}\)"。
3. 每格内的变化有多大——算偏导。对 \(\eta_j\) 求偏导： \[ \frac{\partial}{\partial\eta_j}\Bigl[\beta\,C(q\boldsymbol\eta+\mathbf z)\Bigr]=\beta\cdot q\cdot\frac{\partial C}{\partial x_j}(q\boldsymbol\eta+\mathbf z). \] （链式法则：外层 \(\beta C\)，内层 \(x_j=q\eta_j+z_j\) 对 \(\eta_j\) 的导数是 \(q\)。）因为 \(C\) 是三次型，\(\partial C/\partial x_j\) 是二次多项式；其自变量 \(q\boldsymbol\eta+\mathbf z\) 在大盒子里量级 \(\ll P\)，故 \(|\partial C/\partial x_j|\ll P^2\)。于是 \[ \left|\frac{\partial}{\partial\eta_j}\beta C(q\boldsymbol\eta+\mathbf z)\right|\ll|\beta|\,q\,P^2. \]
4. 代入 \(|\beta|\) 的界。优弧上 \(|\beta|\le P^{-3+\Delta}\)，所以 \[ |\beta|\,q\,P^2\ \ll\ P^{-3+\Delta}\cdot q\cdot P^2=q\,P^{-1+\Delta}. \] 这就是译文的 \(\ll qP^{-1+\Delta}\)。它表示：被积函数 \(f\) 的"相位"在每移动一格（\(\eta_j\) 变 1）时改变 \(\ll qP^{-1+\Delta}\)，所以 \(f\) 本身在一格内的变化也 \(\ll qP^{-1+\Delta}\)（因为 \(|e(u)-e(v)|\le 2\pi|u-v|\)）。
5. 内部波动项。=（每格变化）×（积分区域体积 \(\ll L^n=(P/q)^n\)）： \[ qP^{-1+\Delta}\cdot(P/q)^n=qP^{-1+\Delta}\cdot P^n q^{-n}=P^{\,n-1+\Delta}q^{1-n}. \]

1. 合并单类误差。把两项加起来： \[ (P/q)^{n-1}+P^{n-1+\Delta}q^{1-n}=P^{n-1}q^{1-n}+P^{n-1+\Delta}q^{1-n}\ll P^{\,n-1+\Delta}q^{1-n}. \] （第一项 \((P/q)^{n-1}=P^{n-1}q^{-(n-1)}=P^{n-1}q^{1-n}\)，比第二项少了因子 \(P^{\Delta}\ge1\)，所以被第二项吸收。）这就是单个余数类 \(\mathbf z\) 上的求和-积分误差。
2. （对照 \(n=1\)）代 \(n=1\)：\(P^{\,0+\Delta}q^{0}=P^{\Delta}\)，正是一维情形（引理 4.2）里那个误差 \(P^{\delta}\) 的类比。这句话只是帮你和前面学过的一维华林问题对上号。
3. 对所有余数类求和。主项 4.1 里我们把误差留到了每个 \(\mathbf z\)；现在 \(\mathbf z\) 共 \(q^n\) 个类，每类误差 \(\ll P^{n-1+\Delta}q^{1-n}\)，所以总误差 \[ \ll q^n\cdot P^{\,n-1+\Delta}q^{1-n}=P^{\,n-1+\Delta}\cdot q^{\,n+1-n}=P^{\,n-1+\Delta}\,q. \]
4. 代入 \(q\ll P^{\Delta}\)。优弧上 \(q\ll P^{\Delta}\)，故 \[ P^{\,n-1+\Delta}q\ \ll\ P^{\,n-1+\Delta}\cdot P^{\Delta}=P^{\,n-1+2\Delta}. \] 这正是引理 15.2 误差项 \(O(P^{n-1+2\Delta})\) 的来历。∎

第 5 节　引理 15.3：完整指数和 \(S_{a,q}\) 的上界

这条引理为什么重要：第 6 节（引理 15.4）要把奇异级数 \(\mathfrak S(P^{\Delta})=\sum_{q}\sum_{a}q^{-n}S_{a,q}\) 加起来并证它收敛。要让这个和收敛、误差可控，就必须知道每一项 \(q^{-n}S_{a,q}\) 不会太大。引理 15.3 给出 \(|S_{a,q}|\ll q^{\frac78n+\varepsilon}\)，于是 \(|q^{-n}S_{a,q}|\ll q^{-n+\frac78n+\varepsilon}=q^{-\frac18 n+\varepsilon}\)——当 \(n\) 大时这随 \(q\) 衰减得够快，奇异级数才收敛。它是奇异级数能成立的"地基"。