Tao–Vu · 加性组合学 · 第 3 章 加性几何

3.1　加性群Additive groups

本页为译文 + 讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 定义 / 例 / 分步推演）与配图为面向高中生的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。

本节目标本书研究“能不能相加、相加之后会变成什么样”的集合。最规整的一类，就是对加法完全封闭的集合——加性群。本节把加性群的基本词汇搭好：哪些常见对象是加性群、什么叫一个元素的阶（torsion，挠）、什么叫两个群之间“保持加法”的映射（同态 / 同构），以及怎样用商群把一个大群“折叠”成一个小群。这些概念是后面研究等差数列、Bohr 集、凸体与格的范本。

我们先回顾加性群（additive group）的理论——它已在定义 0.1 中引入——特别要得到有限生成加性群的分类定理（推论 3.9）。这是加性群理论中的一条基本结果，但它同时也将启发我们去研究其他“带加法结构”的集合，例如等差数列（progressions）、Bohr 集，以及凸集与格的交。

加性群的典型例子包括：整数 \(\mathbb{Z}\)、实数 \(\mathbb{R}\)、格 \(\mathbb{Z}^d\)、欧氏空间 \(\mathbb{R}^d\)、环面群（torus groups）\(\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d\)，以及循环群（cyclic groups）\(\mathbb{Z}_N:=\mathbb{Z}/N\cdot\mathbb{Z}\)。注意两个加性群的直和（direct sum）\(Z\oplus Z'\) 仍然是一个加性群。下面我们要在挠群（torsion groups）与无挠群（torsion-free groups）之间作一个重要的区分。

先认门：什么是“加性群”一个加性群，就是一个带有加法 \(+\)、负号 \(-\) 和零元 \(0\) 的集合 \(Z\)，并满足：任意两个元素相加仍在 \(Z\) 里（封闭），加法可交换、可结合，\(x+0=x\)，每个 \(x\) 都有相反元 \(-x\) 使 \(x+(-x)=0\)。 注意这里的 \(Z\)（普通字母）指任意一个加性群，而 \(\mathbb{Z}\)（空心字母）专指整数集——两者不要混淆。
整数 ℤ（一条线） -1 0 2 格 ℤ²（网格点） 循环群 ℤ₁₂（钟） 0369 实数 ℝ / 欧氏空间 ℝᵈ：连续，处处都是点 ℝ 是“连成一片”的；ℤ 只是其中等距的孤立点
四类典型加性群：整数线 \(\mathbb{Z}\)、二维格 \(\mathbb{Z}^2\)、循环群 \(\mathbb{Z}_{12}\)（钟点）、连续的 \(\mathbb{R}\)。它们的共同点是：群里任意两元素相加，结果仍在群里。

挠（torsion）

定义 3.1（挠 / Torsion）设 \(Z\) 是一个加性群，\(x\in Z\)。我们令 \(\operatorname{ord}(x)\)（\(x\) 的阶）为满足 \[ n\cdot x = 0 \] 的最小整数 \(n\ge 1\)；若不存在这样的整数，则令 \(\operatorname{ord}(x)=+\infty\)。 若对所有 \(x\in Z\)，\(\operatorname{ord}(x)\) 都是有限的，则称 \(Z\) 为挠群（torsion group）；若对某个 \(r\ge 1\)，所有 \(x\in Z\) 的 \(\operatorname{ord}(x)\) 都整除 \(r\)，则称 \(Z\) 为 \(r\)-挠群（\(r\)-torsion group）。若对所有 \(x\in Z\) 都有 \(\operatorname{ord}(x)=+\infty\)，则称 \(Z\) 为无挠群（torsion-free）。

这里 \(n\cdot x\) 表示把 \(x\) 自己加 \(n\) 次：\(n\cdot x = \underbrace{x+x+\dots+x}_{n\ \text{个}}\)。所以 \(\operatorname{ord}(x)\) 问的是：“把 \(x\) 不停地往上加，加几次才第一次回到 \(0\)？”

例：在钟面 \(\mathbb{Z}_{12}\) 上算阶 取 \(x=3\)（即“走 3 个钟点”）。一直累加：
  1. \(1\cdot 3 = 3\)（不是 0）
  2. \(2\cdot 3 = 6\)（不是 0）
  3. \(3\cdot 3 = 9\)（不是 0）
  4. \(4\cdot 3 = 12 = 0\)（在 \(\mathbb{Z}_{12}\) 里 12 就是 0，回到了起点！）
所以 \(\operatorname{ord}(3)=4\)。一般地在 \(\mathbb{Z}_N\) 中 \(\operatorname{ord}(x)=\dfrac{N}{\gcd(N,x)}\)；这里 \(\dfrac{12}{\gcd(12,3)}=\dfrac{12}{3}=4\)，吻合。每个元素阶都有限，所以 \(\mathbb{Z}_{12}\) 是挠群。又因为每个元素的阶都整除 \(12\)，它还是个 \(12\)-挠群。
例：在 \(\mathbb{Z}\) 上算阶 取 \(x=3\in\mathbb{Z}\)。累加得 \(3,6,9,12,\dots\)，永远是正数，永远回不到 \(0\)（只有 \(x=0\) 本身才有 \(\operatorname{ord}(0)=1\)，但定义里挠群要求“所有非零元素也都有限阶”，而对无挠的判定看的是是否所有 \(x\) 都满足 \(n\cdot x=0\) 有解）。因此对任意非零整数 \(x\)，\(\operatorname{ord}(x)=+\infty\)。整数 \(\mathbb{Z}\) 是无挠群。
0369 (12=0) 每步 +3，走 4 步回到 0 ⇒ ord(3)=4 0 3 6 9 在 ℤ 上 +3 一去不回 ord(3)=+∞（无挠）
对比同一个 \(x=3\)：在循环群 \(\mathbb{Z}_{12}\) 里累加会“绕回 \(0\)”，阶有限；在整数 \(\mathbb{Z}\) 里累加越走越远，永不回头，阶无穷。这正是挠与无挠的差别。
例 3.2群 \(\mathbb{Z},\ \mathbb{R},\ \mathbb{Z}^d,\ \mathbb{R}^d\) 都是无挠群；而任何有限群（例如 \(\mathbb{Z}_N\)）都是挠群。
为什么有限群一定是挠群？ 设 \(Z\) 有限，元素个数为 \(m\)。任取 \(x\in Z\)，看序列 \(0,\ x,\ 2x,\ 3x,\dots\)。它们都在这 \(m\) 个元素里，所以迟早会重复：存在 \(i

群同态与群同构

两个加性群 \(Z,Z'\) 之间的群同态（group homomorphism）\(\varphi:Z\to Z'\)，是指任何保持加法、负号与零的映射（即对所有 \(x,y\in Z\) 都有 \(\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)\)、\(\varphi(-x)=-\varphi(x)\)，且 \(\varphi(0)=0\)）。若 \(\varphi\) 还是可逆的，则其逆映射 \(\varphi^{-1}\) 自动也是群同态，这时我们称 \(\varphi\) 为群同构（group isomorphism），并称 \(Z\) 与 \(Z'\) 是群同构的。由于我们这里所有的概念都是用加法、负号与零这三种运算来定义的，它们都会被群同构所保持，因此我们把群同构的两个群视为本质上等同。

稍后我们将发展一个更弱的概念——Freiman 同态与 Freiman 同构，它更适合用来研究“近似群”（approximate groups，即对加法“几乎”封闭的集合）；参见第 5.3 节。

例：一个具体同态 \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{12}\) 定义 \(\varphi(n)=n\bmod 12\)（取除以 12 的余数）。验证它“保持加法”：
  1. 取 \(x=7,\ y=8\)。先加后取余：\(\varphi(7+8)=\varphi(15)=15\bmod 12=3\)。
  2. 先取余后加：\(\varphi(7)+\varphi(8)=7+8=15\)，在 \(\mathbb{Z}_{12}\) 中 \(15=3\)。
  3. 两种顺序结果都是 \(3\)，相等。对一般的 \(x,y\) 同样成立，所以 \(\varphi\) 是群同态。
  4. 又 \(\varphi(0)=0\)，\(\varphi(-n)=-\varphi(n)\)，三条都满足。
注意这个 \(\varphi\) 不是同构：它不可逆（\(\varphi(3)=\varphi(15)=3\)，多个输入给出同一个输出）。
例：一个同构 \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\)（偶数子群） 设 \(2\mathbb{Z}=\{\dots,-2,0,2,4,\dots\}\) 是全体偶数，映射 \(\varphi:\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z}\)，\(\varphi(n)=2n\)。它保持加法（\(2(x+y)=2x+2y\)），且可逆（逆为 \(m\mapsto m/2\)）。所以作为加性群，\(\mathbb{Z}\) 与 \(2\mathbb{Z}\) 群同构——尽管 \(2\mathbb{Z}\) “看起来更稀疏”，从加法结构看它和 \(\mathbb{Z}\) 完全一样。这就是“群同构的群视为等同”的含义。

子群与商群

若 \(G\) 是加性群 \(Z\) 的一个子群，则我们可以构造商群（quotient group） \[ Z/G := \{\, x+G : x\in Z \,\}, \] 它由 \(G\) 的全部陪集（cosets）组成；容易验证这是一个群（尽管它不再是 \(Z\) 的子群）。例如，循环群 \(\mathbb{Z}_N=\mathbb{Z}/(N\cdot\mathbb{Z})\) 就是整数 \(\mathbb{Z}\) 模其子群 \(N\cdot\mathbb{Z}\) 的商。注意，由 \(\pi(x):=x+G\) 定义的映射 \(\pi:Z\to Z/G\) 是一个满同态（surjective homomorphism）。

这里 \(x+G\) 叫 \(x\) 的陪集，意思是“把整个子群 \(G\) 平移 \(x\) 这么多”得到的那一堆元素：\(x+G=\{x+g:g\in G\}\)。两个元素若相差一个 \(G\) 中的量，就落进同一个陪集；商群 \(Z/G\) 就是把每个陪集当成一个新元素。

例：把 \(\mathbb{Z}\) 折成 \(\mathbb{Z}_3\) 取 \(Z=\mathbb{Z}\)，子群 \(G=3\mathbb{Z}=\{\dots,-3,0,3,6,\dots\}\)（3 的倍数）。按“除以 3 的余数”把整数分成三个陪集：
  1. \(0+G=\{\dots,-3,0,3,6,\dots\}\)（余 0）
  2. \(1+G=\{\dots,-2,1,4,7,\dots\}\)（余 1）
  3. \(2+G=\{\dots,-1,2,5,8,\dots\}\)（余 2）
这三个陪集互不相交、合起来是全部整数。把它们各自缩成一个点，就得到只有三个元素的商群 \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_3=\{\,\bar 0,\bar 1,\bar 2\,\}\)。其中加法照常：\(\bar 2+\bar 2=\bar 4=\bar 1\)。满同态 \(\pi(n)=\bar n\) 就是“报出 \(n\) 落在哪个余数类”。
整数 ℤ 按 mod 3 染色（三个陪集） 012 345 678 9 绿 = 余0 = 0+G 蓝 = 余1 = 1+G 红 = 余2 = 2+G 每个陪集缩成一个点 ⇒ 商群 ℤ₃ 0̄ 1̄ 2̄ π：每个整数 ↦ 它的颜色（满同态）
商群的几何图像：把无限的 \(\mathbb{Z}\) 按“模 \(3\) 同余”染成三种颜色（三个陪集），再把每种颜色看成一个新元素，就得到只有三个元素的 \(\mathbb{Z}_3\)。映射 \(\pi\) 把每个整数送到它的颜色，是满同态。
即时自测
  1. 在 \(\mathbb{Z}_{10}\) 中分别求 \(\operatorname{ord}(2)\)、\(\operatorname{ord}(5)\)、\(\operatorname{ord}(7)\)。（提示：用 \(\operatorname{ord}(x)=N/\gcd(N,x)\)。）
  2. 环面群 \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 是挠群、无挠群，还是两者都不是？试找一个有限阶的非零元素和一个无穷阶的元素。
  3. 映射 \(\varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\)，\(\varphi(n)=n+1\) 是群同态吗？逐条检查 \(\varphi(0)=0\)、\(\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)\)。
  4. 写出 \(\mathbb{Z}_6=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) 的全部陪集，并验证它确实有 \(6\) 个元素。

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