Tao–Vu · 加性组合学 · 第 3 章 加性几何

3.3　凸体Convex bodies

本页为译文 + 讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 定义 / 定理 / 引理 / 推论 / 例 / 分步推演）与配图为帮助理解而加的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。

现在我们来回顾一下 \(\mathbb{R}^d\) 中凸体（convex bodies）理论的一部分内容；在某种意义上，凸体是广义等差数列（generalized arithmetic progressions）的连续类比。这当然是一个极其广阔的领域，我们只能局限于其中很小的一部分结果，即与这类集合的加性理论、覆盖引理（covering lemmas），以及加法与体积之间的关系有关的那些结果。

本节目标把“离散世界里的广义等差数列”翻译到“连续世界”里去。在第 3.2 节中，广义等差数列是一些“盒子状”的有限点集；本节的凸体则是 \(\mathbb{R}^d\) 中实心的、鼓鼓的几何体（如球、立方体、椭球）。我们要弄清三件事：(1) 凸体的和集 \(A+A\)、差集 \(A-A\) 的体积比 \(A\) 大多少（“倍增”有多大）；(2) John 定理——任何凸体本质上都能被一个椭球“夹住”，从而长得都差不多；(3) 如何用少数几个 \(A\) 的平移副本去覆盖更大的集合（覆盖引理）。

我们用 \(\operatorname{mes}(A)\) 表示 \(\mathbb{R}^d\) 中集合 \(A\) 的体积（measure，测度）。为了避免可测性带来的麻烦，我们大多只考虑有界开集 \(A\)。若 \(A\subseteq\mathbb{R}^d\) 且 \(\lambda\in\mathbb{R}\)，我们用 \(\lambda\cdot A\) 表示伸缩（dilation） \[\lambda\cdot A:=\{\lambda x:x\in A\}.\] 注意有 \[\operatorname{mes}(\lambda A)=|\lambda|^{d}\operatorname{mes}(A).\]

例（体积如何随伸缩变化）取 \(d=2\)，\(A\) 是边长为 \(1\) 的正方形，\(\operatorname{mes}(A)=1\)。把它整体放大 \(3\) 倍得到 \(3\cdot A\)，它是边长为 \(3\) 的正方形，面积 \(=9=3^{2}\)。一般地，在 \(d\) 维空间里，每个坐标方向都被拉长 \(|\lambda|\) 倍，体积就乘以 \(|\lambda|^{d}\)。请把它和离散情形对照：把一个 \(d\) 维等差数列每边伸长，点数也大致按各边长度之积增长。

回忆一下：\(\mathbb{R}^d\) 中的集合 \(A\) 称为凸的（convex），若只要 \(x,y\in A\) 且 \(0\le\theta\le1\)，就有 \((1-\theta)x+\theta y\in A\)；等价地，一个集合是凸的当且仅当 \[a\cdot A+b\cdot A=(a+b)\cdot A\] 对一切实数 \(a,b\ge0\) 成立（习题 3.3.3）。特别地，对任意整数 \(n\) 有 \(nA=|n|\cdot A\)。若 \(A\) 是凸的、开的、非空的且有界的，就称 \(A\) 为一个凸体（convex body）。

xy 凸：线段整段都在里面 xy 非凸：线段中段跑到外面
凸性的几何含义：任取体内两点 \(x,y\)，连接它们的整条线段 \(\{(1-\theta)x+\theta y:0\le\theta\le1\}\) 也都落在体内。右图缺口处的弦穿出了集合，故非凸。
为什么这两个定义等价（直觉）
  1. “点定义”说：任取两点的加权平均仍在 \(A\) 内。
  2. “集合定义” \(a\cdot A+b\cdot A=(a+b)\cdot A\) 说：把 \(A\) 放大 \(a\) 倍的点，加上 \(A\) 放大 \(b\) 倍的点，得到的恰好就是 \(A\) 放大 \(a+b\) 倍——不多也不少。
  3. 包含 \((a+b)\cdot A\subseteq a\cdot A+b\cdot A\) 对任何集合都成立（取同一个点 \(x\)：\((a+b)x=ax+bx\)）。真正用到凸性的是反方向：要把 \(ax+by\)（一般是两个不同点）写成 \((a+b)z\) 的形式，需要 \(z=\frac{a}{a+b}x+\frac{b}{a+b}y\) 落在 \(A\) 里——这正是点定义里的加权平均。完整证明留作习题 3.3.3。

特别地我们看到，如果 \(A\) 是凸体，那么 \[\tag{3.4}\operatorname{mes}(A+A)=\operatorname{mes}(2\cdot A)=2^{d}\operatorname{mes}(A),\] 所以凸体具有很小的倍增常数（doubling constant）。

例（(3.4) 的关键一步：\(A+A=2\cdot A\)）
  1. 取 \(a=b=1\) 代入凸性的集合定义：\(1\cdot A+1\cdot A=(1+1)\cdot A\)，即 \(A+A=2\cdot A\)。这一步只对凸集成立；一般集合只有 \(2\cdot A\subseteq A+A\)。
  2. 再用伸缩的体积公式：\(\operatorname{mes}(2\cdot A)=2^{d}\operatorname{mes}(A)\)。
  3. 所以倍增比 \(\dfrac{\operatorname{mes}(A+A)}{\operatorname{mes}(A)}=2^{d}\)。对照离散：一个秩为 \(d\) 的真广义等差数列也有 \(|A+A|\approx 2^{d}|A|\)（引理 3.10），这正是“凸体 ↔ 广义等差数列”这条类比的一个体现。

至于 \(A-A\)（差集），我们可以借助下面的引理。

引理 3.12（Ruzsa 三角型不等式的连续版）[297]对 \(\mathbb{R}^d\) 中任意有界开子集 \(A,B,C\)（不必凸），有 \[\operatorname{mes}(A-C)\,\operatorname{mes}(B)\le\operatorname{mes}(A-B)\,\operatorname{mes}(B-C).\]

它的证明是把引理 2.6 的证明作适当修改而得，留作习题（习题 3.3.1）。由此引理（取 \(A=C\) 且 \(B=-A\)）以及 (3.4)，我们得到 \[\tag{3.5}\operatorname{mes}(A-A)\le 4^{d}\operatorname{mes}(A);\] 请把这些界与引理 3.10 作比较。关于 (3.5) 的一个略微改进，参见习题 3.4.6。在相反的方向上，Brunn–Minkowski 不等式（下文定理 3.16）将给出 \(\operatorname{mes}(A-A)\ge 2^{d}\operatorname{mes}(A)\)。

分步推演：(3.5) 是怎么从引理 3.12 得到的
  1. 在引理 3.12 中令 \(C=A\) 且 \(B=-A\)，不等式变为 \[\operatorname{mes}(A-A)\,\operatorname{mes}(-A)\le\operatorname{mes}\!\big(A-(-A)\big)\,\operatorname{mes}\!\big((-A)-A\big).\]
  2. 注意 \(\operatorname{mes}(-A)=\operatorname{mes}(A)\)（取 \(\lambda=-1\)，体积乘 \(|{-1}|^{d}=1\)）；又 \(A-(-A)=A+A\)，\((-A)-A=-(A+A)\)，二者体积都等于 \(\operatorname{mes}(A+A)\)。于是 \[\operatorname{mes}(A-A)\,\operatorname{mes}(A)\le\operatorname{mes}(A+A)^{2}.\]
  3. 对凸体用 (3.4)：\(\operatorname{mes}(A+A)=2^{d}\operatorname{mes}(A)\)，代入得 \[\operatorname{mes}(A-A)\,\operatorname{mes}(A)\le\big(2^{d}\operatorname{mes}(A)\big)^{2}=4^{d}\operatorname{mes}(A)^{2}.\]
  4. 两边除以 \(\operatorname{mes}(A)>0\)，即得 \(\operatorname{mes}(A-A)\le 4^{d}\operatorname{mes}(A)\)。

若凸体 \(A\) 满足 \(A=-A\)，就称它是对称的（symmetric）；因此对我们而言，对称总是关于原点的对称。下面这条 John 的定理，本质上把所有凸体（无论对称与否）都分类到了一个（依赖于维数的）常数因子之内。

定理 3.13（John 定理）[194]设 \(A\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中的凸体。则存在一个可逆线性变换 \(T:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d\) 以及一点 \(x_0\in A\)，使得 \[B_d\subseteq T(A-x_0)\subseteq d\cdot B_d,\] 其中 \(B_d\) 是单位球 \(\{(x_1,\dots,x_d)\in\mathbb{R}^d:x_1^2+\dots+x_d^2<1\}\)。若 \(A\) 是对称的，则可把这些包含关系改进为 \[B_d\subseteq T(A)\subseteq\sqrt{d}\cdot B_d.\] 常数 \(d\) 与 \(\sqrt{d}\) 都是最优的（sharp）；见习题。
这条定理在说什么“可逆线性变换 \(T\)”可以拉伸、旋转、剪切空间，但不会撕裂凸性。定理说：经过合适的 \(T\)（并平移到合适的中心 \(x_0\)），任何凸体都被夹在两个同心球之间——内球是单位球 \(B_d\)，外球只比它大 \(d\) 倍（对称时只大 \(\sqrt d\) 倍）。换句话说，在“相差一个线性变换”的意义下，凸体长得都差不多，胖瘦比例不超过 \(d\)（或 \(\sqrt d\)）。这正是凸体版本的“结构定理”。
1 d (或 √d) 外球 d·B_d 凸体 T(A−x₀) 内球 B_d
John 定理：恰当变换后，凸体被单位球 \(B_d\)（内）与 \(d\cdot B_d\)（外，对称时为 \(\sqrt d\cdot B_d\)）同心夹住。证明的核心思想，就是取 \(A\) 内体积最大的椭球作为那个内球。
证明. 我们使用变分论证（variational argument）。把椭球（ellipsoid）定义为任何形如 \(E=L(B_d)+x_0\) 的集合，其中 \(B_d\) 是单位球，\(x_0\in\mathbb{R}^d\)，而 \(L\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一个（可能退化的）线性变换；为了紧性的需要，我们允许椭球退化。由于 \(A\) 是开且有界的，容易看出：包含于 \(A\) 内的全体椭球 \(E\) 构成一个紧集（关于 \(L\) 与 \(x_0\) 的通常拓扑）。又椭球 \(E\) 的体积为 \(\operatorname{mes}(E)=|\det(L)|\)，它显然是 \(E\) 的连续函数。因此存在 \(A\) 内的某个椭球 \(E=L(B_d)+x_0\)，使体积 \(\operatorname{mes}(E)\) 达到最大；由于 \(A\) 是开集，这个体积非零，从而 \(L\) 可逆。必要时施以 \(L^{-1}\)（注意到引理的结论在可逆线性变换下不变），于是我们可以假设 \(E\) 就是单位球的一个平移 \(E=B_d+y_0\)，其中 \(y_0=L^{-1}(x_0)\)。

现在我们先限于 \(A\) 对称的情形。注意，如果 \(A\) 包含 \(B_d+y_0\)，那么由对称性它也包含 \(B_d-y_0\)，从而包含 \(B_d\)——因为 \(B_d\) 落在 \(B_d+y_0\) 与 \(B_d-y_0\) 的凸包之中。为完成此情形下的证明，我们还需证明 \(A\) 被包含于 \(\sqrt d\cdot B_d\)。反设 \(A\) 不被包含于 \(\sqrt d\cdot B_d\)；不失一般性（并利用 \(A\) 为开集的假设），我们可以假设 \(re_1\in A\) 对某个 \(r>\sqrt d\) 成立，其中 \(e_1\) 是第一个基向量。现在由初等几何观察到：若 \(\omega\) 是 \(B_d\) 边界上任一点，且它与 \(e_1\) 的夹角 \(\angle(\omega,e_1)<\arctan(\sqrt{r^2-1})\)，则连接 \(\omega\) 与 \(re_1\) 的线段与 \(B_d\) 不相交（也不相切）；又由于 \(B_d\) 与 \(re_1\) 都落在凸集 \(A\) 内，我们便看出 \(\omega\) 也落在开集 \(A\) 内。由对称性，当 \(\angle(\omega,-e_1)<\arctan(\sqrt{r^2-1})\) 时同样成立。

现在我们把球 \(B_d\) 作一个 \(\varepsilon\) 的微扰。设 \(\delta>0\) 为一个小数，\(\varepsilon>0\) 为更小的数，考虑椭球 \(L_{\varepsilon,\delta}(B_d)\)，其中 \[L_{\varepsilon,\delta}(x_1,\dots,x_d):=\big((1+(d-1+\delta)\varepsilon)x_1,\,(1-\varepsilon)x_2,\,\dots,\,(1-\varepsilon)x_d\big).\] 当 \(\varepsilon=0\) 时，\(L_{\varepsilon,\delta}(B_d)\) 就是 \(B_d\)。现在考察 \(L_{\varepsilon,\delta}(B_d)\) 如何随 \(\varepsilon\) 演变。该变换的行列式为 \((1+(d-1+\delta)\varepsilon)(1-\varepsilon)^{d-1}\)，它在 \(\varepsilon=0\) 处有正的 \(\varepsilon\)-导数。因此对充分小的 \(\varepsilon\)（依赖于 \(\delta\)），\(L_{\varepsilon,\delta}(B_d)\) 的体积比 \(B_d\) 更大。下面我们检验：\(L_{\varepsilon,\delta}(B_d)\) 表面上哪些点离原点胀出，哪些点缩进。一个简单的计算表明，对 \(B_d\) 边界上任一点 \(\omega=(\omega_1,\dots,\omega_d)\)，导数 \[\frac{d}{d\varepsilon}\Big\|L_{\varepsilon,\delta}(\omega)\Big\|^2\Big|_{\varepsilon=0},\] （其中 \(\|(y_1,\dots,y_d)\|^2:=y_1^2+\dots+y_d^2\)）是负的，除非 \[(d-1+\delta)\omega_1^2-\omega_2^2-\dots-\omega_d^2\ge0,\] 换句话说除非 \[\angle(\omega,\pm e_1)\le\arctan(\sqrt{d-1+\delta}).\] 但若 \(\delta\) 取得足够小（依赖于 \(r\)），由前面的讨论，这块区域整个落在 \(A\) 的内部之中。于是对足够小的 \(\varepsilon\)，\(L_{\varepsilon,\delta}(B_d)\) 完全包含在 \(A\) 内，却拥有更大的体积，这与 \(B_d\) 的极大性矛盾，于是证毕（对称情形）。

现在设 \(A\) 不对称。这种情形下我们可作平移使 \(y_0=0\)。于是同样有 \(B_d\subseteq A\)，而任务变为证明 \(A\subseteq d\cdot B_d\)。再次反设 \(re_1\in A\) 对某个 \(r>d\) 成立；这同样意味着 \(B_d\) 边界上每个满足 \(\angle(\omega,e_1)<\arctan(\sqrt{r^2-1})\) 的点 \(\omega\) 都落在 \(A\) 的内部。现在令 \(\delta,\varepsilon>0\)，考虑椭球 \[L_{\varepsilon,\delta}(x_1,\dots,x_d)+(d-1+\delta)\varepsilon e_1;\] 同样，若 \(\varepsilon\) 充分小，此椭球的体积比 \(B_d\) 更大。并且我们看到 \[\frac{d}{d\varepsilon}\Big\|L_{\varepsilon,\delta}(\omega)+(d-1+\delta)\varepsilon e_1\Big\|^2\Big|_{\varepsilon=0}\] 是负的，除非 \[(d-1+\delta)\omega_1^2+(d-1+\delta)\omega_1-\omega_2^2-\dots-\omega_d^2\ge0,\] 利用 \(\|\omega\|=1\) 可将其改写为 \[\big((d+\delta)\omega_1-1\big)(\omega_1+1)\ge0,\] 或等价地 \[\angle(\omega,e_1)\le\arctan\!\big(\sqrt{(d+\delta)^2-1}\big).\] 我们像对称情形那样论证，只要 \(\delta\) 选得使 \(d+\delta♦

把变分证明的逻辑拎清楚
  1. 找最大椭球。在 \(A\) 内所有椭球中，挑体积最大的那个 \(E\)。紧性保证它存在，开集保证它非退化（\(L\) 可逆）。
  2. 标准化。用 \(L^{-1}\) 把 \(E\) 拉回成单位球 \(B_d\)（结论在可逆线性变换下不变，所以这样做不损失一般性）。于是 \(B_d\subseteq A\)，内球到手。
  3. 反证外球。假设 \(A\) 伸出了外球（有点 \(re_1\)，\(r\) 太大）。因为 \(A\) 凸且含 \(B_d\) 与 \(re_1\)，所以 \(re_1\) 附近一个锥形区域里的球面点也都进了 \(A\)。
  4. 造一个更大的椭球。构造 \(L_{\varepsilon,\delta}\)：沿 \(e_1\) 方向拉长一点、其余方向压扁一点。行列式（体积）的导数为正，所以体积变大；而胀出原点的那些球面点恰好落在第 3 步那个锥形区域内（即仍在 \(A\) 里）。于是新椭球更大却仍在 \(A\) 内，与“\(B_d\) 已是最大”矛盾。
  5. 结论。矛盾说明 \(A\) 伸不出外球，即 \(A\subseteq\sqrt d\cdot B_d\)（对称）或 \(A\subseteq d\cdot B_d\)（一般）。常数差别来自：对称情形外球能取小一些。
O e₁ r e₁ ∈ A ω 锥形区域内的球面点 都落入凸集 A 夹角 < arctan√(r²−1)
反证的几何核心：若 \(re_1\) 在凸体 \(A\) 内（\(r\) 过大），则与 \(re_1\) 夹角足够小的球面点 \(\omega\)，其与 \(re_1\) 的连线不碰 \(B_d\)，整段都在 \(A\) 内。沿 \(e_1\) 拉长球，胀出的点恰在此锥内仍属 \(A\)，造出体积更大的椭球，矛盾。

作为定理 3.13 的一个推论，我们看到：若 \(A\) 是凸体，则可以用相对少量的 \(A\) 的副本来覆盖 \(A+A\) 或 \(A-A\)： \[\tag{3.6}A\pm A\ \text{可被}\ O(d)^{d}\ \text{个}\ A\ \text{的平移所覆盖}.\] 这立刻从下面的几何观察得到：\(d\cdot B_d+d\cdot B_d=2d\cdot B_d\) 可被 \(O(d)^{d}\) 个 \(B_d\) 的平移覆盖。若 \(A\) 对称，我们可以稍作改进。在 \(A\) 是立方体或长方体的特殊情形，显然 \(A\pm A\) 可被 \(2^{d}\) 个 \(A\) 的平移覆盖（参见引理 3.10），但一般情形不能指望如此；例如若 \(A\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的圆盘，则需要 六个 \(A\) 的副本才能覆盖 \(A\pm A\)。在一般情形，我们将需要下面这条引理 2.14 的连续版本。

A+A = 2·A（半径 2） 圆盘 A 自身（半径 1）： 需 6 个平移副本 才能盖住 2·A。
对 \(\mathbb{R}^2\) 中的圆盘 \(A\)（半径 \(1\)），\(A+A\) 是半径 \(2\) 的圆盘，需要 \(6\) 个半径为 \(1\) 的圆盘平移才能覆盖它——这说明立方体的 \(2^{d}\) 个副本对一般凸体不成立。
引理 3.14（Ruzsa 覆盖引理，连续版）[300],[250]对 \(\mathbb{R}^d\) 中任意有界、正测度的子集 \(A,B\)（不必凸），可以用至多 \[\min\!\left(\frac{\operatorname{mes}(A+B)}{\operatorname{mes}(A)},\ \frac{\operatorname{mes}(A-B)}{\operatorname{mes}(A)}\right)\] 个 \(A-A\) 的平移来覆盖 \(B\)。

此引理的证明与引理 2.14 几乎完全相同，留作习题（习题 3.3.2）。作为推论，对对称凸体我们可以改进 (3.6)：

推论 3.15设 \(A\subseteq\mathbb{R}^d\) 是凸体，\(\lambda,\mu>0\) 为实数。则 \(\lambda\cdot A\) 可被至多 \((\lambda+1)^{d}\) 个 \(A-A\) 的平移覆盖，而 \(\lambda\cdot A-\mu\cdot A\) 可被 \((2\max(\lambda,\mu)+1)^{d}\) 个 \(A-A\) 的平移覆盖。若 \(A\) 是对称的，则 \(\lambda\cdot A\) 还可被 \((2\lambda+1)^{d}\) 个 \(A\) 的平移覆盖。
证明. 第一个论断由引理 3.14 得出，因为 \(\operatorname{mes}(\lambda\cdot A+A)=(\lambda+1)^{d}\operatorname{mes}(A)\)。为证第二个论断，可设 \(\lambda\ge\mu\)。第一个论断蕴含 \(2\lambda\cdot A\) 可被 \((2\lambda+1)^{d}\) 个 \(A-A=2\cdot A\) 的平移覆盖，第三个论断便由按 \(1/2\) 重新标度（rescaling）得到。最后，第二个论断由把第三个论断应用于 \(A-A\) 而得。♦
分步看推论 3.15 的三个论断如何环环相扣
  1. 第一论断。在引理 3.14 里取“被覆盖者 \(B\)”为 \(\lambda\cdot A\)、“覆盖工具 \(A\)”仍为 \(A\)。需要的副本数 \(\le\dfrac{\operatorname{mes}(\lambda\cdot A+A)}{\operatorname{mes}(A)}\)。由凸性 \(\lambda\cdot A+A=(\lambda+1)\cdot A\)，体积为 \((\lambda+1)^{d}\operatorname{mes}(A)\)，故比值为 \((\lambda+1)^{d}\)。覆盖工具是 \(A-A\)。
  2. 第三论断（对称时）。对称凸体满足 \(A-A=A+A=2\cdot A\)。把第一论断用于 \(2\lambda\) 取代 \(\lambda\)：\(2\lambda\cdot A\) 被 \((2\lambda+1)^{d}\) 个 \(A-A=2\cdot A\) 的平移覆盖。两边一起按 \(1/2\) 缩小，\(\lambda\cdot A\) 就被 \((2\lambda+1)^{d}\) 个 \(A\) 的平移覆盖。
  3. 第二论断。设 \(\lambda\ge\mu\)，则 \(\lambda\cdot A-\mu\cdot A\subseteq \lambda\cdot A-\lambda\cdot A=\lambda\cdot(A-A)\)（用 \(\mu\le\lambda\)）。集合 \(A-A\) 本身是对称凸体，对它用第三论断（以 \(\lambda\) 作伸缩系数）即得 \((2\lambda+1)^{d}=(2\max(\lambda,\mu)+1)^{d}\) 个 \(A-A\) 的平移。

请注意，这里得到的所有的界都倾向于关于 \(d\) 呈指数增长，甚至更糟。因此，当用凸体理论去获得明确的估计时，常常重要的是把维数 \(d\) 保持得尽可能低，即便代价是让某些其他参数比本来必要的更大。关于凸体的和集与覆盖估计的进一步讨论，参见 [250]。

为什么“维数要低”很关键这些界形如 \(O(d)^{d}\)、\(4^{d}\)、\((2\lambda+1)^{d}\)，都把 \(d\) 放在指数上。\(d\) 哪怕只增加一点，界就会爆炸式变大。所以在实际应用里，宁可让 \(\lambda\) 之类的线性参数大一些，也要尽量压低 \(d\)。这与第 3.2 节里“广义等差数列的秩越低越好”是同一种考量。

我们还没有看到两个不相关的凸体 \(A\) 与 \(B\) 的和或差会发生什么。这里的关系由 Brunn–Minkowski 不等式给出，这正是我们接下来要讨论的内容。

习题

习题
  1. 3.3.1. 证明引理 3.12。
  2. 3.3.2. 证明引理 3.14。
  3. 3.3.3. 验证所给凸性的两个定义确实等价。
  4. 3.3.4. 设 \(A\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的有界开子集。证明：\(A\) 是凸的当且仅当 \(2A=2\cdot A\)；且 \(A\) 是凸且对称的当且仅当 \(2A=-2\cdot A\)。
  5. 3.3.5. 对任意 \(s>0\)，设 \(\Gamma(s):=\int_0^{\infty}e^{-x}x^{s-1}\,dx\) 表示 Gamma 函数。证明：对一切 \(s>0\) 有 \(\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\)；对一切 \(d\ge1\) 有 \(\Gamma(d)=(d-1)!\)；\(\Gamma(1/2)=\sqrt\pi\)；并且对一切大的 \(s\) 有 Stirling 公式 \[\tag{3.7}\log\Gamma(s)=s\log s-s+O(\log s).\] （提示：使用 (1.52) 以及 \(\Gamma\) 函数的单调性。）
  6. 3.3.6. 设 \(B_d\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中的单位球。通过在直角坐标与极坐标两种方式下计算积分 \(\int_{\mathbb{R}^d}e^{-\pi|x|^2}\,dx\)，并利用上一题，建立体积公式 \[\tag{3.8}\operatorname{mes}(B_d)=\frac{\Gamma(3/2)^{d}2^{d}}{\Gamma(d/2+1)}=(2\pi e+o(1))^{d/2}d^{-d/2}.\]
  7. 3.3.7. 设 \(O_d\) 是由 \(\mathbb{R}^d\) 中 \(\pm e_1,\dots,\pm e_d\) 的凸包给出的八面体（octahedron）。证明 \(\operatorname{mes}(O_d)=2^{d}/d!=(2e+o(1))^{d}d^{-d}\)。于是在高维中，八面体远小于外接它的球 \(B_d\)，而后者又远小于外接的立方体。
  8. 3.3.8. 证明定理 3.13 中的常数 \(d\) 与 \(\sqrt d\) 不能被改进。（对非对称情形，取 \(A\) 为 \(d\)-单纯形（\(\mathbb{R}^d\) 中 \(d\) 个点的凸包，实为 \(d+1\) 个顶点）；对对称情形，取 \(A\) 为立方体。）
  9. 3.3.9. 若 \(A\) 与 \(A'\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中两个对称凸体，证明存在可逆线性变换 \(T:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d\) 使得 \(A\subseteq T(A')\subseteq d\cdot A\)。

返回 全书目录