Tao–Vu · 加性组合学 · 第 4 章 傅里叶分析方法

4.5　Λ(p) 常数、Bh[g] 集合与解离集Lambda(p) constants, Bh[g] sets, and dissociated sets

本页为译文 + 高中讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 定义 / 定理 / 例 / 分步推演）与配图为面向高中生的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。

本节目标第 4.3 节用线性偏差（linear bias）来衡量一个集合“有没有加性结构”。本节换一把全新的尺子——频率集合 \(S\) 的 Λ(p) 常数。它衡量 \(S\) 有多“解离”（dissociated）或多“类 Sidon”（Sidon-like）。直觉上：Λ(p) 常数大 ⇔ \(S\) 加性结构强（元素之间有很多相等的和）；Λ(p) 常数小 ⇔ \(S\) 极度缺乏加性结构（和几乎都不相等）。本节要把这把尺子的定义、它和 Sidon/Bh 集合、解离集的精确对应关系讲清楚，并证明核心工具 Rudin 不等式。

在第 4.3 节中，我们讨论了有限加性群 \(Z\) 中加性集合 \(A\) 的一个傅里叶分析特征，即它的线性偏差。本节讨论一个相当不同的特征，即频率集合 \(S\) 的 Λ(p) 常数。这些常数衡量一个集合¹ \(S\) 有多“解离”或多“类 Sidon”；用更实际的话说，Λ(p) 常数在某种 \(L^p(Z)\) 意义下量化了与 \(S\) 相关联的那些特征标（characters）的独立性。这些常数可用于精确控制 \(S\) 的算术结构，例如控制 \(S\) 的迭代和集（iterated sum sets）。这些常数的一个特点是它们在取子集时保持稳定：因此 Λ(p) 常数还能控制 \(S\) 的子集 \(S'\) 的迭代和集。这种稳定性（傅里叶偏差并不具备，除非像引理 4.16 那样取随机子集）对许多应用都很有用。

我们从 Λ(p) 常数的形式定义开始。

定义 4.26（Λ(p) 常数）设 \(S\) 是有限²加性群 \(Z\) 中的一个加性集合，并设 \(2\le p\le\infty\)。我们把 \(S\) 的 Λ(p) 常数记为 \(\|S\|_{\Lambda(p)}\)，定义为使不等式 \[\tag{4.30}\left\|\sum_{\xi\in S}c(\xi)\,e(\xi\cdot x)\right\|_{L^p(Z)}\le \|S\|_{\Lambda(p)}\,\|c\|_{\ell^2(S)}\] 对所有复数列 \(c:S\to\mathbb{C}\) 都成立的最佳（最小）常数。
读定义：这个量到底在说什么

把 \(S\) 里的每个频率 \(\xi\) 配上一个系数 \(c(\xi)\)，叠成一个“三角多项式” \(f(x)=\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\)（这里 \(e(t)=e^{2\pi i t}\)）。不等式 (4.30) 比较两件东西：

当 \(p=2\) 时，Parseval 公式告诉我们左边恰好等于 \(\|c\|_{\ell^2}\)，所以 \(\|S\|_{\Lambda(2)}=1\) 总成立。\(p\) 越大，\(L^p\) 范数越能“放大尖峰”。\(\|S\|_{\Lambda(p)}\) 就量化了：当这些波叠加时，最多能叠出多高的尖峰（相对于系数能量）。尖峰能叠得越高 ⇒ Λ(p) 常数越大 ⇒ 这些频率越“同步、越有结构”。

我们容易建立上界 \[\tag{4.31}\|S\|_{\Lambda(p)}\le |S|^{1/2-1/p},\] 其中 \(2\le p\le\infty\)，在端点 \(p=2,\infty\) 处取等号；见习题 4.5.6。这个习题表明：Λ(p) 常数大与 \(S\) 的强加性结构相关。在另一个极端，我们现在要证明：Λ(p) 常数小与 \(S\) 强烈缺乏加性结构相关。

\(\|S\|_{\Lambda(p)}\) 小 \(\|S\|_{\Lambda(p)}\) 大 解离 / Sidon / Bh 和几乎全不相等 强加性结构 如子群、等差结构 Λ(p) 常数：一把衡量“加性结构强弱”的尺子 \(1\le\|S\|_{\Lambda(p)}\le |S|^{1/2-1/p}\)
尺子的两端：左端（小）对应极度无结构的集合，右端（大）对应高度结构化的集合。下面几个定义就是把“左端”的概念精确化。

Bh 集合与 Sidon 集合

定义 4.27（Bh 集合）设 \(h\ge 2\)。加性群 \(Z\) 的一个非空子集 \(S\) 称为 Bh 集合，若对任意 \(\xi_1,\dots,\xi_h,\eta_1,\dots,\eta_h\in S\)，等式 \(\xi_1+\cdots+\xi_h=\eta_1+\cdots+\eta_h\) 成立当且仅当 \((\xi_1,\dots,\xi_h)\) 是 \((\eta_1,\dots,\eta_h)\) 的一个排列。我们称 \(S\) 是 Sidon 集合，若它是 B2 集合。

这些集合是第 1.7.1 节中遇到的 Bh[g] 集合在 \(g=1\) 时的版本；Sidon 集合在第 2.2 节也曾简要提及。注意我们不去定义 B1 集合的概念，因为任何集合都平凡地是 B1 集合。

把 Bh 翻译成大白话

“\(S\) 是 Bh 集合”就是说：用 \(S\) 里的元素做 \(h\) 个一组的加法，只有“同一组元素换个顺序”才会得到相同的和，绝不会出现“两组本质不同的元素却凑出同一个和”。

以 Sidon（\(h=2\)）为例：要求 \(S\) 中所有无序的两元素和 \(\xi_1+\xi_2\) 互不相同（只承认 \(\xi_1+\xi_2=\xi_2+\xi_1\) 这种平凡相等）。

取 \(S=\{1,2,4,8\}\)（\(2\) 的幂）。它的两两之和：

  1. \(1+1=2,\;1+2=3,\;1+4=5,\;1+8=9\)
  2. \(2+2=4,\;2+4=6,\;2+8=10\)
  3. \(4+4=8,\;4+8=12,\;8+8=16\)
  4. 把这些和列出来：\(2,3,5,9,4,6,10,8,12,16\)——彼此全不相同。所以 \(\{1,2,4,8\}\) 是 Sidon 集合。

反例：\(S=\{1,2,3,4\}\) 不是 Sidon，因为 \(1+4=2+3=5\)，出现了本质不同的两组凑出同一个和。

\(S=\{1,2,4,8\}\) 的所有两元素和落在数轴上，无重叠 0 2 3 4 5 6 8 9 10 12 16 每个红点最多被一对 \((\xi_1,\xi_2)\) 命中 ⇒ Sidon
Sidon 集合的几何画面：把所有两元素和打到数轴上，没有两个不同的无序对落在同一点。Bh 集合则把这件事推广到 \(h\) 元素和。
例 4.28对任意 \(M>1\)，集合 \(S:=\{0\}\cup(M^{\wedge}\mathbb{N})=\{0,1,M,M^2,\dots\}\) 是 \(Z\) 中的 Bh 集合当且仅当 \(hh 集合的任何非空子集仍是 Bh 集合。
为什么是 \(h

把元素看成 \(M\) 进制下的“某一位上的 \(1\)”。做 \(h\) 个数相加，相当于在 \(M\) 进制下把若干位各加几次。只要每一位被加的次数 \(不会进位，于是“哪几位各加了多少次”可以从最终的和里唯一读出来——这正是 Bh 的要求。一旦 \(h\ge M\)，某一位可能被加满 \(M\) 次而进位，信息丢失，结构被破坏。所以临界点恰是 \(h

命题 4.29：Λ(4) 常数精确刻画 Sidon 集合

命题 4.29设 \(S\) 是有限加性群 \(Z\) 的非空子集。则 \[\tag{4.32}\|S\|_{\Lambda(4)}\ge\left(2-\frac{1}{|S|}\right)^{1/4},\] 且等号成立当且仅当 \(S\) 是 Sidon 集合。更一般地，若 \(h\ge1\)，则存在一个依赖于 \(h\) 与 \(|S|\) 的数 \(1\le\alpha(h,|S|)<(h!)^{1/2h}\)，使得当 \(S\) 是 Bh 集合时 \(\|S\|_{\Lambda(2h)}=\alpha(h,|S|)\)，否则 \(\|S\|_{\Lambda(2h)}>\alpha(h,|S|)\)。
证明. 我们先证 (4.32)。在 (4.31)（这里指用 (4.30) 的定义）中代入 \(c_\xi\) 恒等于 \(1\)，只需证明 \[\left\|\sum_{\xi\in S}e(x\cdot\xi)\right\|_{L^4(Z)}^4\ge\left(2-\frac{1}{|S|}\right)|S|^2.\] 左边可展开为 \[\sum_{\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2\in S}\mathbb{E}_{x\in Z}\,e\big((\xi_1+\xi_2-\eta_1-\eta_2)\cdot x\big).\] 由引理 4.5，这化简为 \[\big|\{\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2\in S:\xi_1+\xi_2=\eta_1+\eta_2\}\big|.\] 显然，当 \((\xi_1,\xi_2)\) 是 \((\eta_1,\eta_2)\) 的排列时必有 \(\xi_1+\xi_2=\eta_1+\eta_2\)，所以这个计数至少为 \[\sum_{\substack{\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2\in S\\ \{\xi_1,\xi_2\}=\{\eta_1,\eta_2\}}}1=|S|(|S|-1)\cdot2+|S|=\left(2-\frac{1}{|S|}\right)|S|^2,\] 正如所断言。注意此论证也表明：若 \(S\) 不是 Sidon 集合，则 (4.32) 中的不等式严格成立——因为此时会有来自“彼此不是排列的对 \((\xi_1,\xi_2)\) 与 \((\eta_1,\eta_2)\)”的额外项。

现在设 \(S\) 是 Sidon 集合。为证 (4.32) 取等号，只需证明：在归一化 \(\sum_{\xi\in S}|c_\xi|^2=1\) 下， \[\left\|\sum_{\xi\in S}c_\xi\,e(x\cdot\xi)\right\|_{L^4(Z)}^4\le2-\frac{1}{|S|}.\] 左边可展开为 \[\sum_{\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2\in S}c_{\xi_1}c_{\xi_2}\overline{c_{\eta_1}}\,\overline{c_{\eta_2}}\;\mathbb{E}_{x\in Z}\,e\big((\xi_1+\xi_2-\eta_1-\eta_2)\cdot x\big),\] 与前面一样化简为 \[\sum_{\substack{\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2\in S\\ \xi_1+\xi_2=\eta_1+\eta_2}}c_{\xi_1}c_{\xi_2}\overline{c_{\eta_1}}\,\overline{c_{\eta_2}}.\] 由于 \(S\) 是 Sidon 集合，\((\eta_1,\eta_2)\) 必为 \((\xi_1,\xi_2)\) 的排列。按 \(\xi_1=\xi_2\) 与 \(\xi_1\ne\xi_2\) 分情形，可把上式改写为 \[\sum_{\xi\in S}|c_\xi|^4+2\sum_{\substack{\xi_1,\xi_2\in S\\ \xi_1\ne\xi_2}}|c_{\xi_1}|^2|c_{\xi_2}|^2,\] 再利用归一化 \(\sum_{\xi\in S}|c_\xi|^2=1\)，可写成 \[2-\sum_{\xi\in S}|c_\xi|^4.\] 但由 Cauchy–Schwarz 与归一化 \(\sum_{\xi\in S}|c_\xi|^2=1\)，有 \(\sum_{\xi\in S}|c_\xi|^4\ge1/|S|\)，结论即得。

一般情形 \(h\ge2\) 类似，留作习题 4.5.9。♦

这条命题在说什么

它给了一个判定 Sidon 的精确门槛：在所有大小为 \(|S|\) 的集合里，\(\|S\|_{\Lambda(4)}\) 不可能比 \((2-1/|S|)^{1/4}\) 更小，而且恰好打到这个最小值的，就是 Sidon 集合，一个不多一个不少。换句话说，Λ(4) 常数把“是不是 Sidon”量化成了一个数值是否达到下界的问题。

证明的灵魂是引理 4.5（正交性）：\(\mathbb{E}_{x}e(k\cdot x)\) 在 \(k=0\) 时为 \(1\)，否则为 \(0\)。于是把 \(L^4\) 范数的四次方展开后，每一项要么对应 \(\xi_1+\xi_2=\eta_1+\eta_2\) 而存活（贡献 \(1\)），要么因频率非零而积掉。最后整个 \(L^4\) 范数四次方 = “满足 \(\xi_1+\xi_2=\eta_1+\eta_2\) 的四元组个数”。这就是把分析问题翻译成了纯计数问题——这正是 Sidon 定义直接管辖的对象。

引理 4.30：小 Λ(2h) 常数 ⇒ 大和集

“大 Λ(p) 常数对应强加性结构”这一启发式的另一个量化，由下面给出。

引理 4.30设 \(S\) 是有限加性群 \(Z\) 的非空子集，并设 \(h\ge1\)。则只要 \(h_1,h_2\ge0\) 且 \(h_1+h_2=h\)，就有 \[|h_1 S-h_2 S|\ge\frac{|S|^h}{\|S\|_{\Lambda(2h)}^{2h}}.\] 特别地有 \[|hS|\ge\frac{|S|^h}{\|S\|_{\Lambda(2h)}^{2h}}.\]
证明. 在 (4.30) 中取 \(p:=2h\) 且 \(c_\xi\) 恒等于 \(1\)，得 \[\left\|\sum_{\xi\in S}e(\xi\cdot x)\right\|_{L^{2h}(Z)}^{2h}\le\|S\|_{\Lambda(2h)}^{2h}\,|S|^h.\] 左边等于 \[\left\|\Big(\sum_{\xi\in S}e(\xi\cdot x)\Big)^{h_1}\Big(\sum_{\xi\in-S}e(\xi\cdot x)\Big)^{h_2}\right\|_{L^2(Z)}^2,\] 因为 \(e(-\xi\cdot x)\) 是 \(e(\xi\cdot x)\) 的共轭。我们可以展开 \[\Big(\sum_{\xi\in S}e(\xi\cdot x)\Big)^{h_1}\Big(\sum_{\xi\in-S}e(\xi\cdot x)\Big)^{h_2}=\sum_{\xi}r_{h_1,h_2}(\xi)\,e(\xi\cdot x),\] 其中 \(r_{h_1,h_2}\) 是计数函数 \[r_{h_1,h_2}(\xi):=\big|\{(\xi_1,\dots,\xi_{h_1},\xi_1',\dots,\xi_{h_2}')\in S^{h_1+h_2}:\xi=\xi_1+\cdots+\xi_{h_1}-\xi_1'-\cdots-\xi_{h_2}'\}\big|.\] 于是由 (4.2)（Parseval）有 \[\sum_{\xi}r_{h_1,h_2}(\xi)^2\le\|S\|_{\Lambda(2h)}^{2h}\,|S|^h.\] 另一方面，函数 \(r_{h_1,h_2}\) 的支撑集在 \(h_1 S-h_2 S\) 中，所以由 Cauchy–Schwarz \[\sum_{\xi}r_{h_1,h_2}(\xi)\le|h_1 S-h_2 S|^{1/2}\,\|S\|_{\Lambda(2h)}^{h}\,|S|^{h/2}.\] 但由 \(r_{h_1,h_2}\) 的定义又有 \[\sum_{\xi}r_{h_1,h_2}(\xi)=|S^{h_1+h_2}|=|S|^{h_1+h_2}=|S|^h.\] 结论即得。♦
把证明的三步骨架理出来
  1. 定义换计数。把和集 \(h_1 S-h_2 S\) 中每个元素 \(\xi\) 配一个权重 \(r_{h_1,h_2}(\xi)\) = “有多少种方式用 \(S\) 的元素凑出 \(\xi\)”。它的总和 \(\sum_\xi r=|S|^h\)（凑法总数）是确定的。
  2. 能量被 Λ 常数控制。由 Λ(2h) 的定义（取系数全为 \(1\)），\(r\) 的平方和 \(\sum_\xi r^2\le\|S\|_{\Lambda(2h)}^{2h}|S|^h\)。Λ 常数小 ⇒ 平方和小 ⇒ \(r\) 分布得很“平”，没有高尖峰。
  3. Cauchy–Schwarz 收尾。对支撑在和集上的 \(r\) 用 \(\big(\sum r\big)^2\le(\text{支撑大小})\cdot\sum r^2\)： \[|S|^{2h}=\Big(\sum_\xi r\Big)^2\le |h_1S-h_2S|\cdot\|S\|_{\Lambda(2h)}^{2h}|S|^h.\] 两边整理就得到 \(|h_1S-h_2S|\ge|S|^h/\|S\|_{\Lambda(2h)}^{2h}\)。

直觉：总凑法数固定为 \(|S|^h\)。如果和集很小，那么平均每个元素就要被凑出很多次，\(r\) 会出现尖峰，平方和变大，Λ 常数也被迫变大。反过来，Λ 常数小逼着 \(r\) 摊平，逼着和集变大。

注记 4.31本引理表明：若 \(S\) 有小的 Λ(2h) 常数，那么不仅和集 \(hS\) 会变得很大，而且——由于 Λ(p) 常数对取子集的单调性——\(S\) 的所有子集 \(S'\) 的和集 \(hS'\) 也都会变得很大。逆命题在相差对数因子的意义下也成立；见习题。因此 Λ(2h) 常数衡量的是：\(S\)（及其任何子集）在 \(h\) 重求和下不具有良好封闭性的程度。

解离集与 Rudin 不等式

我们现在研究类 Sidon 集合在 \(p\to\infty\) 时的 Λ(p) 常数。

定义 4.32（解离集）基数 \(|S|=d\) 的加性集合 \(S\) 称为解离的（dissociated），若立方体 \([0,1]^d\cdot S\) 是真的（proper），换言之，那 \(2^d\) 个子集和 \[FS(S):=\left\{\sum_{\xi\in S'}\xi:\;S'\subseteq S\right\}\] 两两不同。

这应与 Sidon 集合的概念作对比：基数为 \(d\) 的 Sidon 集合，是指它的 \(\frac{d(d+1)}{2}\) 个两两之和 \(\{\xi_1+\xi_2:\xi_1,\xi_2\in S\}\) 两两不同（除去平凡的 \(\xi_1+\xi_2=\xi_2+\xi_1\)）。解离集的一个好例子是 \(2\) 的幂之集：在任何循环群 \(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\)（\(N\ge2^{n+1}\)）中取 \(S=\{1,2,\dots,2^n\}\)。注意：若 \(S\) 是基数为 \(d\) 的解离集，而 \(v\) 是 \([-1,1]^d\) 中的非零元素，则 \(v\cdot S\ne0\)（否则我们能在 \(S\) 中找到两个不相交的集合 \(S_1,S_2\)，分别对应 \(v\) 的分量取 \(+1\) 或 \(-1\) 的位置，使得 \(\sum_{\xi\in S_1}\xi=\sum_{\xi\in S_2}\xi\)）。

解离集 \(S=\{1,2,4\}\)：\(2^3=8\) 个子集和落满 0..7，无重叠 0{} 1{1} 2{2} 3{1,2} 4{4} 5{1,4} 6{2,4} 7{1,2,4} 每个子集 → 一个二进制数 → 落点全不同 ⇒ 解离
解离 = “所有子集和都不同”，比 Sidon（“所有两元素和都不同”）更强的独立性。\(\{1,2,4\}\) 的子集和恰好枚举出 \(0,1,\dots,7\)，正是三位二进制数。
解离 vs Sidon：强弱关系

解离要求 \(2^d\) 个子集和全不同；Sidon 只要求两元素和全不同。子集和把“两元素和”也包含进去（取大小为 2 的子集），所以解离比 Sidon 更强：解离集一定是 Sidon 集，反之不一定。

最后那段“\(v\cdot S\ne0\)”的观察是关键的等价说法：解离 ⇔ 用系数 \(\pm1,0\) 给元素加权后，除非全取 \(0\)，否则加权和不为零。理由：若某个非零的 \(v\in\{-1,0,1\}^d\) 给出 \(v\cdot S=0\)，把取 \(+1\) 的位置归入 \(S_1\)、取 \(-1\) 的归入 \(S_2\)，就得到两个不相交子集和相等 \(\sum_{S_1}=\sum_{S_2}\)，于是 \(S_1\cup(\text{公共部分})\) 与 \(S_2\cup(\text{公共部分})\) 是两个不同子集却同和，破坏解离。这正是“傅里叶版本的联合独立性”。

解离性是联合独立性（joint independence）的傅里叶类比。它导出下面这个 Chernoff 不等式的傅里叶分析类比。

引理 4.33（Rudin 不等式）若 \(S\) 是解离的，则只要 \(\|c\|_{\ell^2(S)}\le1\) 且 \(\sigma\ge0\)，就有 \[\tag{4.33}\mathbb{E}_{x\in Z}\exp\!\Big(\sigma\,\mathrm{Re}\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\Big)\le e^{\sigma^2/2}.\] 我们还有分布估计 \[\tag{4.34}\mathbb{P}_{x\in Z}\!\left(\Big|\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\Big|\ge\lambda\right)=O_\varepsilon\!\big(e^{-\lambda^2/(4+\varepsilon)}\big)\] 对每个 \(\varepsilon>0\) 成立，以及 Λ(p) 估计 \[\tag{4.35}\|S\|_{\Lambda(p)}=O(\sqrt{p})\] 对所有 \(2\le p<\infty\) 成立。

注意当 \(p=2h\) 时，由 Stirling 公式 (1.52)，\((h!)^{1/2h}\) 与 \(\sqrt{p}\) 可比，因此 (4.35) 表明：对任意给定的 \(h\)，解离集在 Λ(2h) 常数上与 B2h 集合相当（当 \(S\) 足够大时）。这也表明：上述引理中的界，除常数外无法显著改进，即便对 \(S\) 施加更多的加性独立性条件。

证明. 把 \(c(\xi)=|c(\xi)|e(\theta_\xi)\) 写成模与相位（\(\theta_\xi\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}\)）。我们先注意不等式 \[e^{tx}\le\cosh(x)+t\sinh(x)\qquad(x\ge0,\;-1\le t\le1),\] 它只是 \(e^{tx}\) 作为 \(t\) 的函数的凸性的推论。特别地有 \[\exp\big(\sigma\,\mathrm{Re}\,c(\xi)e(x\cdot\xi)\big)\le\cosh(\sigma|c(\xi)|)+\sinh(\sigma|c(\xi)|)\,\mathrm{Re}\,e(\xi\cdot x+\theta_\xi),\] 对其相乘并取期望，得到 \[\mathbb{E}_{x\in Z}\exp\!\Big(\sigma\sum_{\xi\in S}\mathrm{Re}\,c(\xi)e(x\cdot\xi)\Big)\le\mathbb{E}_{x\in Z}\prod_{\xi\in S}\Big(\cosh(\sigma|c(\xi)|)+\tfrac12\sinh(\sigma|c(\xi)|)e(\xi\cdot x+\theta_\xi)+\tfrac12\sinh(\sigma|c(\xi)|)e(-\xi\cdot x-\theta_\xi)\Big).\] 现在把这个乘积展开，考察它关于 \(x\) 的行为。我们得到大量的项（恰好 \(3^{|S|}\) 个），形如 \(e((v\cdot S)\cdot\xi)\)（这里取 \(S=(\xi_1,\dots,\xi_{|S|})\) 的某个枚举，\(v\in[-1,1]^{|S|}\)）乘以某个与 \(x\) 无关的常数。其中只有一个常数项，即 \(\prod_{\xi\in S}\cosh(\sigma|c(\xi)|)\)；而由于 \(S\) 是解离的，其余所有项的频率向量 \(v\cdot S\) 都非零，从而由傅里叶反演公式积分为零。于是 \[\mathbb{E}_{x\in Z}\exp\!\Big(\sigma\,\mathrm{Re}\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\Big)\le\prod_{\xi\in S}\cosh(\sigma|c(\xi)|),\] 而断言 (4.33) 随即由初等不等式 \(\cosh(x)\le e^{x^2/2}\)（比较 Taylor 级数即得）推出。

由 Markov 不等式我们于是得到 \[\mathbb{P}_{x\in Z}\!\Big(\mathrm{Re}\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\ge\lambda\Big)\le e^{\sigma^2/2}e^{-\sigma\lambda}\] 对每个 \(\lambda\ge0\) 成立；取 \(\sigma:=\lambda\)，得到 \[\mathbb{P}_{x\in Z}\!\Big(\mathrm{Re}\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\ge\lambda\Big)\le e^{-\lambda^2/4}.\] （这里把指数 \(\tfrac{\sigma^2}{2}-\sigma\lambda\) 在 \(\sigma=\lambda\) 处取到 \(-\lambda^2/2\)，已足够给出 \(e^{-\lambda^2/4}\) 量级；原文亦可写 \(\sigma:=\lambda/2\)。）把 \(\lambda\) 换成 \((1-\varepsilon)\lambda\)，并把 \(c(\xi)\) 旋转任意角度 \(e(\theta)\)，得到 \[\mathbb{P}_{x\in Z}\!\Big(\mathrm{Re}\,e(\theta)\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\ge(1-\varepsilon)\lambda\Big)\le e^{-\lambda^2(1-\varepsilon)^2/4}.\] 若让 \(e^{i\theta}\) 取遍有限多个角度（个数依赖于 \(\varepsilon\)）并把这些估计求并，即得 (4.34)。

为得到 (4.35)，我们由恒等式 \[\left\|\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\right\|_{L^p(Z)}^p\le p\int_0^\infty\lambda^{p-1}\,\mathbb{P}_{x\in Z}\!\Big(\Big|\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\Big|\ge\lambda\Big)\,d\lambda\] 以及 (4.34)（比如取 \(\varepsilon=1\)）得到 \[\left\|\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(\xi\cdot x)\right\|_{L^p(Z)}^p=O\!\left(p\int_0^\infty\lambda^{p-1}e^{-\lambda^2/5}\,d\lambda\right).\] 为估计该积分，由初等微积分观察到：被积函数 \(\lambda^{p-1}e^{-\lambda^2/5}\) 在 \(\lambda=O(\sqrt{p})\) 处以 \(O(\sqrt{p})^{p/2}\) 为界，而当 \(\lambda\gg\sqrt{p}\) 时指数衰减。由此容易把被积函数界为 \(p^{O(1)}O(\sqrt{p})^{p/2}\)，结论即得（注意 \(p^{1/p}\) 以 \(e\) 为界）。♦

Rudin 不等式为什么是“Chernoff 的傅里叶版”

回忆概率里的 Chernoff 界：独立随机变量之和 \(\sum X_j\) 的尾概率被 \(e^{-\lambda^2/2}\) 这样的高斯尾压住。证明套路是先控矩母函数 \(\mathbb{E}e^{\sigma\sum X_j}\le\prod\mathbb{E}e^{\sigma X_j}\)（用独立性把期望拆成乘积），再用 Markov + 优化 \(\sigma\)。

这里把“独立性”换成了“解离性”：

  1. 逐项凸性界。对每个频率单独用 \(e^{tx}\le\cosh x+t\sinh x\)，把指数拆成每个 \(\xi\) 一个因子。
  2. 解离 ⇒ 乘积展开后只剩常数项。展开 \(3^{|S|}\) 项，每个非平凡项带一个非零频率 \(v\cdot S\neq0\)（这正是解离的定义在起作用！），对 \(x\) 取平均时积成 \(0\)。于是 \(\mathbb{E}e^{\sigma\,\mathrm{Re}\,f}\le\prod_\xi\cosh(\sigma|c(\xi)|)\)——这正对应 Chernoff 里“期望拆成乘积”。
  3. \(\cosh x\le e^{x^2/2}\) + \(\sum|c|^2\le1\)。乘起来得到 \(e^{\sigma^2/2}\)，即 (4.33)。
  4. Markov + 取 \(\sigma=\lambda\)。得到高斯尾 (4.34)。
  5. 把尾估计沿 \(\lambda\) 积分。由 \(L^p\) 范数 = 尾概率的积分，算出 \(\|S\|_{\Lambda(p)}=O(\sqrt{p})\)，即 (4.35)。

一句话总结：解离性扮演了独立性的角色，让“随机相位的波叠加”表现得像独立随机变量之和，从而服从高斯型集中不等式。

(4.34)：和的幅值超过 \(\lambda\) 的概率被高斯尾 \(e^{-\lambda^2/4}\) 压住 \(\lambda\) \(\mathbb{P}\) \(\sim e^{-\lambda^2/4}\)（快速衰减） 典型尺度 \(O(1)\)
解离集叠出的三角多项式，其取值集中在 \(O(1)\) 量级，超出 \(\lambda\) 的概率以高斯速率 \(e^{-\lambda^2/4}\) 衰减——与独立随机变量之和的 Chernoff 界形状一致。

在接下来的几节里，我们将用 Rudin 不等式来获得对各种频率集合的结构控制。

习题

习题
  1. 4.5.1　证明：集合 \(S\) 的 Λ(p) 常数不依赖于定义傅里叶变换所用的双线性型的选取，且在 \(S\) 的平移与同构下不变。
  2. 4.5.2　对任意 \(2\le p\le\infty\) 及任意不相交的 \(S_1,S_2\)，证明三角不等式：只要 \(S\subseteq S_1\cup S_2\)，就有 \(\|S\|_{\Lambda(p)}\le\|S_1\|_{\Lambda(p)}+\|S_2\|_{\Lambda(p)}\)。
  3. 4.5.3　设 \(\varepsilon\) 是 \(\{-1,1\}\) 上的均匀分布，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N\) 是 \(\varepsilon\) 的独立试验。若 \(c_1,\dots,c_N\) 为任意复数，\(2\le p<\infty\)，证明 Bernstein 不等式 \[\Big(\sum_{j=1}^N|c_j|^2\Big)^{1/2}\le\Big(\mathbb{E}\Big|\sum_{j=1}^N\varepsilon_j c_j\Big|^p\Big)^{1/p}\le O\Big(\sqrt{p}\,\big(\sum_{j=1}^N|c_j|^2\big)^{1/2}\Big).\] （提示：下界算 \(p=2\) 矩；上界仿照引理 4.33 的证明，或对群 \(Z=\mathbb{Z}_2^N\) 应用引理 4.33，其中 \(S\) 取 \(\mathbb{Z}_2^N\) 的标准基。）由此推出：若 \(f_1,\dots,f_N\) 是 \(Z\) 上任意复值函数，则有 Khintchine 不等式 \[\Big\|\big(\sum_{j=1}^N|f_j|^2\big)^{1/2}\Big\|_{L^p(Z)}\le\Big(\mathbb{E}\Big\|\sum_{j=1}^N\varepsilon_j f_j\Big\|_{L^p(Z)}^p\Big)^{1/p}\le O\Big(\sqrt{p}\,\Big\|\big(\sum_{j=1}^N|f_j|^2\big)^{1/2}\Big\|_{L^p(Z)}\Big).\]
  4. 4.5.4　设 \(f:Z_1\times Z_2\to\mathbb{C}\) 是两个非空有限集上的二元函数，\(2\le p<\infty\)。建立 Minkowski 不等式 \[\tag{4.36}\Big(\mathbb{E}_{y\in Z_2}\big(\mathbb{E}_{x\in Z_1}|f(x,y)|^2\big)^{p/2}\Big)^{1/p}\le\Big(\mathbb{E}_{x\in Z_1}\big(\mathbb{E}_{y\in Z_2}|f(x,y)|^p\big)^{2/p}\Big)^{1/2}\] （提示：对 \(L^{p/2}\) 范数用三角不等式。）由此推出 \(\|S\|_{\Lambda(p)}\) 是使 \[\Big\|\big\|\sum_{\xi\in S}c(\xi)e(x,\xi)\big\|_H\Big\|_{L^p(Z)}\le\|S\|_{\Lambda(p)}\big(\sum_{\xi\in S}\|c(\xi)\|_H^2\big)^{1/2}\] 对所有有限维 Hilbert 空间 \(H\) 及所有取值于 \(H\) 的序列 \((c(\xi))_{\xi\in S}\) 成立的最佳常数。利用这一点，推出当 \(S_1,S_2\) 分别是有限加性群 \(Z_1,Z_2\) 中的加性集合且 \(2\le p\le\infty\) 时，\(\|S_1\times S_2\|_{\Lambda(p)}=\|S_1\|_{\Lambda(p)}\|S_2\|_{\Lambda(p)}\)。
  5. 4.5.5　([33],[20]) 设 \(n\ge1\) 为整数，\(Z:=\mathbb{Z}_2^n\)。对 \(\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)\in\mathbb{Z}_2^n\)，记 \(|\xi|\) 为 \(\xi_1,\dots,\xi_n\) 中等于 \(1\) 的系数个数。建立 Bonami–Beckner 不等式 \[\Big\|\sum_{\xi\in Z}\varepsilon^{|\xi|}c(\xi)\Big\|_{L^{1+1/\varepsilon^2}(Z)}\le\|c\|_{\ell^2(Z)}\] 对所有 \(0<\varepsilon<1\) 及所有 \(c\in\ell^2(Z)\) 成立。（提示：先对 \(n=1\) 手算，再用 (4.36) 得到一般情形。）特别地推出：若 \(S_k:=\{\xi\in\mathbb{Z}_2^n:|\xi|=k\}\)，则 \(\|S_k\|_{\Lambda(p)}\le(p-1)^{k/2}\) 对所有 \(2
  6. 4.5.6　设 \(2\le p\le\infty\)，\(S\) 为 \(Z\) 的非空子集。证明 (4.31)。（提示：用 Hausdorff–Young 不等式。）若 \(2
  7. 4.5.7　设 \(S\) 是有限加性群中的加性集合。证明 \(\|S\|_{\Lambda(p)}\ge\min\big(1,\,|Z|^{-1/p}|S|^{1/2}\big)\) 对所有 \(2\le p<\infty\) 成立。事实上，对固定基数随机选取的集合 \(S\subseteq Z\)，这些界本质上是尖锐的：见 [35]。
  8. 4.5.8　设 \(S\) 是有限加性群 \(Z\) 中的 Bh 集合。证明 \(|S|\le|Z|^{1/h}\)。
  9. 4.5.9　完成命题 4.29 的证明。
  10. 4.5.10　设 \(S\) 是 \(Z\) 的加性子集。证明 \(E(S,S)\le\|S\|_{\Lambda(4)}^4|S|^2\)；从而加性集合的加性能量受其 Λ(4) 常数控制。
  11. 4.5.11　设 \(S\) 为加性集合，\(h\ge1\)。设 \(A>0\) 为常数，使得对 \(S\) 的所有非空子集 \(S'\) 有 \(|hS'|\ge|S'|^h/A^{2h}\)。证明 \(\|S\|_{\Lambda(2h)}=O\big(A(1+\log|S|)\big)\)；从而引理 4.30 在让出一个对数因子后可被反转。（提示：先对 \(c\) 为示性函数的情形验证 (4.30)，方法是反转引理 4.30 的证明；对一般的 \(c\)，把 \(c\) 用 \(2\) 的幂划分其取值范围，分解成至多 \(O(1+\log|S|)\) 个与示性函数的常数倍可比的函数，并丢弃 \(c\) 中小于（比如）\(|S|^{-100}\|c\|_{\ell^2}\) 的那些值。）
  12. 4.5.12　([251]) 证明 \(\|S\|_{\Lambda(p)}\) 是使 \(\|\hat f\|_{\ell^2(S)}\le\|S\|_{\Lambda(p)}\|f\|_{L^{p'}(Z)}\) 对所有随机变量 \(f\) 成立的最佳常数，其中 \(p'\) 是 \(p\) 的对偶指数，\(1/p+1/p'=1\)。接着写出 \[\|\hat f\|_{\ell^2(Z)}^2=\frac{|S|}{|Z|}\|f\|_{L^2(Z)}^2+\mathbb{E}_{x,y\in Z}f(x)\overline{f(y)}\mathbb{I}(x\ne y)\sum_{\xi\in S}e(\xi\cdot(x-y)),\] 并观察不等式 \[\Big|\mathbb{E}_{x,y\in Z}f(x)\overline{g(y)}\mathbb{I}(x\ne y)\sum_{\xi\in S}e(\xi\cdot(x-y))\Big|\le\|f\|_{L^2(Z)}\|g\|_{L^2(Z)}\] 与 \[\Big|\mathbb{E}_{x,y\in Z}f(x)\overline{g(y)}\mathbb{I}(x\ne y)\sum_{\xi\in S}e(\xi\cdot(x-y))\Big|\le|Z|\|S\|_u\|f\|_{L^1(Z)}\|g\|_{L^1(Z)}.\] 用 Riesz–Thorin 插值（或仿习题 4.2.3）推出 \[\Big|\mathbb{E}_{x,y\in Z}f(x)\overline{g(y)}\mathbb{I}(x\ne y)\sum_{\xi\in S}e(\xi\cdot(x-y))\Big|\le(|Z|\|S\|_u)^{1-2/p}\|f\|_{L^p(Z)}\|g\|_{L^p(Z)}.\] 由此推出 Tomas–Stein 不等式 \[\|S\|_{\Lambda(p)}^2\le|S||Z|^{-2/p}+(\|S\|_u|Z|)^{1-2/p}\] （与 (4.31) 比较）。从而傅里叶一致的集合往往有相当小的 Λ(p) 常数。另见引理 10.22。

脚注　¹ 这里用“Sidon 集合”指其两两之和全不相交的集合。还有另一个更偏傅里叶分析的“Sidon 集合”概念（与 Λ(p) 常数相关），本书不予讨论。　² 也可以为整数集或更一般的加性群的子集定义 Λ(p) 常数的概念，但本书不需要。

返回 全书目录