Tao–Vu · 加性组合学 · 第 4 章 傅里叶分析方法

4.6　加性集的谱The spectrum of an additive set

本页为译文 + 讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 定义 / 引理 / 命题 / 定理 / 例 / 分步推演）与配图为面向高中生的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。本节是全章里偏难的一节，讲解会把每一步的动机都讲清楚。

本节目标给加性集合 \(A\) 引入一个叫做谱（spectrum）的工具：把 \(A\) 的傅里叶变换里那些“特别大”的频率收集起来。我们要回答：当 \(A\) 很有“加法结构”（比如和集 \(|A+A|\) 很小、或加性能量 \(E(A,A)\) 很大）时，它的谱长什么样？谱不仅个数可控，还近似地构成一个结构化集合（被一个“立方体”覆盖），并且对加法近似封闭。最后用这套机器证明一个漂亮的应用：Bourgain–Konyagin 关于高斯和的估计。

记号约定（先读这一条）本节沿用本章的傅里叶记号，都是面向高中生的“翻译”：
  • \(Z\)：一个有限交换加法群（你可以想成 \(\mathbb{Z}_N=\{0,1,\dots,N-1\}\) 上的加法，模 \(N\)）。
  • \(e(t):=e^{2\pi i t}\)：复平面单位圆上的点，\(t\) 转一圈回到原处。\(\operatorname{Re}e(t)=\cos(2\pi t)\)。
  • \(1_A\)：\(A\) 的指示函数，\(x\in A\) 时取 \(1\)，否则取 \(0\)。
  • \(P_Z(A):=|A|/|Z|\)：\(A\) 在 \(Z\) 中的密度（“随机取一个点落进 \(A\) 的概率”）。
  • \(\widehat{1_A}(\xi)\)：\(A\) 的傅里叶系数，\(\widehat{1_A}(\xi)=\mathbb{E}_{x\in Z}\,1_A(x)\,\overline{e(\xi\cdot x)}\)。其中 \(\xi\cdot x\) 是一个固定的非退化对称双线性型（在 \(\mathbb{Z}_p\) 上就取 \(\xi\cdot x=\xi x/p\)）。
  • 两条关键恒等式：\(\widehat{1_A}(0)=P_Z(A)\)（零频系数就是密度，且它是所有系数里最大的）；Plancherel 等式 \(\displaystyle\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^2=P_Z(A)\)；以及 \(\displaystyle\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^4=\frac{E(A,A)}{|Z|^3}\)，这里 \(E(A,A)\) 是 \(A\) 的加性能量。

我们现在用傅里叶分析来考察那些具有大加性能量 \(E(A,A)\) 的加性集 \(A\) 的谱性质；这类集合的例子包括和集 \(|A+A|\) 较小、或差集 \(|A-A|\) 较小的集合（参见 (2.8)）。从诸如 (4.23) 这样的估计已经可以推出：这种集合必定是高度非一致（non‑uniform）的，也就是说 \(1_A\) 含有非平凡的傅里叶系数。然而，仅凭这一点还不是关于这类集合所能给出的最强的傅里叶分析陈述。为了走得更远，引入一个集合的 \(\alpha\)-谱（\(\alpha\)-spectrum）这一概念会很方便。

定义 4.34（谱 Spectrum）设 \(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的一个加性集，\(Z\) 上配有一个非退化对称双线性型 \(\cdot\)，又设 \(\alpha\in\mathbb{R}\) 为一个参数。我们定义 \(\alpha\)-谱 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)\subseteq Z\) 为集合 \[\operatorname{Spec}_\alpha(A):=\bigl\{\xi\in Z:\ |\widehat{1_A}(\xi)|\ \ge\ \alpha\,P_Z(A)\bigr\}.\] 也可以不借助双线性型 \(\cdot\) 来定义这个谱，但那样它就会是 Pontryagin 对偶群 \(\widehat Z\) 的子集，而不是 \(Z\) 的子集。

从引理 4.9 我们看到：集合 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)\) 是对称的（即关于原点对称），关于 \(\alpha\) 是递减的（\(\alpha\) 越大门槛越高、入选的频率越少），当 \(\alpha>1\) 时为空，当 \(\alpha\le1\) 时含有原点，并且当 \(\alpha\le0\) 时就是整个空间 \(Z\)。因此谱真正有意思的范围是 \(0<\alpha\le1\)。在极端情形 \(\alpha=1\) 时，谱成为一个群，见习题 4.6.2。

把定义读懂：谱就是“高个子频率”的名单 傅里叶把 \(1_A\) 拆成许多频率 \(\xi\) 的贡献，每个频率有一个“强度” \(|\widehat{1_A}(\xi)|\)。我们设一条水平门槛线 \(\alpha P_Z(A)\)，凡是强度够到门槛的频率，就被收进 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)\)。
  • 零频 \(\xi=0\) 永远最高：\(|\widehat{1_A}(0)|=P_Z(A)\)。门槛是 \(\alpha P_Z(A)\)，所以只要 \(\alpha\le1\)，\(0\) 一定入选。
  • \(\alpha\) 调大 → 门槛抬高 → 入选的少；\(\alpha\) 调小 → 门槛降低 → 入选的多。这就是“关于 \(\alpha\) 递减”。
  • \(\alpha>1\) 时门槛比最高峰还高，谁都够不着，谱为空。
强度 频率 ξ 门槛 \(\alpha P_Z(A)\) ξ=0
深蓝色的“高个子”频率（强度够到红色门槛线）组成 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)\)。零频 \(\xi=0\) 是最高的那根。把门槛线上下移动，对应于改变 \(\alpha\)。

由 (4.16)（以及 Markov 不等式）我们得到关于 \(\alpha\)-谱基数的上界 \[|\operatorname{Spec}_\alpha(A)|\ \le\ \alpha^{-2}/P_Z(A).\tag{4.37}\] 事实上，我们可以用 Rudin 不等式得到一个更精确的结构性陈述，其中关于 \(P_Z(A)\) 的多项式损失被替换为对数损失。为证明这一陈述，我们先需要一个简单的引理（参见推论 1.42）。

(4.37) 的来历：一次 Markov 计数 为什么入选的频率不会太多？因为所有强度的平方加起来是有限的（Plancherel）。
  1. Plancherel：\(\displaystyle\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^2=P_Z(A)\)。这是“总能量”的预算。
  2. 每个入选频率 \(\xi\in\operatorname{Spec}_\alpha(A)\) 满足 \(|\widehat{1_A}(\xi)|\ge\alpha P_Z(A)\)，平方后 \(|\widehat{1_A}(\xi)|^2\ge\alpha^2 P_Z(A)^2\)。
  3. 把入选频率的平方加起来：\(|\operatorname{Spec}_\alpha(A)|\cdot\alpha^2 P_Z(A)^2\le\sum_{\xi}|\widehat{1_A}(\xi)|^2=P_Z(A)\)。
  4. 除一下：\(|\operatorname{Spec}_\alpha(A)|\le\dfrac{P_Z(A)}{\alpha^2 P_Z(A)^2}=\dfrac{\alpha^{-2}}{P_Z(A)}\)。这就是 (4.37)。♦
注意这里的 \(1/P_Z(A)\) 因子可能很大（\(A\) 稀疏时 \(P_Z(A)\) 很小）。接下来的两条引理就是要把这个“多项式损失”改进成“对数损失”，并揭示谱的几何结构。

谱被一个“立方体”覆盖

引理 4.35（立方体覆盖引理 Cube covering lemma）[36]设 \(S\) 是某个环境群 \(Z\) 中的加性集，\(d\ge1\) 为整数。则我们可以把 \(S\) 划分为 \[S=D_1\cup\cdots\cup D_k\cup R,\] 其中 \(D_1,\dots,D_k\) 是 \(S\) 的两两不相交的无关联（dissociated）子集，每个的基数为 \(d+1\)，而剩余集 \(R\) 被包含在某个立方体 \([-1,1]^d\cdot(\eta_1,\dots,\eta_d)\) 中，这里 \(\eta_1,\dots,\eta_d\in Z\)。
名词解释：无关联集 / 立方体
  • 无关联集：一组元素 \(\{v_1,\dots,v_m\}\) 称为无关联的，如果它们之间没有任何 ±1/0 的线性关系——即只要 \(\varepsilon_1 v_1+\cdots+\varepsilon_m v_m=0\) 且每个 \(\varepsilon_i\in\{-1,0,1\}\)，就必然全部 \(\varepsilon_i=0\)。直觉上它们“互相独立、撑得很开”。
  • 立方体 \([-1,1]^d\cdot(\eta_1,\dots,\eta_d):=\bigl\{\sum_{i=1}^d\varepsilon_i\eta_i:\ \varepsilon_i\in\{-1,0,1\}\bigr\}\)：用 \(d\) 个“生成方向” \(\eta_i\)，每个方向取系数 \(-1,0,+1\)，所能拼出的全部点。它至多有 \(3^d\) 个元素，是一个很“规整”的结构化集合。
证明. 我们使用贪心算法。初始令 \(k=0\)。只要能在（当前的）\(S\) 中找到一个基数为 \(d+1\) 的无关联子集 \(D\)，就把它从 \(S\) 中取出，加进集族 \(D_1,\dots,D_k\)，并令 \(k\) 增加 \(1\)。如此持续进行，直到剩下一个余集 \(R\)，使得 \(R\) 中所有无关联子集的基数都 \(\le d\)。设 \(\{\eta_1,\dots,\eta_{d'}\}\) 是 \(R\) 中一个基数最大的无关联子集，于是 \(d'\le d\)。注意：若 \(R\) 中含有某个元素 \(\xi\) 不在 \([-1,1]^{d'}\cdot(\eta_1,\dots,\eta_{d'})\) 中，那么 \(\{\eta_1,\dots,\eta_{d'},\xi\}\) 将仍然是无关联的，这与 \(d'\) 的最大性矛盾。因此 \(R\subseteq[-1,1]^{d'}\cdot(\eta_1,\dots,\eta_{d'})\)，结论得证（如有必要，用一些“哑元” \(\eta_{d'+1},\dots,\eta_d\) 把数列补满到 \(d\) 个）。♦
为什么“够不着 = 能扩大” 证明里最关键的一步是：若 \(\xi\notin[-1,1]^{d'}\cdot(\eta_1,\dots,\eta_{d'})\)，则 \(\{\eta_1,\dots,\eta_{d'},\xi\}\) 无关联。
  1. 假设它有关联，即存在不全为零的 \(\varepsilon_i,\delta\in\{-1,0,1\}\) 使 \(\delta\,\xi+\sum_i\varepsilon_i\eta_i=0\)。
  2. 若 \(\delta=0\)，则 \(\sum\varepsilon_i\eta_i=0\) 是 \(\{\eta_i\}\) 自身的非平凡关系，与 \(\{\eta_i\}\) 无关联矛盾。故 \(\delta=\pm1\)。
  3. 于是 \(\xi=\mp\sum_i\varepsilon_i\eta_i\)，即 \(\xi\) 落在立方体 \([-1,1]^{d'}\cdot(\eta_1,\dots,\eta_{d'})\) 里——与假设“\(\xi\) 够不着这个立方体”矛盾。
  4. 所以 \(\xi\) 一旦在立方体外，加进来就保持无关联，集合就能扩大；既然 \(d'\) 已是最大，余集里就没有立方体外的点，即 \(R\) 整个被立方体覆盖。♦
集合 S 的划分 D₁ (d+1) D₂ (d+1) ⋯ Dₖ (d+1) 余集 R ⊆ 立方体 [-1,1]ᵈ·(η₁,…,η_d)
贪心地不断挖出基数 \(d+1\) 的无关联块 \(D_1,\dots,D_k\)；挖不动时，剩下的 \(R\) 被一个最多 \(3^d\) 个点的立方体盖住。
引理 4.36（傅里叶集中引理 Fourier concentration lemma）[48]设 \(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的加性集，\(0<\alpha\le1\)。则存在 \[d=O\!\Bigl(\alpha^{-2}\bigl(1+\log\tfrac{1}{P_Z(A)}\bigr)\Bigr)\] 以及频率 \(\eta_1,\dots,\eta_d\in Z\)，使得 \[\operatorname{Spec}_\alpha(A)\subseteq[-1,1]^d\cdot(\eta_1,\dots,\eta_d).\] 这一结果在许多意义下本质上是最优的；见 [146]。

只需证明：对每个相位 \(\theta\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}\)，集合 \[S_\theta:=\Bigl\{\xi\in Z:\ \operatorname{Re}\bigl(e(\theta)\,\widehat{1_A}(\xi)\bigr)\ \ge\ \tfrac{\alpha}{2}P_Z(A)\Bigr\}\] 可以被包含在所需形式的一个数列（立方体）中。这是因为，由定义 4.34 可见 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)\) 被包含在有界个这样的 \(S_\theta\) 之并里，而我们只需把这些立方体全部加起来即可（这里把 \(S_\theta\) 定义中的门槛取成 \(\alpha/2\) 而非 \(\alpha\) 是关键的）。

为什么 \(\operatorname{Spec}_\alpha\) 被有限个 \(S_\theta\) 盖住 若 \(\xi\in\operatorname{Spec}_\alpha(A)\)，则 \(|\widehat{1_A}(\xi)|\ge\alpha P_Z(A)\)。复数 \(\widehat{1_A}(\xi)\) 有某个辐角，总能选一个相位 \(\theta\) 把它“转正”，使 \(\operatorname{Re}(e(\theta)\widehat{1_A}(\xi))\) 接近 \(|\widehat{1_A}(\xi)|\)。粗糙地说，把整个相位圆 \([0,1)\) 分成有限段（比如几十段），每段取一个代表 \(\theta\)，就能保证：任何 \(\xi\in\operatorname{Spec}_\alpha\) 在某个代表相位下都有 \(\operatorname{Re}(e(\theta)\widehat{1_A}(\xi))\ge\frac{\alpha}{2}P_Z(A)\)，即落入对应的 \(S_\theta\)。于是 \(\operatorname{Spec}_\alpha\) 被有限个 \(S_\theta\) 覆盖，分别盖住再合并即可。门槛打了对折 \(\alpha\to\alpha/2\) 正是为了给这种“相位四舍五入”留出余地。
证明. 固定 \(\theta\)。由引理 4.35，只需证明：对 \(S_\theta\) 中所有无关联集 \(S'\)，都有 \[|S'|\ \le\ C\alpha^{-2}\Bigl(1+\log\tfrac{1}{P_Z(A)}\Bigr).\] （一旦无关联子集的大小被这样卡住，引理 4.35 中的 \(d\) 也就被卡在同一量级，余集落入立方体。） 但若 \(S'\subseteq S_\theta\)，则由 \(S_\theta\) 的定义， \[\operatorname{Re}\ e(\theta)\sum_{\xi\in S'}\widehat{1_A}(\xi)\ \ge\ \tfrac{\alpha}{2}P_Z(A)\,|S'|.\] 令 \(f(x):=\dfrac{1}{|S'|^{1/2}}\sum_{\xi\in S'}e(x\cdot\xi)\) 为 \(1_{S'}\)（把 \(S'\) 看成频率集）的归一化逆傅里叶变换；则由 (4.3) 上式左端等于 \(\operatorname{Re}\ e(\theta)\,|S'|^{1/2}\,\mathbb{E}_Z\,1_A\,\overline{f}\)。于是我们有 \[\mathbb{E}_Z\,1_A\,|f|\ \ge\ \tfrac{\alpha}{2}P_Z(A)\,|S'|^{1/2}.\] 左端可改写为（参见 (1.6) 的“层蛋糕”公式） \[\mathbb{E}_Z\,1_A\,|f|=\int_0^\infty \mathbb{P}_{x\in Z}\bigl(x\in A;\ |f(x)|\ge\lambda\bigr)\,d\lambda.\] 为界定 \(\mathbb{P}_{x\in Z}(x\in A;\ |f(x)|\ge\lambda)\)，我们既可以用平凡上界 \(P_Z(A)\)，也可以用 (4.34)（Rudin 不等式）得到形如 \(Ce^{-\lambda^2/5}\) 的上界。于是 \[\int_0^\infty \min\!\bigl(P_Z(A),\ Ce^{-\lambda^2/5}\bigr)\,d\lambda\ \ge\ \tfrac{\alpha}{2}P_Z(A)\,|S'|^{1/2}.\] 左端至多为 \(C\,P_Z(A)\bigl(1+\log^{1/2}\tfrac{1}{P_Z(A)}\bigr)\)，结论随之而来。♦
那个积分为什么是 \(P_Z(A)(1+\log^{1/2}\frac1{P_Z(A)})\) 被积函数是两条曲线的较小者：常数 \(P_Z(A)\) 与衰减的 \(Ce^{-\lambda^2/5}\)。
  1. 当 \(\lambda\) 小时，\(Ce^{-\lambda^2/5}\) 较大，取常数 \(P_Z(A)\)。两条线在 \(\lambda_0\) 处相交，\(Ce^{-\lambda_0^2/5}=P_Z(A)\Rightarrow\lambda_0\approx\sqrt{5\log\frac{C}{P_Z(A)}}\)。
  2. \(0\le\lambda\le\lambda_0\) 段积分 \(\approx P_Z(A)\cdot\lambda_0\approx P_Z(A)\log^{1/2}\frac1{P_Z(A)}\)。
  3. \(\lambda\ge\lambda_0\) 段积分 \(\int_{\lambda_0}^\infty Ce^{-\lambda^2/5}d\lambda\) 是一个被 \(P_Z(A)\) 控制的小量。
  4. 两段相加 \(\lesssim P_Z(A)(1+\log^{1/2}\frac1{P_Z(A)})\)。代回上面的不等式，约去 \(P_Z(A)\)、再平方，就得到 \(|S'|\lesssim\alpha^{-2}(1+\log\frac1{P_Z(A)})\)。♦
对比 (4.37) 的 \(1/P_Z(A)\)（多项式损失），这里只剩 \(\log\frac1{P_Z(A)}\)（对数损失）——这正是 Rudin 不等式带来的巨大改进。

谱对加法近似封闭

上面的引理暗示谱具有某种加法结构。下面 \(\alpha\)-谱在加法下的封闭性证实了这一点。

引理 4.37设 \(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的加性集，\(\varepsilon,\varepsilon'>0\)。则有 \[\operatorname{Spec}_{1-\varepsilon}(A)+\operatorname{Spec}_{1-\varepsilon'}(A)\ \subseteq\ \operatorname{Spec}_{1-2(\varepsilon+\varepsilon')}(A).\tag{4.38}\] 类似地，对任意 \(0<\alpha\le1\) 以及任意非空 \(S\subseteq\operatorname{Spec}_\alpha(A)\)，有 \[\Bigl|\bigl\{(\xi_1,\xi_2)\in S\times S:\ \xi_1-\xi_2\in\operatorname{Spec}_{\alpha^2/2}(A)\bigr\}\Bigr|\ \ge\ \tfrac{\alpha^2}{2}\,|S|^2.\tag{4.39}\] 本引理的 \(\varepsilon=0\) 情形见习题 4.6.2。本引理应与引理 2.33 对照。事实上，谱 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)\) 与对称集 \(\operatorname{Sym}_\alpha(A)\) 之间有很强的类比，二者在启发意义上互为对偶。

证明 (4.38). 设 \(\xi\in\operatorname{Spec}_{1-\varepsilon}\)，\(\xi'\in\operatorname{Spec}_{1-\varepsilon'}\)，则存在相位 \(\theta,\theta'\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 使得 \[\operatorname{Re}\,\mathbb{E}_{x\in Z}\,e(\xi\cdot x+\theta)\,1_A(x)\ \ge\ (1-\varepsilon)P_Z(A);\] \[\operatorname{Re}\,\mathbb{E}_{x\in Z}\,e(\xi'\cdot x+\theta')\,1_A(x)\ \ge\ (1-\varepsilon')P_Z(A).\] 由于 \(\operatorname{Re}\,\mathbb{E}_{x\in Z}\,1_A=P_Z(A)\)，将“两份第一式 + 两份第二式 − 三份 \(1_A\)”组合起来便得 \[\operatorname{Re}\,\mathbb{E}_{x\in Z}\bigl[2e(\xi\cdot x+\theta)+2e(\xi'\cdot x+\theta')-3\bigr]1_A(x)\ \ge\ \bigl(1-2(\varepsilon+\varepsilon')\bigr)P_Z(A).\] 为推出 \(\xi+\xi'\in\operatorname{Spec}_{1-2(\varepsilon+\varepsilon')}(A)\)，只需建立如下逐点估计 \[\operatorname{Re}\bigl[2e(\xi\cdot x+\theta)+2e(\xi'\cdot x+\theta')-3\bigr]\ \le\ \operatorname{Re}\bigl[e^{i(\theta+\theta')}e\bigl(x\cdot(\xi+\xi')\bigr)\bigr].\] 记 \(e(\xi\cdot x+\theta)=e^{i\beta}\) 与 \(e(\xi'\cdot x+\theta')=e^{i\beta'}\)，其中 \(-\pi/2\le\beta,\beta'\le\pi/2\)，于是化归为证明 \[2\cos\beta+2\cos\beta'-3\ \le\ \cos(\beta+\beta').\] 但由 \(\cos\) 在 \([-\pi/2,\pi/2]\) 上的凹性（即 \(\cos\beta+\cos\beta'\le 2\cos\frac{\beta+\beta'}{2}\)），有 \[2\cos\beta+2\cos\beta'-3\ \le\ 4\cos\tfrac{\beta+\beta'}{2}-3 =\ 2\cos^2\tfrac{\beta+\beta'}{2}-1\ -\ 2\Bigl(1-\cos\tfrac{\beta+\beta'}{2}\Bigr)^2\ \le\ \cos(\beta+\beta'),\] 正如所需（这里用到 \(2\cos^2\frac{\beta+\beta'}{2}-1=\cos(\beta+\beta')\)，且去掉了非负的平方项）。♦
逐点不等式的代数验证 设 \(\gamma=\frac{\beta+\beta'}{2}\)，要证 \(4\cos\gamma-3\le\cos 2\gamma\)。
  1. 用倍角公式 \(\cos2\gamma=2\cos^2\gamma-1\)，不等式等价于 \(0\le 2\cos^2\gamma-4\cos\gamma+2\)。
  2. 右端 \(=2(\cos\gamma-1)^2\ge0\)，恒成立！当 \(\cos\gamma=1\)（即 \(\beta=\beta'=0\)）时取等。
  3. 再用凹性 \(2\cos\beta+2\cos\beta'\le4\cos\gamma\)，把两步串起来就得到 \(2\cos\beta+2\cos\beta'-3\le\cos(\beta+\beta')\)。♦
这一步的意义：它把“\(\xi\) 几乎满相位、\(\xi'\) 几乎满相位”这一信息，逐点地传给了 \(\xi+\xi'\)，从而证明谱（接近 \(\alpha=1\) 时）对加法封闭——代价是门槛从 \(1-\varepsilon,1-\varepsilon'\) 退化到 \(1-2(\varepsilon+\varepsilon')\)。
−π/2 0 π/2 y=cos β β′ cos((β+β′)/2)
凹性：弦（红虚线）的中点恒在曲线下方，故 \(\frac{\cos\beta+\cos\beta'}{2}\le\cos\frac{\beta+\beta'}{2}\)。这正是逐点不等式的几何核心。
证明 (4.39)（归功于 Bourgain [41]）. 对 \(\xi\in S\) 设 \(a(\xi):=\operatorname{sgn}\bigl(\overline{\widehat{1_A}(\xi)}\bigr)\)（即把每个系数“转正”的单位相位）；于是 \[\mathbb{E}_{x\in Z}\Bigl[\sum_{\xi\in S}a(\xi)e(\xi\cdot x)\Bigr]1_A(x)=\sum_{\xi\in S}|\widehat{1_A}(\xi)|\ \ge\ \alpha\,P_Z(A)\,|S|.\] 应用 Cauchy–Schwarz（并用 \(\mathbb{E}_x 1_A=P_Z(A)\)），得 \[\mathbb{E}_{x\in Z}\Bigl|\sum_{\xi\in S}a(\xi)e(\xi\cdot x)\Bigr|^2 1_A(x)\ \ge\ \alpha^2\,P_Z(A)\,|S|^2.\] 但左端可重排为 \[\sum_{\xi_1,\xi_2\in S}a(\xi_1)\overline{a(\xi_2)}\,\widehat{1_A}(\xi_1-\xi_2),\] 故由三角不等式有 \[\sum_{\xi_1,\xi_2\in S}|\widehat{1_A}(\xi_1-\xi_2)|\ \ge\ \alpha^2\,P_Z(A)\,|S|^2.\] 特别地（参见习题 1.1.4），把那些 \(\xi_1-\xi_2\notin\operatorname{Spec}_{\alpha^2/2}(A)\) 的项（每项 \(<\frac{\alpha^2}{2}P_Z(A)\)，至多 \(|S|^2\) 项，合计 \(<\frac{\alpha^2}{2}P_Z(A)|S|^2\)）扣除，得 \[\sum_{\substack{\xi_1,\xi_2\in S\\ \xi_1-\xi_2\in\operatorname{Spec}_{\alpha^2/2}(A)}}|\widehat{1_A}(\xi_1-\xi_2)|\ \ge\ \tfrac{\alpha^2}{2}\,P_Z(A)\,|S|^2.\] 又因每个系数 \(\le|\widehat{1_A}(0)|=P_Z(A)\)，所以满足条件的对子个数至少为 \(\frac{\alpha^2}{2}|S|^2\)，于是 (4.39) 得证。♦
(4.39) 在说什么 它说：在谱里随便挑一堆频率 \(S\)，从中取一对差 \(\xi_1-\xi_2\)，那么相当多（占比 \(\ge\frac{\alpha^2}{2}\)）的差仍然落在谱里（门槛降到 \(\alpha^2/2\)）。换句话说，谱里的元素“做差”后大概率还在谱里——这是“谱有加法结构”的定量版本，也是后面证明定理 4.41 时驱动迭代的引擎。

小和集 ⇒ 大谱

现在我们证明：小和集会逼出大谱（参见习题 4.3.9，或下面的习题 4.6.3）。

引理 4.38设 \(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的加性集，\(0<\alpha\le1\)。对任意整数 \(n,m\ge0\) 且 \((n,m)\ne(0,0)\)，有和集的下界 \[|nA-mA|\ \ge\ \frac{|A|}{|\operatorname{Spec}_\alpha(A)|\,P_Z(A)+\alpha^{2(n+m)-2}}.\]
证明. 不妨取 \(n,m\ge0\)。考虑函数 \[f=\underbrace{1_A*\cdots*1_A}_{n\text{ 个}}*\underbrace{1_{-A}*\cdots*1_{-A}}_{m\text{ 个}},\] 即把 \(n\) 份 \(A\) 与 \(m\) 份 \(-A\) 卷积。则 \(f\) 非负，且支撑在 \(nA-mA\) 上，因此由 Cauchy–Schwarz \[\mathbb{E}_Z\,f\ \le\ P_Z(nA-mA)^{1/2}\,(\mathbb{E}_Z\,|f|^2)^{1/2}.\] 由 (4.10) 有 \(\mathbb{E}_Z\,f=P_Z(A)^{n+m}\)。由 (4.9) 与 (4.17) 有 \(\widehat f=\widehat{1_A}^{\,n}\,\overline{\widehat{1_A}}^{\,m}\)，故 \(|\widehat f(\xi)|=|\widehat{1_A}(\xi)|^{\,n+m}\)。把这些与 (4.2)（Plancherel）结合，便得 \[|nA-mA|\ \ge\ \frac{|Z|\,P_Z(A)^{2(n+m)}}{\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^{2(n+m)}}.\] 但 \[\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^{2(n+m)} =\underbrace{\sum_{\xi\in\operatorname{Spec}_\alpha(A)}}_{|\widehat{1_A}|\le P_Z(A)}|\widehat{1_A}(\xi)|^{2(n+m)} +\underbrace{\sum_{\xi\notin\operatorname{Spec}_\alpha(A)}}_{|\widehat{1_A}|<\alpha P_Z(A)}|\widehat{1_A}(\xi)|^{2(n+m)}\] \[\le\ P_Z(A)^{2(n+m)}\,|\operatorname{Spec}_\alpha(A)|\ +\ \alpha^{2(n+m)-2}P_Z(A)^{2(n+m)-2}\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^2\] \[\le\ P_Z(A)^{2(n+m)}\,|\operatorname{Spec}_\alpha(A)|\ +\ \alpha^{2(n+m)-2}P_Z(A)^{2(n+m)-1},\] 代回并约去（注意 \(|A|=|Z|P_Z(A)\)）即得结论。♦
证明的逻辑骨架
  1. 用支撑做约束：\(f\) 只在 \(nA-mA\) 上非零，所以 \(f\) 的“一阶矩”被支撑大小卡住（Cauchy–Schwarz）。
  2. 一阶矩 = \(P_Z(A)^{n+m}\)：卷积的平均就是各因子平均之积，每个 \(\mathbb{E}1_A=\mathbb{E}1_{-A}=P_Z(A)\)。
  3. 二阶矩 = 频率端求和：卷积在频率端变成相乘，配合 Plancherel，二阶矩 \(=\sum_\xi|\widehat{1_A}(\xi)|^{2(n+m)}\)。
  4. 谱内/谱外两段：谱内每项 \(\le P_Z(A)^{2(n+m)}\)，个数 \(=|\operatorname{Spec}_\alpha|\)；谱外每项被 \(\alpha\) 压小，求和靠 Plancherel 收住。
  5. 结论：若谱很小（\(|\operatorname{Spec}_\alpha|\) 小），分母就小，\(|nA-mA|\) 就大——逆否即“\(nA-mA\) 小 ⇒ 谱大”。♦

逆问题：用 Bohr 集逼近 \(A\)

现在我们考虑如下逆向问题：如果 \(A\) 具有加法结构——意思是它的能量 \(E(A,A)\) 大，或者差集 \(|A-A|\) 小——是否有可能用一个 Bohr 集来逼近 \(A\)（或与之密切相关的集合）？我们给出两个此类结果：一个把一个相对大的 Bohr 集放进 \(2A-2A\) 里，另一个把 \(A-A\) 放进一个相对小的 Bohr 集里。我们先给出前者，其主要想法可追溯到 Bogolyubov。

名词：Bohr 集 \(\operatorname{Bohr}(S,\rho)\) 是由“在 \(S\) 中所有频率上都几乎不旋转”的点 \(x\) 组成的集合。本节出现两种写法（由 (4.24) 互相换算）：用 \(\operatorname{Re}e(\xi\cdot x)>\frac12\)（命题 4.39，半径 \(\frac16\)，因 \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\)），或用 \(|e(\xi\cdot x)-1|\le\rho\)（命题 4.40）。直觉：\(x\) 落在 Bohr 集里，意味着所有重要频率 \(\xi\) 看 \(x\) 都“近乎原地不动”，于是这些频率上的振荡都是建设性叠加。
命题 4.39 [295]设 \(0<\alpha\le1\)，\(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的加性集，满足 \(E(A,A)\ge4\alpha^2|A|^3\)。则有包含关系 \[\operatorname{Bohr}\!\Bigl(\operatorname{Spec}_\alpha(A),\tfrac16\Bigr)\ \subseteq\ 2A-2A.\tag{4.40}\]
证明. 设 \(x\) 为 Bohr 集 \(\operatorname{Bohr}(\operatorname{Spec}_\alpha(A),\frac16)\) 的任一元素，于是对所有 \(\xi\in\operatorname{Spec}_\alpha(A)\) 有 \(\operatorname{Re}\,e(\xi\cdot x)>\frac12\)。为证 \(x\in2A-2A\)，只需证明 \(1_A*1_A*1_{-A}*1_{-A}(x)\ne0\)。但由 (4.4)、(4.9)、(4.17) 有 \[1_A*1_A*1_{-A}*1_{-A}(x)=\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^4\,e(\xi\cdot x).\] 对两边取实部，并对 \(x\) 使用假设，得 \[\begin{aligned} 1_A*1_A*1_{-A}*1_{-A}(x) &=\sum_{\xi\in\operatorname{Spec}_\alpha(A)}|\widehat{1_A}(\xi)|^4\operatorname{Re}e(\xi\cdot x)+\sum_{\xi\notin\operatorname{Spec}_\alpha(A)}|\widehat{1_A}(\xi)|^4\operatorname{Re}e(\xi\cdot x)\\ &\ge\ \tfrac12\sum_{\xi\in\operatorname{Spec}_\alpha(A)}|\widehat{1_A}(\xi)|^4-\sum_{\xi\notin\operatorname{Spec}_\alpha(A)}|\widehat{1_A}(\xi)|^4\\ &=\ \tfrac12\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^4-\tfrac32\sum_{\xi\notin\operatorname{Spec}_\alpha(A)}|\widehat{1_A}(\xi)|^4\\ &\ge\ \tfrac12\,\frac{E(A,A)}{|Z|^3}-\tfrac32\,\alpha^2P_Z(A)^2\sum_{\xi\in Z}|\widehat{1_A}(\xi)|^2\\ &\ge\ \tfrac12\,\frac{E(A,A)}{|Z|^3}-\tfrac32\,\alpha^2P_Z(A)^3\ >\ 0, \end{aligned}\] 正如所需，最后一步用到了关于 \(\alpha\) 的假设。♦
把每个 \(\ge\) 都讲明白
  1. 第一行 → 第二行：谱内 \(\operatorname{Re}e(\xi\cdot x)>\frac12\)（建设性），把它换成 \(\frac12\) 是下界；谱外 \(\operatorname{Re}e(\xi\cdot x)\ge-1\)（最坏全抵消），换成 \(-1\)。
  2. 第二行 → 第三行：用 \(\sum_{\rm spec}=\sum_Z-\sum_{\rm out}\) 合并：\(\frac12(\sum_Z-\sum_{\rm out})-\sum_{\rm out}=\frac12\sum_Z-\frac32\sum_{\rm out}\)。
  3. 第三行 → 第四行：能量恒等式 \(\sum_Z|\widehat{1_A}|^4=E(A,A)/|Z|^3\)；谱外 \(|\widehat{1_A}|^2<\alpha^2P_Z(A)^2\)，故 \(|\widehat{1_A}|^4<\alpha^2P_Z(A)^2|\widehat{1_A}|^2\)。
  4. 第四行 → 第五行：Plancherel \(\sum_Z|\widehat{1_A}|^2=P_Z(A)\)。
  5. 最后 \(>0\)：假设 \(E(A,A)\ge4\alpha^2|A|^3\Rightarrow\frac{E(A,A)}{|Z|^3}\ge4\alpha^2P_Z(A)^3\)。代入：\(\frac12\cdot4\alpha^2P_Z(A)^3-\frac32\alpha^2P_Z(A)^3=\frac12\alpha^2P_Z(A)^3>0\)。♦
为何能推出 \(x\in2A-2A\)：\(1_A*1_A*1_{-A}*1_{-A}(x)\) 恰好数的是把 \(x\) 写成 \(a_1+a_2-a_3-a_4\)（\(a_i\in A\)）的方法数。它 \(>0\) 就意味着至少有一种这样的写法，即 \(x\in 2A-2A\)。
2A − 2A（较大） Bohr(Spec_α(A), 1/6) （结构化、相对大）
Bogolyubov 型结论 (4.40)：当能量大时，谱所定义的 Bohr 集（绿，结构非常规整）被整个塞进 \(2A-2A\)（蓝）。这给 \(2A-2A\) 注入了清晰的结构。

现在我们给出一个反向的包含关系，它适用于差集常数 \(\delta[A]\) 较小的集合，但要求谱的门槛取得非常高（接近 \(1\)）。

命题 4.40设 \(K\ge1\)。若 \(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的加性集，满足 \(|A-A|\le K|A|\)（即 \(\delta[A]\le K\)），且 \(0<\varepsilon<1\)，则 \[A-A\ \subseteq\ \operatorname{Bohr}\!\Bigl(\operatorname{Spec}_{1-\varepsilon}(A-A),\ \sqrt{8\varepsilon K}\Bigr).\]
证明. 设 \(x,y\in A\)，\(\xi\in\operatorname{Spec}_{1-\varepsilon}(A-A)\)。则存在相位 \(\theta\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 使得 \[\operatorname{Re}\sum_{z\in A-A}e(\xi\cdot z+\theta)\ \ge\ (1-\varepsilon)|A-A|,\] 从而 \[\sum_{z\in A-A}\bigl(1-\operatorname{Re}e(\xi\cdot z+\theta)\bigr)\ \le\ \varepsilon|A-A|\ \le\ \varepsilon K|A|.\] 由于被加项非负，且 \(A-A\) 同时包含 \(x-a\) 与 \(y-a\)（对 \(a\in A\)），故（只取 \(z=x-a\) 这部分） \[\sum_{a\in A}\bigl|1-\operatorname{Re}e(\xi\cdot(x-a)+\theta)\bigr|\ \le\ \varepsilon K|A|,\] 于是由 Cauchy–Schwarz \[\sum_{a\in A}\bigl|1-\operatorname{Re}e(\xi\cdot(x-a)+\theta)\bigr|^{1/2}\ \le\ \varepsilon^{1/2}K^{1/2}|A|.\] 由初等恒等式 \[|1-e(\beta)|=\sqrt2\,|1-\operatorname{Re}e(\beta)|^{1/2},\] 我们得到 \[\sum_{a\in A}\bigl|1-e(\xi\cdot(x-a)+\theta)\bigr|\ \le\ \sqrt2\,\varepsilon^{1/2}K^{1/2}|A|.\] 对 \(x\) 换成 \(y\) 同理。由三角不等式 \[\sum_{a\in A}\bigl|e(\xi\cdot(y-a)+\theta)-e(\xi\cdot(x-a)+\theta)\bigr|\ \le\ 2\sqrt2\,\varepsilon^{1/2}K^{1/2}|A|.\] 但左端恰为 \(|A|\cdot\bigl|e(\xi\cdot(x-y))-1\bigr|\)；于是 \[\bigl|e(\xi\cdot(x-y))-1\bigr|\ \le\ \sqrt{8\varepsilon K}.\] 由于 \(\xi\in\operatorname{Spec}_{1-\varepsilon}(A-A)\) 是任意的，结论由 (4.24) 得证。♦
几个细节的来龙去脉
  • 第一步：\(\xi\) 在差集的高门槛谱里，意味着把 \(A-A\) 上的相位转正后，\(\operatorname{Re}e(\xi\cdot z+\theta)\) 平均非常接近 \(1\)，于是“\(1-\operatorname{Re}\)”的总和很小（\(\le\varepsilon K|A|\)）。
  • 缩小求和范围：固定 \(x\)，让 \(a\) 跑遍 \(A\)，则 \(x-a\) 落在 \(A-A\) 中且互不相同，所以这部分的和不超过整体的和。
  • 恒等式 \(|1-e(\beta)|=\sqrt2|1-\operatorname{Re}e(\beta)|^{1/2}\)：因 \(|1-e^{i\phi}|^2=2-2\cos\phi=2(1-\operatorname{Re}e^{i\phi})\)，开方即得。
  • 左端为何等于 \(|A||e(\xi\cdot(x-y))-1|\)：\(e(\xi\cdot(y-a)+\theta)-e(\xi\cdot(x-a)+\theta)=e(\theta-\xi\cdot a)\bigl[e(\xi\cdot y)-e(\xi\cdot x)\bigr]\)，其模与 \(a\) 无关，等于 \(|e(\xi\cdot(x-y))-1|\)，求和 \(|A|\) 项即得。
结论的含义：差集里的每个 \(x-y\)，在差集谱的每一个高门槛频率 \(\xi\) 上都几乎不旋转，所以 \(A-A\) 整个落进一个 Bohr 集——而且差集越紧（\(K\) 越小），Bohr 集半径 \(\sqrt{8\varepsilon K}\) 越小，逼近越精。

一个漂亮应用：Bourgain–Konyagin 的高斯和估计

在下一章中，我们将把这些命题与第 3 章的加性几何结果结合起来，得到有限加法群中的 Freiman 型定理。眼下，我们先给出上述机器的一个引人注目的应用，即 Bourgain 与 Konyagin 的如下高斯和估计：

定理 4.41 [44]设 \(F=F_p\) 为素数阶有限域，\(H\) 为 \(F\) 的一个乘法子群，满足对某个 \(0<\delta<1\) 有 \(|H|\ge p^\delta\)。则当 \(p\) 充分大（依赖于 \(\delta\)）时，对某个 \(\varepsilon=\varepsilon(\delta)>0\) 有 \(\|H\|_u\le p^{-\varepsilon}\)。换言之， \[\sup_{\xi\in Z_p\setminus0}\ \Bigl|\sum_{x\in H}e(x\xi)\Bigr|\ \le\ p^{-\varepsilon}\,|H|.\]
读懂定理：高斯和 / 一致性范数 \(\sum_{x\in H}e(x\xi)\) 是 \(H\) 在频率 \(\xi\) 上的指数和（高斯和）。平凡上界是 \(|H|\)（全部同相叠加）。定理说：只要 \(H\) 是乘法子群且不太小，则每个非零频率上都有 \(p^{-\varepsilon}\) 倍的非平凡相消。\(\|H\|_u:=\frac1{|H|}\sup_{\xi\ne0}|\sum_{x\in H}e(x\xi)|\) 是 \(H\) 的“一致性范数”，它小就表示 \(H\) 在加法傅里叶意义下很“均匀”。这里的张力很美：\(H\) 是乘法结构，却被断言在加法意义下均匀。
证明. 我们可以使用标准双线性型 \(\xi\cdot x=x\xi/p\)。由于对所有 \(h\in H\) 有 \(h\cdot H=H\)，容易验证对所有 \(h\in H,\ \xi\in Z\) 有 \(\widehat{1_H}(h^{-1}\xi)=\widehat{1_H}(\xi)\)。这尤其推出 \(\operatorname{Spec}_\alpha(H)=H\cdot\operatorname{Spec}_\alpha(H)\)。因此每个 \(\operatorname{Spec}_\alpha(H)\) 都由 \(H\) 的若干乘法陪集，连同原点 \(0\) 组成。 我们使用一个迭代与鸽巢论证，类似于证明定理 2.35 时所用的论证。设 \(J=J(\delta)\ge1\) 为稍后选取的大整数，\(\varepsilon=\varepsilon(J,\delta)>0\) 为稍后选取的小数。按 \(\alpha_1:=p^{-\varepsilon}\) 及 \(\alpha_{j+1}:=\alpha_j^2/2\) 定义序列 \(1>\alpha_1>\cdots>\alpha_{J+1}>0\)。反设 \(\|H\|_u>p^{-\varepsilon}\)；则 \(\operatorname{Spec}_{\alpha_1}(H)\) 含有一个非零元素，从而由前面的讨论 \(|\operatorname{Spec}_{\alpha_1}(H)|\ge|H|+1\ge p^\delta+1\)。由于 \(\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H)\) 关于 \(j\) 递增，由鸽巢原理可知存在 \(1\le j\le J\) 使得 \[|\operatorname{Spec}_{\alpha_{j+1}}(H)|\ \le\ p^{1/J}\,|\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H)|.\] 另一方面，由引理 4.37（即 (4.39)）有 \[\Bigl|\bigl\{(\xi_1,\xi_2)\in\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H)\times\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H):\xi_1-\xi_2\in\operatorname{Spec}_{\alpha_{j+1}}(H)\bigr\}\Bigr|\ \ge\ \tfrac{\alpha_j^2}{2}|\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H)|^2.\] 应用 Cauchy–Schwarz 或引理 2.30，我们得到 \[E\bigl(\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H),\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H)\bigr)=\gtrsim_J p^{-O_J(\varepsilon)-O(1/J)}|\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H)|^3.\] 若令 \(A:=\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H)\setminus\{0\}\)，则得 \[E(A,A)=\gtrsim_J p^{-O_J(\varepsilon)-O(1/J)}|A|^3,\] 这里用到 \(|A|\ge p^\delta\)、\(J\) 充分大（依赖 \(\delta\)）、\(\varepsilon\) 充分小（依赖 \(J,\delta\)）。但 \(A\) 是若干乘法陪集 \(x\cdot H\)（\(x\in F_p\setminus\{0\}\)）之并。应用习题 2.3.20， \[E(A,\ x\cdot H)=\gtrsim_J p^{-O_J(\varepsilon)-O(1/J)}|A||H|^2.\] 将其用 \(x^{-1}\) 伸缩，得 \[E(x^{-1}\cdot A,\ H)=\gtrsim_J p^{-O_J(\varepsilon)-O(1/J)}|A||H|^2.\] 但若 \(J\) 充分大（依赖 \(\delta\)）、\(\varepsilon\) 充分小，这将与推论 2.62 矛盾。♦
证明的整体战略（鸟瞰）
  1. 反证设大相关：若某个非零频率上指数和大（\(\|H\|_u>p^{-\varepsilon}\)），则门槛 \(\alpha_1=p^{-\varepsilon}\) 的谱含非零点。
  2. 乘法不变性 → 谱是陪集之并：\(H\) 一动谱不变，故谱由整个 \(H\)-陪集拼成，于是 \(|\operatorname{Spec}_{\alpha_1}(H)|\ge|H|+1\ge p^\delta+1\)，相当大。
  3. 鸽巢挑一层不暴涨：序列门槛 \(\alpha_j\) 越来越小、谱越来越大，但从 \(p^\delta\) 到至多 \(p\) 只能涨这么多。\(J\) 步里必有一步 \(\operatorname{Spec}_{\alpha_{j+1}}\) 相对 \(\operatorname{Spec}_{\alpha_j}\) 只放大 \(\le p^{1/J}\) 倍。
  4. (4.39) → 大能量：在这一“稳定”层上，谱里大量的差仍落回（略低门槛的）谱里，配合该层不暴涨，推出 \(\operatorname{Spec}_{\alpha_j}(H)\) 自身有大加性能量。
  5. 陪集结构 → 矛盾：但这个谱是 \(H\) 的陪集之并，乘法子群 \(H\) 的加性能量本应很小（推论 2.62/和积现象）。两者冲突，反证假设不成立，于是 \(\|H\|_u\le p^{-\varepsilon}\)。♦
核心张力：第 4 步说“加法能量大”，第 5 步说“乘法子群加法能量小”，正是经典的和积现象（sum–product）在背后制造矛盾。
F_p* 上的乘法陪集（每色一段陪集 x·H） H x₁·H x₂·H ⋯ xₘ·H 原点 0 Spec_α(H) = （若干乘法陪集）∪ {0}
因 \(\widehat{1_H}\) 在 \(H\) 的乘法作用下不变，谱由整段整段的乘法陪集 \(x\cdot H\) 拼成（加上原点）。这把“乘法结构”塞进了“加法谱”，是产生矛盾的关键入口。

在 [40] 中，此结果（用略有不同的论证）被推广到 \(H\) 不是乘法子群、而仅具有小的乘法倍增（例如 \(|H\cdot H|\le p^\varepsilon|H|\)）的情形。在 [41] 中，结果进一步被推广到把域 \(F_p\) 换成诸如 \(F_p\times F_p\) 这样的交换环的情形（定理 2.63 在后一结果中起到关键作用）。这给出了一些与 Diffie–Hellman 分布以及 Mordell 和有关的指数和估计；进一步的讨论见 [40]、[41]。

习题

习题
  1. 4.6.1. 设 \(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的加性集，\(\alpha\in\mathbb{R}\)。证明 \(A\)、\(-A\) 以及平移 \(T_hA\)（对任意 \(h\in Z\)）都具有相同的谱；即 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)=\operatorname{Spec}_\alpha(-A)=\operatorname{Spec}_\alpha(T_hA)\)。若 \(\varphi:Z\to Z\) 是 \(Z\) 的群同构，证明 \(\operatorname{Spec}_\alpha(\varphi(A))=\varphi^\dagger(\operatorname{Spec}_\alpha(A))\)，其中 \(\varphi^\dagger\) 是 \(\varphi\) 的伴随（定义见习题 4.1.8）。
  2. 4.6.2. 设 \(A\) 是 \(Z\) 中的加性集。证明谱 \(\operatorname{Spec}_1(A)\) 是一个群，并且事实上等于 \((A-A)^\perp\)，即由 \(A-A\) 生成的群的正交补。又，回忆 \(\operatorname{Sym}_0(A):=\{h\in A:A+h=A\}\) 是 \(A\) 的对称群；证明该群的正交补 \(\operatorname{Sym}_0(A)^\perp\) 是包含所有 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)\)（对一切 \(\alpha>0\)）的最小的群。
  3. 4.6.3. 设 \(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的加性集，\(0<\alpha\le1\)。建立不等式 \[\alpha^4|\operatorname{Spec}_\alpha(A)|\,P_Z(A)\ \le\ \frac{E(A,A)}{|A|^3}\ \le\ |\operatorname{Spec}_\alpha(A)|\,P_Z(A)+\alpha^2.\] 从而，大能量逼出大谱（反之亦然）。
  4. 4.6.4. 设 \(0<\alpha\le1\)，\(A,B\) 是 \(Z\) 中的加性集，满足 \(|A|=|B|=N\) 且 \(E(A,B)\ge4\alpha^2N^3\)。证明 \(|\operatorname{Spec}_\alpha(A)\cap\operatorname{Spec}_\alpha(B)|\ge\dfrac{\alpha^2N^2}{2|Z|}\)。从而，加性能量大的一对集合必然有大量共享的谱。
  5. 4.6.5. 若 \(A\) 是有限加法群 \(Z\) 中的加性集，\(A'\) 是有限加法群 \(Z'\) 中的加性集，证明对所有 \(0<\alpha,\beta\le1\) 有 \(\operatorname{Spec}_\alpha(A)\times\operatorname{Spec}_\beta(A')\subseteq\operatorname{Spec}_{\alpha\beta}(A\times A')\)，其中我们给 \(Z\times Z'\) 赋以由 \(Z\) 与 \(Z'\) 诱导的双线性型。

返回 全书目录