Tao–Vu · 加性组合学 · 第 5 章 逆和集定理

5.5　万有环绕群Universal ambient groups

本页为译文 + 讲解合一：黑色正文为忠实翻译；彩色框（目标 / 定义 / 定理 / 例 / 分步推演）与配图为面向高中生的详解，逐步推演、举例、画图，不用比喻。

在本节中，我们固定 Freiman 同态与同构的阶 \(k\)，并将经常省略“阶为 \(k\)”这一短语。

本节目标一个加性集合 \((A,Z)\) 由“它里面的元素满足哪些加法关系”所刻画，而它所在的环绕群 \(Z\)（即包住它的那个大群）其实带有许多与加法关系无关的“多余信息”。本节要回答：能不能给每个加性集合找到一个标准的、最自然的环绕群——它既不多也不少，恰好记录 \(A\) 的全部加法结构？这个群叫万有环绕群。我们将证明它总是存在（定理 5.39），并由它读出一个新的不变量——Freiman 维数（定义 5.40）。

两个加性集合可以是 Freiman 同构的，尽管它们的环绕群截然不同。例如，加性集合 \((\{1,2,3\},\mathbb{Z}_6)\)、\((\{1,2,3\},\mathbb{Z}_7)\) 与 \((\{1,2,3\},\mathbb{Z})\) 都是 \(2\) 阶 Freiman 同构的，尽管群 \(\mathbb{Z}_6,\mathbb{Z}_7,\mathbb{Z}\) 互不相同。另一方面，加性集合 \((\{1,2,3\},\mathbb{Z}_3)\) 则不与上面任何一个集合 \(2\) 阶 Freiman 同构，它具有相当不同的加法结构。于是很自然地要问：在做了 Freiman 同构之后，是否存在某个万有的环绕群，能把一个加性集合安放进去？为把这个问题说得更精确，我们引入下述定义。

先把直觉建立起来 为什么 \((\{1,2,3\},\mathbb{Z}_6),(\{1,2,3\},\mathbb{Z}_7),(\{1,2,3\},\mathbb{Z})\) “加法上一模一样”，而 \((\{1,2,3\},\mathbb{Z}_3)\) 不同？
  1. \(2\) 阶 Freiman 同构只关心形如 \(a_1+a_2=a_1'+a_2'\) 的长度为 2 的加法等式。在 \(\{1,2,3\}\) 里，这样的等式只有 \(1+3=2+2\)（以及平凡的 \(1+2=2+1\) 之类）。
  2. 在 \(\mathbb{Z},\mathbb{Z}_6,\mathbb{Z}_7\) 中，\(1+3=2+2\) 成立，而且没有别的意外等式（如 \(1+1=3\) 之外不再多出关系）。三者“看到的等式表”完全相同，所以 \(2\) 阶 Freiman 同构。
  3. 但在 \(\mathbb{Z}_3\) 中，\(3\equiv 0\)，于是 \(3+3=0=3\cdots\) 会冒出额外的等式（例如 \(1+2=3\equiv0\)，\(3+3=3\)），加法关系表变了。所以它不同构。
三个环绕群里同一组加法关系（只有 1+3=2+2） 在 ℤ 上 123 在 ℤ₆ 上（环） 123 在 ℤ₃ 上：3≡0，关系变多！ 123≡0
左、中两图的加法关系表一致（仅 \(1+3=2+2\)），故 \(2\) 阶 Freiman 同构；右图因 \(3\equiv0\) 多出新关系，结构不同。
定义 5.37（万有环绕群）设 \((A,Z)\) 为一个加性集合，并固定 Freiman 同态的阶 \(k\)。若每一个 Freiman 同态 \(\varphi:(A,Z)\to(B,W)\) 都有唯一一个延拓为群同态 \(\varphi_{\mathrm{ext}}:Z\to W\)（即对所有 \(x\in A\) 有 \(\varphi_{\mathrm{ext}}(x)=\varphi(x)\)），则称 \(Z\) 是加性集合 \(A\) 的一个万有环绕群（阶为 \(k\)）。
更一般地，若存在一个与 \((A,Z)\) Freiman 同构的加性集合 \((A',Z')\)，使得 \(Z'\) 是 \(A'\) 的万有环绕群，则称加性群 \(Z'\) 是 \((A,Z)\) 的一个万有环绕群；此时称 \((A',Z')\) 为 \((A,Z)\) 在环绕群 \(Z'\) 内的一个嵌入。
怎样读懂这个定义 关键是“延拓存在且唯一”这两个字。 万有 = 恰到好处：由 \(A\) 生成、不多不少。
例 5.38 取 \(k=2\)，考察加性集合 \((A,Z)=(\{1,2,3\},\mathbb{Z}_7)\)。

群 \(\mathbb{Z}_7\) 不是 \(A=\{1,2,3\}\) 的万有环绕群。例如考虑 Freiman 同态 \(\varphi:A\to\mathbb{Z}\)，定义为 \(\varphi(1)=1,\varphi(2)=2,\varphi(3)=3\)。这个同态无法延拓为 \(\mathbb{Z}_7\) 上的群同态，因为 \(1\) 在 \(\mathbb{Z}_7\) 中的阶为 \(7\)（即 \(7\cdot1=0\)），而它在 \(\mathbb{Z}\) 中却是无限阶。

即便把环绕群 \(\mathbb{Z}_7\) 换成 \(\mathbb{Z}\)，加性集合 \((\{1,2,3\},\mathbb{Z})\) 仍然没有被安放进万有环绕群之中：因为平移映射 \(\varphi(x):=x+1\) 是 \(\{1,2,3\}\) 上的 Freiman 同态，但它不能延拓为 \(\mathbb{Z}\) 上的群同态（群同态必须把 \(0\) 送到 \(0\)、保持加法，而平移不保持 \(0\)）。

另一方面，加性集合 \((\{(1,1),(2,1),(3,1)\},\mathbb{Z}^2)\) 确实被安放进了一个万有环绕群，这一点容易验证。但加性集合 \((\{(1,1,0),(2,1,0),(3,1,0)\},\mathbb{Z}^3)\) 却不在万有环绕群中——这次的原因不同：Freiman 同态延拓为群同态时不唯一（对第三个坐标该怎么处理，有太多自由）。

逐条对照：为什么 \(\mathbb{Z}^2\) 行、\(\mathbb{Z}^3\) 不行
  1. 嵌入 \(\{(1,1),(2,1),(3,1)\}\subset\mathbb{Z}^2\)：第二坐标恒为 \(1\)（这就是后文的“次数”=1）。这三个点张成整个 \(\mathbb{Z}^2\)，群由 \(A'\) 生成，故延拓被这三个点的像完全决定——存在且唯一。
  2. 嵌入 \(\{(1,1,0),(2,1,0),(3,1,0)\}\subset\mathbb{Z}^3\)：第三坐标恒为 \(0\)，三个点都落在 \(z=0\) 的平面里，张不满 \(\mathbb{Z}^3\)。于是延拓在第三坐标方向上可以任意取值，不唯一——群太大了。
  3. 结论：万有环绕群必须恰好由嵌入像生成，多一维都不行。
n deg 次数=1 的那一层 (1,1) (2,1) (3,1) 三点连同它们的整系数组合恰好张满 ℤ²（不多不少）
万有嵌入：把 \(\{1,2,3\}\) 放成 \(\mathbb{Z}^2\) 中次数恒为 \(1\) 的三点，它们生成整个 \(\mathbb{Z}^2\)。

如上所述，万有环绕群的定义在 Freiman 同构下是不变的。此外，若一个加性集合 \(A\) 有两个万有环绕群 \(Z\) 与 \(Z'\)，则它们必然群同构（这可由延拓 \(A\) 的两个对应嵌入之间那个显然的 Freiman 同构而看出）。因此，万有环绕群若存在，则在群同构意义下是唯一的（对固定的 \(k\)）。

Lev 与 Konyagin [232] 观察到：万有环绕群总是存在。

定理 5.39（万有环绕群的存在性）[232]固定 \(k\ge2\)，设 \((A,Z)\) 为加性集合。则存在 \(A\) 的一个万有环绕群 \(Z'\)。进一步，若 \(A'\) 是 \(A\) 在这个环绕群 \(Z'\) 内的嵌入，则 \(Z'\) 作为群由 \(A'\) 生成。特别地，\(Z'\) 是有限生成的。
证明的总体思路（先看大图） 构造分三步：
  1. 先造一个“最自由”的群：给 \(A\) 的每个元素 \(a\) 配一个独立的基向量 \(e_a\)，得自由交换群 \(\mathbb{Z}^A\)（秩 \(|A|\)）。此时彼此毫无关系。
  2. 再把 \(A\) 本该满足的加法关系“强行加上去”：凡是 \(A\) 中真实成立的等式 \(a_1+\dots+a_k=a_1'+\dots+a_k'\)，就要求对应的基向量也满足同样的等式，即把 \(e_{a_1}+\dots+e_{a_k}-e_{a_1'}-\dots-e_{a_k'}\) 这些元素“商掉”（令其等于 \(0\)）。
  3. 商出来的群 \(Z'\) 恰好只保留这些关系，不多不少——这正是万有的含义。
证明. 设 \(\mathbb{Z}^A\) 为秩 \(|A|\) 的群，由某组基 \(\{e_a:a\in A\}\) 自由生成。设 \(\langle X\rangle\) 为 \(\mathbb{Z}^A\) 中由如下元素生成的子群： \[X:=\bigl\{e_{a_1}+\dots+e_{a_k}-e_{a_1'}-\dots-e_{a_k'}\ :\ a_1,\dots,a_k,a_1',\dots,a_k'\in A,\ a_1+\dots+a_k=a_1'+\dots+a_k'\bigr\}.\] 我们定义 \(Z':=\mathbb{Z}^A/\langle X\rangle\)，并设 \(A'\) 为基 \(\{e_a:a\in A\}\) 在典范商映射 \(\pi:\mathbb{Z}^A\to\mathbb{Z}^A/\langle X\rangle\) 下的像。显然 \(Z'\) 由 \(A'\) 生成。 下证由 \(\iota(a):=\pi(e_a)\) 定义的映射 \(\iota:A\to A'\) 是 Freiman 同构。由于此映射是满射，依练习 5.3.1，只需证明 \[a_1+\dots+a_k=a_1'+\dots+a_k'\iff \iota(a_1)+\dots+\iota(a_k)=\iota(a_1')+\dots+\iota(a_k').\] 但这从 \(\mathbb{Z}^A/\langle X\rangle\) 的构造立即可见（正向：被商掉的元素正是这些关系；反向：自由群中除被商掉的关系外没有别的关系）。 其次，设 \(\varphi:(A',Z')\to(B,W)\) 为 Freiman 同态。设 \(\psi:\mathbb{Z}^A\to W\) 是满足 \(\psi(e_a)=\varphi(\iota(a))\)（对所有 \(a\in A\)）的唯一群同态；之所以唯一确定，是因为基 \(\{e_a:a\in A\}\) 自由生成 \(\mathbb{Z}^A\)。又显然 \(\psi\) 把 \(X\) 消灭为 \(0\)（因为 \(\varphi\) 保持长度为 \(k\) 的加法关系），从而也消灭 \(\langle X\rangle\)。于是 \(\psi\) 下降为群同态 \(\varphi_{\mathrm{ext}}:\mathbb{Z}^A/\langle X\rangle\to W\)，且易验证 \(\varphi_{\mathrm{ext}}\) 延拓 \(\varphi\)。这就证明了延拓的存在性。 至于唯一性，只需说明：任何两个从 \(Z'\) 到 \(W\) 且在 \(A'\) 上一致的群同态，必在整个 \(Z'\) 上一致。而这由 \(Z'\) 是由 \(A'\) 生成的这一事实直接得到（两个群同态之差是群同态，在生成元上为 \(0\) 则处处为 \(0\)）。♦
ℤ^A（自由，秩 |A|） 基 e₁,e₂,e₃,… 彼此无关系 ÷⟨X⟩ 商掉所有真实加法关系 Z′=ℤ^A/⟨X⟩ 恰好保留 A 的 全部加法结构 = 万有环绕群
构造法：从最自由的 \(\mathbb{Z}^A\) 出发，商掉所有应当成立的加法关系，得到不多不少的万有环绕群。

关于万有环绕群的另一种构造，见练习 5.5.1。关于万有环绕群的一些例子，见练习 5.5.1 与练习 5.5.17。

次数映射与 Freiman 维数

若 \((A,Z)\) 是带有万有环绕群 \(Z\) 的加性集合，则我们可以定义一个次数映射（degree map）\(\deg:Z\to\mathbb{Z}\)，即延拓平凡 Freiman 同态 \(a\mapsto 1\)（把 \(A\) 的每个元素都送到整数 \(1\)）所得的群同态。于是 \(\deg\) 在 \(A\) 上等于 \(1\)、在 \(2A\) 上等于 \(2\)，更一般地在 \(lA-mA\) 上等于 \(l-m\)。因此，在万有环绕群中，诸集合 \(nA\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）两两不相交。

再注意 \(\deg\) 必定把 \(Z\) 的挠子群 \(\mathrm{Tor}(Z):=\{x\in Z:nx=0\text{ 对某个 }n\in\mathbb{Z}^+\}\) 消灭为 \(0\)，因为 \(\deg\) 的值域 \(\mathbb{Z}\) 是无挠的（无挠群里除 \(0\) 外没有有限阶元素，而挠元素在群同态下仍是有限阶，只能去 \(0\)）。这说明 \(Z/\mathrm{Tor}(Z)\) 是一个非平凡的无挠加性群，从而由推论 3.6，它群同构于某个 \(\mathbb{Z}^{d+1}\)（\(d\ge0\)）。由于所有万有环绕群彼此群同构，这个量 \(d\) 只依赖于加性集合 \(A\)，我们给它起个名字。

为什么是 \(d+1\) 而不是 \(d\) 次数映射 \(\deg:Z/\mathrm{Tor}(Z)\to\mathbb{Z}\) 是满射，它本身就贡献了一个无挠方向（“次数方向”）。剩下的无挠自由度才是 \(d\) 个，对应 \(A\) 在“同一层”内的真正几何形状。所以 \(Z/\mathrm{Tor}(Z)\cong\mathbb{Z}^{d+1}\)：一份给次数，\(d\) 份给形状。下面的图把这件事画清楚。
形状方向 ℤ^d deg deg=1: A deg=2: 2A deg=3: 3A 每个 nA 待在自己的水平层里，层与层永不相交
次数映射把万有环绕群切成水平层：第 \(n\) 层正是 \(nA\)。一个无挠方向给“次数”，其余 \(d\) 个无挠方向描述形状，合计 \(\mathbb{Z}^{d+1}\)。
定义 5.40（Freiman 维数）设 \(A\) 为加性集合。我们定义 \(A\) 的 Freiman 维数为那个唯一的非负整数 \(\dim(A)=d\)，使得对 \(A\) 的每一个万有环绕群 \(Z\)，都有 \(Z/\mathrm{Tor}(Z)\) 群同构于 \(\mathbb{Z}^{d+1}\)。

注意 Freiman 维数依赖于 Freiman 同态阶数 \(k\) 的选取，见练习 5.5.11。传统上人们采用 \(k=2\) 时所对应的 Freiman 维数。我们提醒：Freiman 维数不是单调的（子集的维数未必更小）；同样见练习 5.5.11。Freiman 维数可解释为：\(A\) 的 Freiman 同构副本在向量空间中所能达到的最大秩，见练习 5.5.10。

无挠万有表示

设 \((A,Z)\) 是带有万有环绕群 \(Z\) 的加性集合，设 \(d\) 为 \(A\) 的 Freiman 维数。则由定义 5.40，我们可以作恒等化 \(Z\equiv\mathbb{Z}^d\times\mathbb{Z}\times\mathrm{Tor}(Z)\)；必要时施加一个群同构，可设次数映射 \(\deg:Z\to\mathbb{Z}\) 恰对应于此恒等化中的 \(\mathbb{Z}\) 坐标，即对所有 \(n\in\mathbb{Z}^d,\ m\in\mathbb{Z},\ x\in\mathrm{Tor}(Z)\) 有 \(\deg(n,m,x)=m\)。现设 \(\pi:Z\to\mathbb{Z}^d\) 为投影到第一个因子。我们称加性集合 \([A]:=(\pi(A),\mathbb{Z}^d)\) 为 \(A\) 的一个无挠万有表示（torsion-free universal representation）。

容易看出，加性集合 \(A\) 的无挠万有表示 \([A]\) 在 \(\mathbb{Z}^d\) 上的仿射群同构意义下是唯一的（即在平移与 \(SL_d(\mathbb{Z})\) 的元素作用下唯一）。此外，由于 \(A\) 生成 \(Z\)，我们看到 \(\pi(A)\) 必定生成 \(\mathbb{Z}^{d+1}\)，这蕴含 \(\mathbb{Z}^d\) 落在 \([A]\) 的仿射张成中。换言之，\(\mathrm{rank}([A])=d\)。

注意 \(\pi\) 诱导一个从 \(A\) 到 \([A]\) 的满 Freiman 同态。若 \(Z\) 没有挠子群，则它实际上是 Freiman 同构；但一般来说，若 \(A\) 含有足够多的“挠”，则 \(A\) 与 \([A]\) 将不 Freiman 同构，见练习 5.5.9。尽管如此，\([A]\) 在“嵌入无挠群”这一范畴里仍是 \(A\) 的万有嵌入。更精确地说：

把 \([A]\) 想成“去掉挠后的影子” 万有环绕群 \(Z\) 可拆成三部分：形状方向 \(\mathbb{Z}^d\)、次数方向 \(\mathbb{Z}\)、有限阶杂质 \(\mathrm{Tor}(Z)\)。投影 \(\pi\) 只保留形状方向 \(\mathbb{Z}^d\)，扔掉次数与挠。得到的 \([A]\) 是 \(A\) 在无挠世界里最忠实的几何模型，秩恰为 \(d\)。
命题 5.41设 \(A\) 为 Freiman 维数为 \(d\) 的加性集合，\([A]\subset\mathbb{Z}^d\) 为其一个无挠万有表示。设 \(\pi:A\to[A]\) 为相应的 Freiman 同态，又设 \(\varphi:A\to(A',Z')\) 为任一映入无挠加性群 \(Z'\) 的 Freiman 同态。则存在唯一的向量 \(v=(v_1,\dots,v_d)\in(Z')^d\) 与元素 \(a\in Z'\)，使得对所有 \(b\in A\) 有 \[\varphi(b)=a+\pi(b)\cdot v.\]
命题 5.41 在说什么 它断言：一旦你知道了 \(A\) 的无挠模型 \([A]\)，那么 \(A\) 到任何无挠群的 Freiman 同态都没有神秘可言——它必然是“线性 + 平移”的形式 \(\varphi(b)=a+\pi(b)\cdot v\)，且系数 \(v,a\) 唯一确定。换句话说，\([A]\) 把所有可能的无挠 Freiman 同态一网打尽。这里 \(\pi(b)\cdot v=\sum_{i}\pi(b)_i\,v_i\) 是把 \(d\) 维坐标向量 \(\pi(b)\) 与 \(v\) 做点积。
证明. 我们可以假设 \(A\) 已嵌入万有环绕群 \(Z=\mathbb{Z}^d\times\mathbb{Z}\times\mathrm{Tor}(Z)\) 之中，且 \([A]=\pi(A)\)，其中 \(\pi:Z\to\mathbb{Z}^d\) 为投影到第一因子。另一方面，\(\varphi\) 延拓为群同态 \(\varphi_{\mathrm{ext}}:\mathbb{Z}^d\times\mathbb{Z}\times\mathrm{Tor}(Z)\to Z'\)。由于 \(Z'\) 无挠，\(\varphi_{\mathrm{ext}}\) 必把 \(\mathrm{Tor}(Z)\) 消灭为 \(0\)，因而 \(\varphi_{\mathrm{ext}}\) 必取如下形式 \[\varphi_{\mathrm{ext}}(n,m,x)=n\cdot v+m\cdot a,\qquad n\in\mathbb{Z}^d,\ m\in\mathbb{Z},\ x\in\mathrm{Tor}(Z),\] 其中 \(v\in(Z')^d\)，\(a\in Z'\)。由于 \(A\) 是 \(\mathbb{Z}^d\times\{1\}\times\mathrm{Tor}(Z)\) 的子集（即 \(A\) 的元素次数恒为 \(1\)，故 \(m=1\)），而 \(\pi(b)\) 取出其第一坐标，于是对所有 \(b\in A\) 有 \(\varphi(b)=\varphi_{\mathrm{ext}}(b)=\pi(b)\cdot v+a\)，正如所求。♦

由此结合 Freiman 引理，我们可以得到：

推论 5.42设 \(k\ge2\)，\(A\) 是无挠加性群 \(Z\) 中的加性集合，且对某个整数 \(d\ge1\) 满足 \[\min(|A+A|,|A-A|)\le (d+1)|A|-\frac{d(d+1)}{2}.\] 则 \(\dim(A)
证明. 设 \([A]=\pi(A)\) 为无挠万有表示。由命题 5.41，存在从 \([A]\) 回到 \(A\) 的 Freiman 同态，因而 \(A\) 与 \([A]\) Freiman 同构。于是不妨用 \([A]\) 代替 \(A\) 来工作。但此时结论由引理 5.13（或练习 5.2.1）即得，因为 \(\mathrm{rank}([A])=d\)。♦
这条推论的含义 引理 5.13（Freiman 引理）说：无挠群中秩为 \(r\) 的集合，其和集必满足 \(|A+A|\ge(r+1)|A|-\tfrac{r(r+1)}{2}\)。所以——
  1. 如果和集（或差集）异常小，小到 \(\le(d+1)|A|-\tfrac{d(d+1)}{2}\)，
  2. 那它的秩就不可能达到 \(d\)，
  3. 故 \(\dim(A)=\mathrm{rank}([A])
一句话：无挠情形下，加倍越小，Freiman 维数越低。

这样，至少在无挠情形下，加倍量小的集合必有较小的 Freiman 维数。当 \(A\) 不在无挠群中时，有一个稍弱的版本成立。

推论 5.43设 \(k\ge2\)，\(A\) 为加性集合。则 \(\dim(A)<\sigma[A]^{O(1)}\)。（这里 \(\sigma[A]\) 为 \(A\) 的加倍/对称量，刻画 \(A+A\) 相对于 \(A\) 大多少。）
证明. 记 \(K:=\sigma[A]\)，\(d:=\dim(A)\)。若 \(K<\tfrac32\) 则 \(d=0\)（练习 5.5.13）。因此可设 \(K\ge\tfrac32\)，此时只需证明 \(d=O(K^{O(1)})\)。 不失一般性，可设 \(A\) 已嵌入万有环绕群 \(Z\) 中。由命题 2.26，\(A+A\) 可被 \(O(K^{O(1)})\) 个 \(A\) 的平移覆盖。施加商映射 \(\pi:Z\to Z/\mathrm{Tor}(Z)\equiv\mathbb{Z}^{d+1}\)，可见 \(\pi(A)+\pi(A)\) 可被 \(O(K^{O(1)})\) 份 \(\pi(A)\) 覆盖，从而 \(|2\pi(A)|\le K^{O(1)}|\pi(A)|\)。但 \(\pi(A)\) 与一个无挠万有表示 \([A]\) Freiman 同构，故 \(|2[A]|\le K^{O(1)}|[A]|\)。 另一方面，由于 \(\mathrm{rank}([A])=d\)，由引理 5.13 得 \(|2[A]|>(d+1)|[A]|-\tfrac{d(d+1)}{2}\)。又因为 \(|[A]|\ge\mathrm{rank}(A)+1=d+1\)（例如），从而 \(|2[A]|>\tfrac{d}{2}|[A]|\)（例如）。把它与 \(|2[A]|\) 的上界结合，即得结论。♦
推论 5.43 的逻辑链（夹逼）
  1. 上界（来自小加倍）：\(|2[A]|\le K^{O(1)}|[A]|\)。
  2. 下界（来自维数 \(d\)，Freiman 引理）：\(|2[A]|>\tfrac{d}{2}|[A]|\)。
  3. 两式夹起来：\(\tfrac{d}{2}

关于本推论中界的一个改进，见练习 6.5.18。

练习

练习 5.5.1 对任意加性集合 \(A,B\)，记 \(\mathrm{Hom}_k(A\to B)\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的（阶为 \(k\) 的）Freiman 同态空间。由于 \(A\) 是加性集合，注意 \(\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 是一个加性群，可视为环面的紧子群。特别地它有 Pontryagin 对偶 \(Z':=\widehat{\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})}\)，定义为从 \(\mathrm{Hom}(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 到圆群 \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 的所有连续群同态之空间。对任意 \(a\in A\)，由公式 \[\hat a(\chi):=\chi(a)\quad\text{对所有 }\chi\in\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\] 定义 \(a\) 的 Gelfand 变换 \(\hat a\in Z'\)，并令 \(A':=\{\hat a:a\in A\}\)。证明 \((A',Z')\) 与 \((A,Z)\) Freiman 同构，且 \(Z'\) 是 \(A\) 的万有环绕群。
练习 5.5.2 设 \(A\) 为加性集合。证明 \(\mathbb{Z}^{|A|+1}\) 是 \(A\) 的万有环绕群当且仅当 \(A\) 是一个 \(B_k\) 集（见定义 4.27），此时加性集合 \(\bigl(\{e_j+e_{|A|+1}:1\le j\le|A|\},\mathbb{Z}^{|A|+1}\bigr)\) 是 \(A\) 到 \(\mathbb{Z}^{|A|+1}\) 的一个嵌入。这里当然 \(e_1,\dots,e_{|A|+1}\) 是 \(\mathbb{Z}^{|A|+1}\) 的标准基。
练习 5.5.3 设 \(A\) 为加性集合，\(\chi:A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 为 Freiman 同态。若对每个整数 \(n\) 都存在 Freiman 同态 \(\chi/n:A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}\)，使其乘以 \(n\) 后得到 \(\chi\)，则称 \(\chi\) 为无限可除的。证明 \(\chi\) 无限可除当且仅当存在 Freiman 同态 \(\varphi:A\to\mathbb{R}\) 使得 \(\varphi\bmod 1=\chi\)。由此推出：紧群 \(\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 在原点处的切空间可典范地等同于 \(\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R})\)。
练习 5.5.4 设 \(\varphi:A\to B\) 为 Freiman 同态（相应地，同构）。证明由 \(\varphi^\dagger(\chi):=\chi\circ\varphi\) 定义的映射 \(\varphi^\dagger:\mathrm{Hom}_k(B\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\to\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 是群同态（相应地，同构）。又，若 \(\varphi:A\to B\) 与 \(\psi:B\to C\) 为 Freiman 同态，证明 \((\varphi\circ\psi)^\dagger=\psi^\dagger\circ\varphi^\dagger\)。证明伴随函子 \(\varphi\mapsto\varphi^\dagger\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的 Freiman 同态与从 \(\mathrm{Hom}_k(B\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 到 \(\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 的群同态之间的双射。
练习 5.5.5 设 \(G\) 为一个同时也是加性群的加性集合（即 \(G+G=G\)）。证明 \(\mathrm{Hom}_k(G\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 可典范地等同于 \(\hat G\times(\mathbb{R}/\mathbb{Z})\)，其中 \(\hat G\) 是 \(G\) 的 Pontryagin 对偶，即从 \(G\) 到 \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 的群同态空间。若 \(A\) 是 \(G\) 中的加性集合，给出例子说明 \(\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 可以比 \(\mathrm{Hom}_k(G\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 大得多或小得多，尽管 Freiman 对偶会把从 \(A\) 到 \(G\) 的包含映射转化为从 \(\mathrm{Hom}_k(G\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 到 \(\mathrm{Hom}_k(A\to\mathbb{R}/\mathbb{Z})\) 的群同态。
练习 5.5.6 设 \(k=2\)。证明 \(A=(\{1,2,3\},\mathbb{Z}_6)\)（或 \((\{1,2,3\},\mathbb{Z}_7)\)，或 \((\{1,2,3\},\mathbb{Z})\)）的万有环绕群可典范地等同于 \(\mathbb{Z}^2\)，其中 \(\hat A\) 被等同为 \(\{(1,1),(2,1),(3,1)\}\)。另一方面，证明 \(A=(\{1,2,3\},\mathbb{Z}_3)\) 的万有环绕群可典范地等同于 \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}\)，其中 \(\hat A\) 被等同为 \(\{(1,1),(2,1),(3,1)\}\)。证明 \(A=(\{1,2,4,5\},\mathbb{Z})\) 的万有环绕群可典范地等同于 \(\mathbb{Z}^3\)，其中 \(\hat A\) 被等同为 \(\{(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)\}\)。
练习 5.5.7 设 \((A,Z)\) 为嵌入万有环绕群 \(Z\) 内的加性集合，\((B,W)\) 为另一加性集合，\(\varphi:A\to B\) 为 Freiman 同态，\(\varphi_{\mathrm{ext}}:Z\to W\) 为其群同态延拓。证明 \(\varphi\) 是 Freiman 同构，当且仅当 \(\varphi_{\mathrm{ext}}\) 的核 \(\ker(\varphi_{\mathrm{ext}}):=\{x\in Z:\varphi_{\mathrm{ext}}(x)=0\}\) 与 \((kA-kA)\setminus\{0\}\) 不相交；等价地，当且仅当 \(\varphi_{\mathrm{ext}}\) 在 \(kA\) 上是单射。
练习 5.5.8 设 \((A,Z)\) 为嵌入万有环绕群 \(Z\) 内的加性集合，\(G\) 为加性群。证明 \(G\) 含有与 \(A\) Freiman 同构的子集 \(A'\)，当且仅当 \(G\) 含有一个子群 \(H\)，它群同构于 \(Z/\Gamma\)（对 \(Z\) 的某个与 \((kA-kA)\setminus\{0\}\) 不相交的子群 \(\Gamma\)）。
练习 5.5.9 设 \((A,Z)\) 为嵌入万有环绕群 \(Z\) 内的加性集合。证明 \(A\) 与 \([A]\) Freiman 同构，当且仅当 \((kA-kA)\cap\mathrm{Tor}(Z)=\{0\}\)。由命题 5.41 注意到：\(A\) 可嵌入某无挠加性群，当且仅当 \(A\) 与 \([A]\) Freiman 同构。
练习 5.5.10 设 \(A\) 为无挠加性群 \(Z\) 中的加性集合。证明存在 \((A,Z)\) 的一个 Freiman 同构副本 \((A',V)\) 落在某向量空间 \(V\) 内，使得 \(\mathrm{rank}(A')=\dim(A)\)。进一步，对 \((A,Z)\) 在向量空间中的任何其他 Freiman 同构副本 \((A'',V)\)，都有 \(\mathrm{rank}(A'')\le\dim(A)\)。
练习 5.5.11 设 \((A,Z)\) 为加性集合 \((\{1,2,4,5\},\mathbb{Z})\)。证明：当 \(k=1\) 时 \(\dim(A)=4\)，当 \(k=2\) 时 \(\dim(A)=2\)，当 \(k\ge3\) 时 \(\dim(A)=1\)。特别地……（原文在此处转入下一部分。）

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