5.6　任意群中的 Freiman 定理Freiman’s theorem in an arbitrary group

证明. 这里我们把所考虑的 Freiman 同态的阶固定为 \(k=2\)。不失一般性，可设 \(Z\) 就是万有母群；一般情形随后可由定义 5.37 推出（并注意：群或级数在群同态下的像仍是群或级数）。记 \(d:=\dim(A)\)；由推论 5.43 有 \(d=O(K^{O(1)})\)。

（证明续）

（证明续） 令 \(\alpha:=1-10^{-5}\,\dfrac{1}{K^{2}}\)（一个略小于 \(1\) 的数）。现在我们对 \(A_p-A_p\) 的谱 \(\mathrm{Spec}_\alpha(A_p-A_p)\)（按定义 4.34）建立一些下界。

引理 5.45 证明. 我们先控制 \(A\) 的极大量重复和集 \(nA\)（\(n\) 很大）的大小。由于 \(A_p\) 与 \(A\) Freiman 同构，故 \(\sigma[A_p]\le K\)。由命题 2.26，我们可以把 \(A_p\) 装进某个 \(K^C\)-近似群 \(H\) 的一个平移之内，其大小 \(|H|\le K^C|A_p|\)；于是 \(2H\subseteq H+X\) 对某个基数 \(|X|=O(K^{O(1)})\) 的集合 \(X\) 成立。迭代之，得 \(nH\subseteq H+(n-1)X\)，从而 \[ \begin{aligned} |n(A_p-A_p)|&\le|2nH|\\ &\le|H|\,|(2n-1)X|\\ &\le K^{O(1)}|A_p|\binom{|X|+2n-2}{|X|}\\ &\le K^{O(1)}|A_p|\bigl(|X|+2n-2\bigr)^{|X|}. \end{aligned} \] 若令 \(n:=CK^{C}\)（\(C\) 为足够大的常数），则可保证 \[|n(A_p-A_p)|\ \le\ \frac{1}{2}\,\alpha^{\,2-2n}\,|A_p-A_p|.\] 随后我们应用引理 4.38，得 \[\bigl|\mathrm{Spec}_\alpha(A_p-A_p)\bigr|\;\mathbb{P}_{Z}(A_p-A_p)\ \ge\ \frac{1}{2}\,\alpha^{\,2-2n},\] 于是结论成立（回忆由 Ruzsa 三角不等式有 \(|A_p-A_p|\le K^2|A_p|\)）。♦

（证明续） 现在我们可以利用 Freiman 同态与万有母群的理论来消去挠群的作用。设 \[\Pi:Z\longrightarrow \mathbb{Z}^{d+1}\subset\mathbb{R}^{d+1}\] 为从 \(Z=\mathbb{Z}^d\times\mathbb{Z}\times\mathrm{Tor}(Z)\) 到 \(\mathbb{Z}^{d+1}\) 的典范投影（丢掉挠分量），于是 \(\Pi(A)\) 是 \(\mathbb{Z}^{d+1}\) 的子集，从而也是 \(\mathbb{R}^{d+1}\) 的子集。

引理 5.46 证明. 由 Ruzsa 三角不等式有 \(|A_p-A_p|\le K^2|A_p|\)。由命题 4.40，我们便看出 \[A_p-A_p\subseteq\mathrm{Bohr}_Z\Bigl(\mathrm{Spec}_\alpha(A_p-A_p),\ \tfrac{1}{50}\Bigr).\] 因此若 \(\xi\in\mathrm{Spec}_\alpha(A_p-A_p)\)，则 \(|e(\xi\cdot x)-1|\le\frac1{50}\) 对所有 \(x\in A_p-A_p\) 成立。特别地，我们能找到一个相位 \(e^{2\pi i\theta}\)（某个 \(\theta\in\mathbb{R}\)），使得 \(|e(\xi\cdot x)-e^{2\pi i\theta}|\le\frac1{50}\) 对所有 \(x\in A_p\) 成立。于是我们能找到一个函数 \(\chi:A_p\to\mathbb{R}\)，使得 \(e(\xi\cdot x)=e(\chi(x))\) 且 \(\theta-\frac1{10}<\chi(x)<\theta+\frac1{10}\) 对所有 \(x\in A_p\) 成立。 容易看出 \(\chi:A_p\to\mathbb{R}\) 是一个 Freiman 同态，从而 \(\chi\circ\pi_p:A\to\mathbb{R}\) 也是 Freiman 同态。由于 \(Z\) 是 \(A\) 的万有母群，我们便看出可以把 \(\chi\circ\pi_p\) 延拓为一个群同态 \((\chi\circ\pi)_{\mathrm{ext}}:Z\to\mathbb{R}\)。但因为 \(\mathbb{R}\) 是无挠的，这个群同态必须湮灭挠群 \(\mathrm{Tor}(Z)\)（即把它整个映到 0）。特别地，映射 \(\phi:x\mapsto(\chi\circ\pi_p)_{\mathrm{ext}}(x)\bmod 1\) 是一个从 \(Z\) 到 \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 的群同态，且湮灭 \(\mathrm{Tor}(Z)\)。另一方面，映射 \(\tilde\phi:x\mapsto\xi\cdot\pi_p(x)\) 是另一个从 \(Z\) 到 \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) 的群同态，它在 \(A\) 上与 \(\phi\) 一致。由于 \(Z\) 是 \(A\) 的万有母群，这意味着 \(\phi=\tilde\phi\)，从而 \(\tilde\phi\) 也必须湮灭 \(\mathrm{Tor}(Z)\)。换句话说，我们看出当 \(x\in\mathrm{Tor}(Z)\) 时 \(\xi\cdot x=0\)，这意味着 \(\xi\in\mathbb{Z}_p^{\,d}\times\{0\}\)，第一个结论得证。 现设 \(\xi\in\mathbb{Z}_p^{\,d}\) 使得 \((\xi,0)\in\mathrm{Spec}_\alpha(A_p-A_p)\)。则如前所述，我们能找到一个 Freiman 同态 \(\chi:A_p\to\mathbb{R}\)，使得 \[(\xi,0)\cdot x=\chi(x)\bmod 1\quad\text{对所有 }x\in A_p,\tag{5.17}\] 以及一个 \(\theta\in\mathbb{R}\)，使得 \[\theta-\frac1{10}<\chi(x)<\theta+\frac1{10}\quad\text{对所有 }x\in A_p-A_p,\tag{5.18}\] 并且我们有一个群同态 \((\chi\circ\pi)_{\mathrm{ext}}:Z\to\mathbb{R}\)，它延拓 \(\chi\circ\pi\) 并湮灭 \(\mathrm{Tor}(Z)\)。由于 \(Z=\mathbb{Z}^d\times\mathbb{Z}\times\mathrm{Tor}(Z)\)，我们便看出存在 \(\tilde\xi\in\mathbb{R}^d\) 与 \(\eta\in\mathbb{R}\)，使得 \[(\chi\circ\pi)_{\mathrm{ext}}(n,m,x)=n\cdot\tilde\xi+m\eta\quad\text{对所有 }n\in\mathbb{Z}^d,\ m\in\mathbb{Z},\ x\in\mathrm{Tor}(Z).\] 将其限制在 \(A\) 的元素上（这些元素位于 \(\mathbb{Z}^d\times\{1\}\times\mathrm{Tor}(Z)\) 中），我们得到 \[\chi\bigl((n\bmod p,x)\bigr)=\chi(\pi(n,1,x))=n\cdot\tilde\xi+\eta\quad\text{只要 }(n,1,x)\in A.\tag{5.19}\] 应用 (5.17) 我们得到 \[n\cdot\xi/p=n\cdot\tilde\xi+\eta\pmod 1\quad\text{只要 }(n,1,x)\in A.\] 由于 \((0,1,0)\in A\)，我们推出 \(\eta=0\pmod 1\)。又由于 \(A\) 生成整个 \(Z=\mathbb{Z}^d\times\mathbb{Z}\times\mathrm{Tor}(Z)\)，我们推断 \(\tilde\xi=\xi/p\pmod 1\)（如所愿）；特别地 \(\tilde\xi\in\frac1p\cdot\mathbb{Z}^d\)。接着，应用 (5.18) 推出 \[\theta-\frac1{10}♦

（证明续） 由于 \(\Pi(A)-\Pi(A)\) 是 \(\mathbb{Z}^d\) 的子集，它也是 \(\mathbb{R}^d\) 的子集。设 \(B\) 为由 \(\Pi(A)-\Pi(A)\) 的开凸包所生成的凸体；注意 \(B\) 是开的且非空，因为 \(A\) 生成 \(Z\)，从而 \(\Pi(A)\) 生成 \(\mathbb{Z}^d\)。引入 \(B\) 的极体（polar body） \[B^\circ:=\{x\in\mathbb{R}^d:\ |x\cdot y|<1\ \text{对所有 }y\in B\},\] 我们就能把引理 5.46 的结论改写为 \[\tilde\xi\in\frac15\cdot B^\circ.\] 将此与引理 5.45 结合，我们便看出 \[ \Bigl|\tfrac15\cdot B^\circ\cap\tfrac1p\cdot\mathbb{Z}^d\Bigr| \ \ge\ \frac{\exp(-CK^C)\,|Z_p|}{|A_p|} \ =\ \exp\bigl(-O(K^{O(1)})\bigr)\,\frac{p^d\,|\mathrm{Tor}(Z)|}{|A|}, \] 从而 \[ p^{-d}\Bigl|B^\circ\cap\tfrac1p\cdot\mathbb{Z}^d\Bigr|\ \ge\ \frac{\exp(-CK^C)\,|\mathrm{Tor}(Z)|}{|A|}. \]

（证明续） 现在我们令 \(p\to\infty\) 取极限。由于 \(B^\circ\) 是开的且有界，左边恰是 \(\mathrm{mes}(B^\circ)\) 的黎曼和，于是 \[\mathrm{mes}(B^\circ)\ \ge\ \exp\bigl(-O(K^{O(1)})\bigr)\,|\mathrm{Tor}(Z)|/|A|.\] 现在我们动用第 3 章的机器。利用相当粗糙的界 \[\mathrm{mes}(B^\circ)\,\mathrm{mes}(B)\ \le\ O(1)^d\ =\ O(1)^{K^{O(1)}}\tag{5.20}\] （见习题 5.6.1），我们可以把这个关于 \(B^\circ\) 的下界转化为关于 \(B\) 的上界： \[\mathrm{mes}(B)\ \le\ \exp\bigl(O(K^{O(1)})\bigr)\,|A|/|\mathrm{Tor}(Z)|.\] 注意 \(B\cap\mathbb{Z}^d\) 包含 \(\Pi(A)-\Pi(A)\)；由于 \(\Pi(A)\) 生成 \(\mathbb{Z}^d\)，我们便断定 \(B\cap\mathbb{Z}^d\) 线性张成 \(\mathbb{R}^d\)。由此及引理 3.26 我们看出 \[|B\cap\mathbb{Z}^d|\ \le\ \exp\bigl(O(K^{O(1)})\bigr)\,|A|/|\mathrm{Tor}(Z)|,\] 其中我们用了前面的观察 \(d=O(K^{O(1)})\) 来吸收该引理中的 \(3^d d!/2^d\) 因子。应用离散 John 定理（引理 3.36），我们便能把 \(B\) 放进一个秩至多为 \(d\) 的级数 \(Q\subseteq\mathbb{Z}^d\) 之内，其体积 \[|Q|\ \le\ \exp\bigl(O(K^{O(1)})\bigr)\,|A|/|\mathrm{Tor}(Z)|,\] 此处再次用了观察 \(d=O(K^{O(1)})\)，这次是为了吸收将出现的 \((d^{2d})^d\) 因子。由于 \(A\) 已被标准化为含 \((0,1,0)\)，我们有包含关系 \[\Pi(A)\subseteq\Pi(A)-\Pi(A)\subseteq B\cap\mathbb{Z}^d\subseteq Q,\] 从而 \(A\subseteq\Pi^{-1}(Q)\)。但我们可以写 \(\Pi^{-1}(Q)=P+G\)，其中 \(P\) 是 \(Q\) 的一个同构拷贝，而 \(G:=\mathrm{Tor}(Z)\)。定理 5.44 得证。♦